2.7 常见的连续型随机变量（中）在线视频

同学们 大家好

今天我们接着介绍

概率统计中的第二章内容

随机变量及其分布

今天介绍几类常见的连续型随机变量

首先来看正态分布

如果一个连续型随机变量X的密度函数

具有这样子的形式

f(x)等于根号下2π乘1/σ

乘以e的-(x-μ)²/2σ²

这里-∞＜x＜+∞

参数有两个

一个是μ 一个是σ

-∞＜μ＜+∞

σ＞0

如果随机变量X

它的密度函数是这个形式

我们就称随机变量X

服从参数为(μ,σ²)的正态分布

把它记作X~N(μ,σ²)

那么密度函数的图像大概画一下

是我们ppt上这个图像

大家来看

μ对应的这个位置还有图像的形状

这是固定的

那么 什么是标准正态分布呢

我们来看

如果在正态分布当中

参数μ=0 σ²=1

也就是σ=1

那么这个时候

我们就称这样子的正态分布

那么这个时候

为标准正态分布

为标准正态分布

那么 标准正态分布的密度函数

写起来就好看一些

大家来看

φ(x)等于根号下1/2π乘以e的-x²/2

当然 x 的取值范围是所有的实数

下面我们来验证

正态分布的密度函数确实是密度函数

我们来看

假设X服从参数(μ,σ²)的正态分布

f(x)是它的密度函数

根据定义

f(x)等于根号下2πσ分之1

乘以e的-(x-μ)²/2σ²

这个显然是大于等于零的

所以它非负性满足

唯一难验证的就是它的规范性

为了验证

这个密度函数在(-∞,+∞)上的积分等于1

我们首先考虑

标准正态分布的密度函数

它满足规范性

为了验证刚才这个密度函数

具有规范性

我们首先考虑

标准正态分布的密度函数具有规范性

也就是φ(x)在(-∞,+∞)上的积分等于1

也就是后面这个积分

根号下2π分之1

乘以(-∞,+∞)上e的-x²/2 dx 的积分等于1

那么要算这个积分

我们的方式是什么呢

我们这样来考虑

我们来证明这个积分的平方等于2π

这样一来

我们将这个定积分的问题

转化成一个二重积分来算

那么这个时候

(-∞,+∞)上e的-x²/2 dx的平方

把它写成两个积分的乘积

由于积分值与积分变量的选取无关

所以第二个积分我把积分变量换成Y

这样一来

我们这个积分

就表示成了一个二重积分

也就是(-∞,+∞)(-∞,+∞)

e的-(x²+y²/2) dxdy 这样一个积分

要计算这个积分

我们需要利用坐标变换

这里引入极坐标变换

令 x=rcosθ y=rsinθ

那么这个时候

这个积分变成什么了

我们看积分线的变化

由于xy都是从负无穷到正无穷

那么这样一来

我们这个θ的范围就0变到2π

r的范围从0变到正无穷

那么这个时候

很容易计算出这个积分值

就等于2π

所以 我们就验证了

我们的这个标准正态分布

它的密度函数满足规范性

那要验证

一般正态分布的密度函数满足规范性

这里我们采用的方法是做一个坐标变换

将它变成标准正态分布的密度函数

这里

我们令u=x-μ/σ

那么看一下微元du

du和dx的关系

du=dx/σ

因为μ是常数 所以它的微分是0

这样一来

我们这个正态分布的密度函数

就可以化成下面这个形式

根号下1/2π 负无穷到正无穷

e的-1/2乘以(x-u/σ)² dx/σ

那么这个时候我们利用我们的变换

它刚好等于根号下1/2π

负无穷到正无穷

e的-u²/2 du

而这个密度函数的积分

恰好是我们那个

标准正态分布的密度函数的积分

所以它等于1

我们就验证了一般的正态分布

它的密度函数确实满足规范性

因此正态分布的密度函数

的的确确是一个分布函数

好 下面我们来看一下

正态分布密度函数的图形性质

那么对于正态分布的密度函数

它的图像是这样子的

大家看PPT

其中 μ 代表这个位置

那么 根据高等数学的知识

我们可以发现

这条曲线关于 x=μ 这条直线

就垂直于 x 轴的这条直线是对称的

这样一来

随机变量X落在μ-h到μ

以及X落在μ到μ+h

这两个区间上的概率

一定是相等的

这反映了一种对称性

第二点 当 x=μ 的时候

这个密度函数达到最高点

这个最高点是多少呢

它的函数值是

根号下2π乘1/σ

那么 从里面可以看出

当x远离μ时 f(x)的值就越来越小

这表明

对于同样长度的区间

当区间离μ越远时

随机变量落在该区间的概率也就越小

另外 这条曲线y=f(x)

在 x=μ±σ 处有两个拐点

那么这个时候

这个曲线 y=f(x) 还以Ox轴

也就是我们这个 x 轴为渐近线

当 x 趋于正无穷时

它趋向于0

当 x 趋于负无穷时

它也趋向于0

而且如果我们固定这个 σ

改变 μ 的位置

我们会发现

f(x)的图像沿着 x 轴作平行移动

但是形状不发生改变

因此 y=f(x) 图形的位置

完全由参数 μ 所确定

所以很多教科书上

把 μ 也称为正态分布的位置参数

另一方面

如果我们固定μ 改变σ

由于 f(x) 的最大值

是根号下2π乘1/σ

我们可以发现

当 σ 越小 y=f(x) 图形就越抖

而落在 μ 附近的概率也就越大

反过来

如果 σ 越大

y=f(x) 的图形就比较平坦

这表明 x 的取值就越分散

正态分布是概率论中最重要的分布之一

下面有以下情形加以说明

第一

正态分布是自然界以及工程技术中

最常见的分布之一

那么 很多随机现象

都服从或者是近似服从正态分布

这一点在我们学习大数定律的时候

还可以进一步去理解

另外可以证明

如果一个随机指标受到许多因素的影响

但其中任何一个因素都不起决定作用

那么 这个随机指标

就一定服从或近似服从正态分布

正态分布有许多良好的性质

这些性质是其他分布所不具备的

第三点

正态分布可以作为许多分布的近似分布

正态分布可以作为许多分布的近似分布

基于这三个原因

正态分布在概率论当中

起到非常重要的作用

今天

我们主要介绍了正态分布

下一节课我们将介绍其他的分布