1.4 频率与概率在线视频

同学们 好

我们来继续学习频率与概率

概率是用来刻画

随机事件发生的可能性大小的数

好像这句话很好理解

但是真要把它说清楚

什么是概率

还真不容易

我们数学家花了很长的时间

来说清楚什么是概率

那是1933年

由原苏联现在的俄罗斯数学家

克木克洛夫才给出了他

严格的数学定义

那么

要得到这个严格的数学

定义

我们先从频率开始

什么是频率呢

那就是说在相同条件下

进行的N次重复试验中

事件A发生的次数

我们把它叫做事件A发生的频数

把这个比值叫做频率

比方说你抛了一百次硬币

正面向上出现了四十次

那么四十比上一百

我们把它叫做

正面向上发生的频率

好 我用这个记号来表示

小fn（A）

那么

来归纳一下频率的基本性质

我们来归纳得到概率

它本质的限制

那么不难发现

如果你这个时间A

就是个必然事件

你每次他都发生

那你想一想你做N次试验

每次都发生发生N次了

所以他会就等于一这个频率

而且第二条限制频率肯定大于等于零

你最多一次都没有发生对不对

而且最多了

是一

还有一条重要的信息

如果这些事件是两两互不相容的

也就是说任何两个都不能同时发生的话

我们会发现

这些事件和的频率

和事件的频率

会等于每一个事件频率

这是频率

他有的三条基本性质

好

这个抛硬币的实验

在数学史上具有很多数学家

做了实验

大家来参考一下

那就是我们看抛的次数

一个是两千多 四千多次

然后

来算这个频率

0.5181

0.5069等等

大家可以发现哈

就是抛掷硬币的次数

越大的时候啊

这个频率越来越接近于0.5

但这也说明的话

我们这个硬币比较均匀

他有这么一个稳定的数

他的什么原因

现在我们还说不清楚

到了我们后面

第五章的定义介绍完以后

我们成了一个严格的

来表达他的理由所在

那么由这个频率

我们可以隔出概率的一个统计定义

或者说还不是那么严谨的定义

怎么表述呢

那就是说

在相同条件下

重复做N次试验

如果当N增大的时候

事件A发生的频率

他会围绕着某一个常数

P在那里波动

摆动

像我们刚才

历史上面做的这个抛硬币的实验

大家可以发现的话

他会在0.5的附近

在那里波动

但当然你说

我看起来好像不是0.5啊

好像是0.5001啊

是可能

所以这个的话

还是一种近似的定义

我们不会把它叫做统计

定义

我们把你能发现的这个P

这个P是一个客观存在的数

把它叫做事件A

发生的概率记作P（A）等于小P

这就给出了一个事件发生的

概率的定义

但是用这个办法的话

实际上真正的P啊

我们是求不出来的

他客观的存在

但是我们永远找不到这个真正的P

对不对

当n充分大的时候

这个频率

会近似的

近似的会接近于这个客观存在的概率

小P

好那下面我们来给出

概率的严格的定义也叫做公理化定义

由于刚才我们的统计定义仅仅是

对P给出来一个近似的

并且有严格的格式这个概率来

所以下面的话

我们根据这个频率

所有的三条性质啊

可木格洛夫 就给出了

作为概率的最严谨的定义

也就是说

这三条公理以后

概率所有其他的性质

概率所有其他的性质

都可以通过它推出来

那就是假设

E是随机试验 S是样本空间

对于S当中每一个时间A

我们都要对应做

一个实数

记作P（A)

称为事件A的概率

这相当于是一个集合函数

为什么时间就是集合吗

你给一个集合我们就能得到一个数

所以我们也可以把它理解为

集合函数

它满足这样的三条公理

第一非负性

刚才频率就满足了

非负

规范性

就是说

S所对应的那个数

就是概率是等于一的

那就是必然事件

一定发生

第三条公理

可列可加性

刚才我们的频率里面

和这个有一点的区别 你发现没有

我们刚才的频率

只有有限个事件

但是为了得到

这个严格的定义

仅仅要求有限线 还不行呢

所以这个中间

花了很长的时间才发现第三条公理

必须要对应着可列事件

A1 A2 A5

一直下去

那么有限个是他的特殊情况

他会满足这些事件和的概率

无穷多个事件的和

他的并的概率

等于概率之和

这个叫做可列可加性

如果一个集合函数满足这样的三条公理

我们就把它叫做概率

那么多概率

这么的会有哪些性质

与我们的通常的

这些和需要是不是一致的

没问题

比方说

有这三条公理就可以推出

不可能事件的概率一定是零

第二个

我们那个频率满足的有限个

和的性质

他也是满足的

我们把它叫做有限可加性

那这个的话

只要把第三条公理

N加1开始的时间

都取做不可能事件去做Φ就可以了

就可以得到N个

两两互不相容的

和事件

的概率

等于概率之和

第三条性质

对立事件的概率等于1减去A的概率

那么这个公式

这条性质有什么好处吗

那也就是说

如果一个时间的概率不好计算

那你可以想一想

他的对立事件是不是好计算的

因为他们加起来

就是A拔和A的概率加起来等于一

所以另外一个

是一减去另一个的概率

而文氏图画出来

那就是这样子的

好

第四条性质

A和B是任意两个事件

那么这个时候BA之差

差时间的概率等于P(B)减去P(AB)

B发生A不发生的可能性

同学们从文氏图里面可以看出

实际上B减A

是不是会等于B减去AB的

积事件

就是B里面减掉不包括他们公共的部分

对不对

所以这样子的话我们就可以推出

B减A的概率

是等于P(B)减去P(AB)

不要错误的

以为等于P(B)

减去P(A)

那就弄错了

但是如果出现A在B里面

就是B包含A

那么这个时候

我们可以得到下面这个公式

P(B)减去P(A)

因为

A是B的子事件

那AB之交那不就等于A吗

所以在这种特殊情况下

这个减法公式才是这个样子

而且可以发现的话

如果B不包含A

那B发生的概率一定大于等于P(A)

因为B减A

任何事件的概率是非负的

我们就可以推出他了

P(B)大于P(A)

我们看个例子

假设事件AB满足

A的概率0.7

A减B的概率0.3

那AB拔的概率

那我们由刚才学习的

减法公式

对于他

那AB的概率

移下项等于P(A)减去P(A减B)

所以马上得到

AB积事件的概率

等于0.4

0.4

好 那他呢

会等于一减去他们的对立事件

他们的对立事件

AB拔再去拔就是AB

所以就是E减去P(AB)

所以就把AB拔的概率就求出来了

0.6 看清楚没有

好

看看现在对任意事件A

均由A的概率大于等于零小于等于一

没问题 概率

他不会取负数也不会超过一

那么

性质六是加法公式

AB是任意两个事件

那么A并B的概率

等于P(A)加P(B)

减去P(AB)

刚才我们知道

如果A和B是互不相容的

那A并B的概率就等于P(A)加P(B)

如果A和B可能同时发生了

要注意还要减去P(AB)

从文氏图里面

可以看一下

他们有相交的部分的时候

要减掉公共部分的概率

如果是三个事件的话

我们反复的利用

这两个事件的加法公式

就可以推出

三个的和A并B并C

他的概率 注意啦

展开有七项

P(A)加P(B)加P(C)

减去任何两个的积事件的概率

最好是加上ABC的概率

那我再来一点

A这个事件是什么样子的

这个公式

这个公式比较复杂了

也习惯于把它叫做

多除少补原理

大家可以看出来他的符号

正的

负的

正的负担

开始是一个事件的概率加起来

然后是任何两个事件做积事件

那个前面是负号

根据排列组合知识

同学们能算出

第二个和

这个AiAj的积事件的概率有多少项吗

我提示一下

是从N个元素里面

选两个元素的组合数的数目

Cn

二个类似的

后面是Cn3一直下去

一直下去

好我们来看一个例子

假设事件A B C

满足这三个事件的概率都是四分之一

然后任何两个的积事件的概率

等于他

能求出

A B C全部发生的概率吗

好

我们来看一下

那么

A B C都不发生的概率

可以写成A并B并C取对立事件

根据我们前面事件的运算

再根据对立事件的概率公式

就可以写成他

再根据加法公式

就可以写成它了

打开那后面把题设条件代进来

要注意了最后一项

那个A B C的概率怎么会是零呢

我们的已知条件里面没有这个已知条件啊

那是因为啊

A B C积事件

一定是A和B

这个积事件的

子事件

对不对

三个事件的积事件

是其中两个事件的子事件

所以他的概率肯定小于等于

A B的概率

而A B的概率是零

那他的概率只能是零了

他也不可能为负数

所以最好这一项是零

是这么来的

正好算出来

等于八分之三

八分之三

好 这节课讲到这里