2. 9 随机变量函数的分布（上）在线视频

同学们 大家好

今天我们来继续学习

概率统计课程的第二章

随机变量及其分布

今天学习第五节

随机变量函数的分布

主要包括离散型 连续性

以及特殊情况

我们首先看随机变量的函数

假设X是一个随机变量

Y是X的函数

我们把它记成这个形式 Y=g(X)

由于X是随机变量

那么g(X)也是随机变量

所以Y就是一个随机变量

我们把Y这个随机变量称为

随机变量X的函数

所形成的一个新的随机变量

那么 当X取值是x时

Y的取值就是Y=g(x)

本节的任务就是已知X的分布

来确定Y的分布

也就是说

已知X的分布来求随机变量Y的分布

具体的我们来分两种情况来考虑

首先来看离散型随机变量的函数

假设X是离散型随机变量

那么描述它的当然是分布律

它在分布律给出

X=xn的概率是Pn

n=1,2,...

那么这个时候

我们还可以写一个表格

把分布律写出来

对吧

我们上面的x₁ x₂ 到xn

是随机变量的取值

下方P₁ P₂ 到Pn

是随机变量取各种值到概率

假设Y是X的函数

那么Y=g(X)

也是离散型随机变量

它的取值就是y₁ y₂到yn

这个时候

我们来看yn=g(xn)

第一种情况

如果这些yn

y₁ y₂ yn两两互不相同

那么这个时候

随机变量Y的概率分布

也就是Y=yn的概率

恰好是X=xn的概率

它的分布律和xn是一样的

因此由X的分布律

我们就可以得到随机变量Y的分布律

也就是Y=yn的概率等于Pn

或者把它列成一个表格的形式

直接写出来就可以

这种情况比较简单

第二种情况

如果随机变量y₁ y₂ yn有相同的项

那这时候怎么办呢

我们这样来考虑

我们把这些相同的项合并在一起

看作是一个项

并且把相应的概率相加

就可以得到Y=g(X)的分布律

看一个例子

假设一个离散型随机变量的分布律

X的分布律给出来了

X的取值三个-2 0 3

概率分别是六分之一

三分之一

二分之一

我们来求Y=X-1的分布律

我们首先列出表来

由于Y=X-1的取值

由X的取值确定

X的取值-2 0 3

所以Y的取值一定是-3 -1 2

好 取值确定下来了

下面我们要确定取每个值的概率

由于这些值两两互不相同

所以它的分布律直接写出来

Y=X-1的分布律

是什么呢

就是-3

Y=-3时

它的概率是多少啊

就是X=-2的概率就是六分之一

Y=-1时的概率呢

就是X=0的概率三分之一

Y=2的概率

就是X=3的概率是二分之一

下面再看一个例子

假设一个随机变量有以下的分布律

让我们求Y=(X-1)²的分布律

首先

Y的所有的可能的取值有哪些

大家可以算一算

这个非常简单

算出来是0 1 4

三个

这个时候我们会发现

并不是X的每一个取值

对应的Y的取值完全相同

它有重复的

那这个时候

我们需要对应一下

Y=0对应的就是X=1

所以Y=0的概率

我们可以写出来是0.1

然后接着来算Y=1的概率

我们会发现

Y=1刚好对应的X=0

和X=2两种情况

和X=2两种情况

因为X=0的时候 Y=1

X=2的时候 Y也等于1

所以这个时候

我们需要把它的概率合并一下

就是0.7

0.3+0.4=0.7

最后一个比较简单

就是Y=4的概率

那Y=4的时候

X只能等于-1

也就是概率是0.2

所以Y的分布律就可以写出来了

对于离散型随机变量函数的分布率

计算起来

相对来说比较简单

我们直接算就可以了

我们的难点是

连续型随机变量函数的分布律

下面让我们来看

连续型随机变量函数的分布

假设X是一个连续型的随机变量

它的密度函数是fX(x)

再假设y=g(x)是x的连续函数

那么Y=g(X)就是一个连续的随机变量

我们要求的是什么

我们要求的是Y的密度函数

这里假设X的密度函数已知

我们的思路是这样子的

我们先求Y=g(X)的分布函数

那就是求Y≤y的概率

我们在算这个的时候

我们需要把Y=g(X)代入

然后利用这个性质具体的来计算

g(X)≤y的概率

算出来之后

第二步

利用分布函数和密度函数的关系

也就是

分布函数的导数等于密度函数这个性质

我们就可以求出Y的密度函数

下面看一个例子

假设随机变量X的密度函数是这个形式fX(x)

这个是一个抽象形式

没有给出具体的形式来

这个时候让我们计算

Y=|X|的密度函数

我们来看

首先第一步

求Y=|X|的分布函数

直接算

利用分布函数的定义

FY(y)等于Y≤y的概率

然后把这个Y换成X的绝对值

这个时候

由于Y=|X|

所以它的取值一定是非负的

所以当y≤0的时候

这个概率很显然等于0

这一点不用写

第二点

当y＞0的时候

FY(y)等于Y≤y的概率

也就是|X|≤y的概率

化简一下

就是-y≤X≤y的概率

那么经过计算

它等于什么呢

等于-y到y上fX(x)dx

是这样一个积分的形式

接下来我们要求密度函数

就是对它进行求导

我们来看

对它进行求导的话怎么办呢

这是一个变限积分求导问题

这个时候

Y的密度函数fY(y)等于什么

直接求就行了

就是把那个y代入到fX的密度函数里

乘以y关于y的导数是1

然后再减去把-y代入fX的密度函数里

再乘以-y的导数是-1

因此它的结果就是

fX(y)+fX(-y)

那么当y≤0的时候 密度函数是0

这个时候

我们不要在意区间的端点y=0处

我们把y=0处的密度函数值

令成0就行了

因为对于连续型随机变量

密度函数在一些具体点处的取值

我们不太考虑

比如X是标准正态分布

密度函数告诉我们

那么这个时候

Y=|X|的密度函数

我们也就可以写出来了

它是这个形式

今天我们介绍了

随机变量函数的分布的一些计算方法

下一节课我们继续介绍这个专题