1.3 样本空间，随机事件（下）在线视频

同学们好

下面我们继续学习

事件的关系和运算

先来看事件的运算

一个是两个事件的并

也叫做和

那么用这个符号来表示他

A并B

也可以用普通的加号

这个教材啊

参考书的习惯不一样

大家都要看明白

表示两个事件的并

那就是说

事件A与B中至少有一个发生

如果用文氏图来表示的话呀

实际上写成这个样子

就是我们集合里面那个并的表示

集合的语言还可以表示为

X

就是A并B里面哪些元素呢

那就是属于A的或者属于B的

但也可能多余两个事情

N个事情

那就是A1一直到An中

至少有一个发生

另外

随机事件的交

也叫做积

我们简称为积事件

那就是

这两个事件同时发生的那个事件

也就是A和B这两个集合公共的部分

怎么表示啊

A交B

注意这个交的符号

也可以省略的

直接写成AB

那么他表示里面的元素即属于A

也属于B

也属于B

用文氏图画出来 看

他们的公共的部分

公共的部分

当然也可以到n个事件的交

那就是说

这些事件里面

每一个都有的样本

也说他们同时发生

还有随机事件的差

什么意思

A发生

但是B不发生这样的事件

我们叫做两个事件的差

我们就用一个减号来表示

A减B不要把他和素的减法

素的减法混淆起来了

完全不是一码事

这是两个集合相减

表示属于A里面的元素

但是不属于B的部分

这么表示

画出文氏图

大家看看阴影部分

那就是A减B这个新的事件

好刚才是事件的

这个运算

那我们下面的话来继续来讨论

事件的关系

那么随即事件有哪些关系

我们要搞清楚了

包含关系

A

含于B或者B包含A

他是表示

事件A发生必然导致B发生

用集合的语言来说啊

A里面的元素都在B里面

这样的两个事件我们叫做有包含关系

A含在B里面

文氏图表示是这个样子

那就A包含的元素比B要少

要少

那显然的话

空集不可能事件

他是A的

这个子事件

也就是A

是包含了Φ的

Ω是包含了A的

就是整个这一个

要么更加也就是必然事件

那当然不好了A

然后相等的关系的话

那就是指的啊

A

含在B里面 B也含在A里面

这么表示

这个叫做两个事件相等

那么

如果要画文氏图的话

那就完全重合了

所以这里就不画出来了

两个随机事件互不相容也叫互斥

他是表示

不能够同时发生这两个世界的交是空的

没有公共的约束

A与B不可能同时发生

用文氏图画出来

那就这个样子了

没有公共的元素

没有公共的部分

再一个关系就是对立

也叫做互为逆事件

用A拔来表示

事件A不发生

称为A的对立事件

A不发生的这个事件

称为对立事件

用文氏图来表示的话

那就是黄色的部分是A的话

余下的部分我们叫做A拔

A拔那就是Ω

整个样本空间它发生

但是A不发生

那当然如果A拔我们采取对立事件

那就还原了

那就变成A了

好由于世界的运算

速度运算是不一样的

那它的运算规律也是不一样的

所以同学们的话在学习这个内容的时候

和速度运算规律

可以对照起来相同和不同的地方

这样子就不容易

犯错误

好

我们先来学习交换律

我们知道

数的加法有交换律

两个数A和B

A加B等于B加A

那对于并来说也有这个限制

A并B

他等于B并A

交的运算也满足交换律

A交B会等于B交A

这个叫做并 交的交换律

第二

结合律A并B并C

我们把A和B先做并

再和C并的话

于B和C先并起来

再和A做并

他们是相等的

这个叫做结合力成立

那么交的运算也有这个规律

就是说三个事件

A和B先交

再和C做交

于B和C先坐交再和A做交

他们是相等的

分配率

是第一个分配律

那就是A并B交上C

他等于A和C做交

并上B和C做交

这个可以看成是

交对并的分配率是正确的

还有

并对交的分配例就是说

A交B再去并C的话

会等于A和C先并起来

B和C

先并起来 然后再去交

这个可以理解为

并对交的分配率

上一个是交对并的分配率

还有

把它叫做补原理

那就是说

A和A拔

把他做和事件

做并是等于整个样本空间的

A和A拔做积事件是不可能事件

他们不能同时发生

这个把它叫做补元律、

还有一个叫对偶律

那就是说A和B

先做并然后做对立事件的运算

我们会发现他会等于A

B分别取对立事件

再做积的运算

是相等的

然后呢 A和B做积运算

做积运算

那么再取对立事件

会等于取对立事件

在做并

同学们发现规律没有

做对立事件

这个运算的时候

我们要把并要变成交

对交作对立事件运算的时候

我们要把那个中间的

交要变成并

就是两个事件

分别取对立事件以后

然后把中间的运算要反过来

并的要变成交

交的要变成并

一定不要搞错了

好 如果把它推广到

一般的N个的话

那类似的同学们应该也可以写出来了

就是Ai

N个

做并事件再取对立事件

那就是每一个

取对立事件

再去做积事件

完全类似的

每一个我们做积事件再取对立

那就等于每一个取对立再做

并的事件再做和的时间

我们看个例子

我们假定甲

乙丙三个人各去进行一次射击

以A表示甲打中目标

以B表示乙打中目标

C表示丙打中

那么这些事件

因A B C

能不能够正确地表示出来

就能够判断刚才这些射击的关系

以及他们的运算了

同学们是不是掌握了

我们先来看第一个甲没有打中

那就应该是A拔来表示

甲打中了 乙没有打中呢

这就是A和B拔做积事件

只有乙没有打中

这就应该这么表示了

A中了

C中了就甲打中了

B也打中了

但是乙没有打中

这个中间都是基本运算

是积事件是交事件

好

再看 恰好有一个人击中

这怎么表示

好

那就是

第一个能打中

后面

两个人都没有打中

这个中间是积事件

不要搞成和时间

然后 或者这个是并

也就是和事件

那就只有B乙打中了

第一个和第三个没有中类似的

前面两个没有打中

第三个了打中了

这就表示恰好有一个人击中

2020年的研究生考试

我刚考完以后

我看了一下题目

发现就考了这个关系

三个事件里面恰好有一个发生

能不能够正确地表示出

所以平常我们把基础打牢了

我们这种教育部的研究生考试

你也能够从容的面对

好再来看一下

至少有一个人打中

那就是A发生

或者甲表示和事件

B发生或者C发生

然后呢

都打中

很显然

这个中间是积事件

A B C都发生 都没有打中

都没有打中

那也是积事件

是哪些事件的积事件

那就是A

B

C都要取对立事件

对立事件

A拔交B拔

交C拔

很显然

他又可以表示成为

A并B并C的对立时间 对不对

再看一个

至多两个人击中

应该如何表示

好

应该是

我有两种方法表示出来了

反过来想一想 同学们

至多两个人击中 我们否定他

那至少有一个人是没有打中的

是不是这个逻辑关系

能不能想清楚

三个人里面至多两个人打中

那至少有一个人没有打中

所以就可以表示为

A拔B拔C拔的和事件

当然也可以表示为

他们都打中了他对立事件

都打中了的对立事件

表示的是同一个事件

同一个事件

好

这些事件

能很好的衡量我们事件的关系

事件的运算是否

正确的理解啊

我们再看一个例子

假设

AB为两个事件

我们来化简

下面这样的式子

第一个是

A拔和B

先做和时间就是并的运算

在和A

B的和事件做交

第二个是A

B的积事件

并上AB拔

并上A拔B

在并上A拔B拔

下面我们来看第一个

那就是

先把A拔加B看作一个整体

和A去做分配

和B做分配会得到他

然后呢

A拔加B交上A

那又去做分配律

把A分配进去

就会得到A拔和A

不可能事件

B

A

然后BA拔B和B做积事件

那他们就是B啊

好 那就问下一步 看出来没有

这个BA加BA拔

BA加BA拔

看出来没有实际上网

他们都是B的一部分

所以在并上B的时候那就等于B了

第二个

那就是

我们把

把分配率

反过来用发现没有

把A提出来

那B加B拔就是必然事件

必然事件

后面的也是B加B拔

是必然事件

所以这就好办呢

A

交上Ω

A拔

交上Ω

Ω是整个全集是必然事件

Ω是整个全集是必然事件

所以相交的话就是A

那里就是A拔

A和A拔综合事件

那就是必然事件

好

这节课讲到这