2.2 常见的离散型随机变量（上）在线视频

同学们大家好

今天我们接着介绍随机变量及其分布

第二节的第二个小内容

一些常用的离散型随机变量

第一个分布伯努利分布

如果随机变量X的分布律为

X=K的概率

等于P的K次方乘以1-P的1-K次方K=01

或者

把它写成这样的形式

X取值是01

取0的概率是1-P

X取1的概率是P

这个时候我们就成随机变量X

服从参数为P的伯努利分布

记做X~B（1，P）

其中参数0≤P≤1

伯努利分布也称作01分布

或者是两点分布

下面我们来看一下伯努利分布的概率背景

假设进行一次伯努利试验

A能代表一个随机事件

我们设A发生的概率是P

A不发生的概率是1-p

也就是q

这个时候我们用X表示

伯努利试验中事件A发生的次数或者设X=1或X=0

X=1代表事件A发生

X=0代表事件A不发生

那么这一次伯努利试验当中

事件A发生的次数只能为0或1

那么这个时候随机变量X就服从参数为P的伯努利分布

下面看第二个分布二项分布

如果随机变量X的分布律为

X=K的概率=Cnk乘以P的K次方再乘以1-p的

n-k次方

k的取值从0一直取到n

这个时候我们就称

这个随机变量X服从参数为n，p的二项分布

记为X~B(n，p)

其中这里有两个参数

n是一个自然数

一般来说

n≥1

p是一个概率参数大于等于0小于等于1

下面

我们来说一下

刚才这个二项分布的分布率确实是一个分布律

我们需要验证两点第一点非负性

P≥0≤1

所以

Cnk乘以P的K次方乘以1-p的n-k次方一定是非负的

第二点

我们来验证这个分布律当中

pn的加和应该=1

也就是说

当k从0到n加和的时候

Cnk乘以P的K次方再乘以1-p的n-K次方=1

要说明这一点

我们很容易发现这项恰好是

P加上1-p的N次方的二项式展开

因此它的和是1

这样一来我们就验证了刚才给定的这个二项分布的分布率

确确实实满足分布律的两条性质

一个是非负性

一个是规范性

好下面做一个说明

显然

当n=1的时候

二项分布就退化

为伯努利分布也就是两点分布

此时

X服从伯努利分布

或者说X服从两点分布

这说明伯努利分布是二项分布的一个特例

下面来看一下二项分布的概率背景假设进行

n重伯努利试验

A是一个随机事件

在每次试验当中

事件A发生的概率是p

事件A不发生的概率是1-p

我们把1-p记作q

令X表示

这n次伯努利试验中事件A发生的次数

那么这个时候X就服从参数为（n，p）的二项分布

做一个说明假设Ai表示第i次试验中

A出现或者叫A发生

则X=k这个事件

可以表示成这些事件的并集

大家看第一个事件对应的是前K次事件A发生

第二个事件

表示第二次到第K+1次

A发生那么一共有多少个这种事件

根据排列组合的知识

我们不难发现

在n次试验当中指定k次出现A

其余n-k次不出现A

那么这种指定方法一共有Cnk种

所以X=k的概率就

等于Cnk乘以P的K次方乘以q的n-K次方

这里用到了我们这些随机事件

A1到An的相互独立性

好下面看一个例子

假设一批产品的次品率为0.1

现在从里边取出15件产品

求下列两个事件的概率

第一个事件B事件

B事件表示

取出15件产品中恰好有两件次品

C事件表示

取出的这15件产品中

至少有两件次品让我们求B和C的概率

我们来看一下

由于从一大批产品中取出15件产品

故可以近似地将这个随机试验看成是一个15重的伯努利实验

我们记A表示

取出一件产品为次品

则A的概率为0.1

这是题目中告诉我们

下面我们要求事件B的概率

由于B表示的是取出的15件产品中恰有两件次品

而取出的15件产品中

次品的数量服从的是参数为15

0.1的二项分布

所以很容易求出B事件的概率就等于

C15 2乘以0.1的平方再乘以0.9的13次方

类似的我们可以计算随机事件C发生的概率

那么这个时候由于C事件表示的是

取出的15件产品中至少有两件次品

如果我们直接算的话

我们需要算14次

那么这个时候

我们可以考虑它的对立事件

由于C的概率等于1-C不发生的概率

而C不发生表示的是取出的产品中没有次品

或者是仅有一件次品

因此

PC=1-C的对立事件的概率等于1-C15 0

乘以0.1的0次方乘以0.9的15次方再减去C15 1

乘以0.1乘以0.9的14次方

好那么下面让我们来看一下二项分布的分布形态

假设X服从参数为(n，p)的二项分布

为了了解X=k的概率与k的关系

我们做一下商

我们来看一下X=k的概率与X=k-1的概率的比值

经过简单计算

我们发现这个比值等于1

加上k乘q分之N+1乘P-k

这里q=1-p

由此可知

二项分布的分布律X=k的概率

先是随着k的增大而增大

达到最大值后再随着k的增大而减小

那么这个时候使得X=k的概率

达到最大值的K0称为二项分布的最可能次数

根据这个公式

我们可以证明

如果n+1乘p不是整数

那么K0恰好=n+1乘p取整

这个方括号代表的是取整符号

如果n+1乘p是整数

那么K0可以=n+1乘p

或者是n+1乘p-1

好今天的课程

就介绍到这里下一节课

我们来继续介绍随机变量及其分布