1.6 条件概率（上）在线视频

同学们好

欢迎来到我的课堂

下面

我们继续学习条件概率

我们先来看一个例子

将一枚均匀的硬币抛两次

我们观察他出现正反面的情况

假设事件A为至少有一次出现正面H

B为两次抛出同一面

求事件A已经发生的条件下

事件B发生的概率

下面我们来进行解答

那这个随机试验的样本空间

S包含了四种情况

我们前面讨论过了

两次都是正面

正面

反面

反面 正面

都是反面

那A是什么样子呢

至少有一次出现正面

那就不包括两次都是反面的情况

所以只有三种情况

B

B表示

两次各取同一面

所以只有两个样本点

两种情况

HH TT

好

我们先来看一看

A

发生条件下 B发生的概率

A

大家可以看出里面有三个结构

三个样本

那里面有B的情况吧

有啊

都是正面的时候

所以三种情况有一种是属于B的

所以这样子的话

根据古典概型三分之一

三分之一

好

那B自己发生的概率是多少呢

二分之一了

为什么

样本空间里面一共有四个元素

B里面呢

两个元素根据古典概型

比上四

那不就是二分之一吗

所以我们这里发现啊

还有B发生的概率

它不等于A发生条件下

在B发生的概率三分之一

他们是不相等的

那说明这个B发生的概率

和A发生条件下B发生的概率

这是两个不相同的概率

不相等的概率

我们把后面这个概率叫做条件

概率

叫条件概率

然后A再来看一下啊

A的概率是四分之三

A里面有没有三个元素吗

基本事件整数是四

所以是四分之三

然后A和B同时发生的概率

他再看看A和B的交集

他们公共的元素

那就只有两次都出现正面

所以是一比上四

好

再来看

那刚才我们这个三分之一啊

A

发生条件下B发生的概率

这个三分之一

是不是可以写成A和B

积事件的概率

和A的概率之比呀

没问题

刚好啊

这个三分之一是等于这个四分之一

比上四分之三

A成这么一个直观的例子

我们就可以给出

到底什么叫做条件概率

它的定义

所以下面我们给出来

假设A B

是同一个随机试验下的两个事件

而且A的概率不要为零

要大于零

那么我们就把

A和B积事件的概率

与A的概率之比

叫做A发生的条件下

事件B发生的条件概率

大家可以看出

我们一个新的数学概念

或者新的数学公式啊

他是来源于直观的

它抽象了

但是它的来源是一个很实际的

很直观的问题

把它抽象化了

抽象化了

好

看看

文氏图 这个条件概率啊

可以来

从这个图形上大家可以理解一下

A发生条件下

B发生的概率

哦

如果我们把它想象为

是个几何概型

我们往这个矩形里面投点

投中了

A的情况下

把点投中了A的情况下

能投进B的可能性有多大呀

和几何概型面积之比

表示概率

那大家可以看出

实际上啊

A

发生条件下B发生的概率这是什么

这是他们相交的那一部分

A和B公共的那一部分

它的面积

除以A的面积

对不对

非常的直观

条件概率 A发生条件下

B发生的概率

如果是个几何概型

它的几何意义就是

相交的这一部分的概率

或A的概率之比

他就描述了

A

发生条件下B发生的可能性

好

那么一个是请同学们注意

这个条件概率

与P(B)与P(AB)不要混淆了

不要混淆了

A

发生条件下B发生的概率

它的样本空间缩小了

把他缩减为样本空间

SA

相当于把A当做了样本空间

相交的A和B公共的一块面积

除以A的面积

如果假设这是一个几何概型的话

对不对

而P(B)

P(AB)的概率怎么说呢

哦

B的面积或整个这个矩形面积之比

P(AB)概率怎么算呢

A

B他们公共的那一部分的面积

整个矩形的面积

是他们的样本空间是

原来的这个样本空间

S通过这个几何图形

大家就容易区分这几个概率

P(B) P(B∣A)

这个条件概率的

区别在于两者发生的条件不同

他们是两个不同的概念

在数值上

一般并不相同

好

下面我们来讨论一下

条件概率的性质

条件概率

这个符号

大家慢慢的要熟悉他

要多看他一眼

符合概率定义当中的

三个条件

非负性

对任何事件B

他是非负的

规范性的必然事件

如果把B换成S

他也是等于一的

这个你只要根据条件概率定义去算一下

S和A的交事件

这不就是A事件吗

P(A)除以P当然等于一吧

然后可列可加性

也成立

这就说明

我们概率的三条公理

条件概率都满足

所以条件概率

他就是一种概率

第二点注意的是

那就是说

既然它是一种概率的话

那我们就可以

原来概率有那些性质啊

他这里都有了

一个是大于等于零小于等于一

一个是对于Φ来说

这个条件概率

肯定为零

就是不可能事件

另外

减法公式

对立事件

概率公式等等

他都会满足

比方说A发生条件下

B发生的概率

那就会等于一减去

注意

A

发生条件下

B不发生的概率往往啊

从以往我的教学经验来看的话

有的同学啊

把他搞成A拔了

A是不变的 是B要变成B拔

就是相当于一数

右边这个事件A是固定的

好

加法公式

B

C互斥的时候

有这个加法公式

没满足互斥的条件

一定不要忘了

后面还要减去

A

发生条件下

B

C同时发生的条件概率

这个如果把A去掉

那不就是我们前面讲的加法公式吗

C如果是B的

子事件

也就B包含了C

那就有这一个减法公式

如果C没有包含B的话

那就是这个样子

减去A发生条件下

BC积事件发生的概率

所以他后来

没有条件概率时候的那些性质啊

那些公式是完全对应的

完全对应的

同学们对照起来

去理解他

最好可以在草稿纸上面

去推导一下

印象深刻

好 我们来看个例子

抛一个均匀的骰子

如果已知

投出来的是偶数的

你求

恰好抛出两点的概率是多少

以A表示

抛出偶数点

用B

表示抛出 掷出两点来

那A发生的概率显然是六分之三

根据古典概型

那么A

B积事件那大家可以看出啊

B是A的

子事件 会说A

包含了B

所以A

B的概率就是B的概率

六分之一

好

那A

发生条件下

B发生的概率等于P(AB)除以P(A)

三分之一

等于三分之一

就是A

发生条件下

已经知道抛出了偶数点的情况下

那他是二的可能性是多少

偶数点不就26吗

那当然是三分之一

A中共有三个元素

26

他们的出现是等可能的

其中只有一个二在B中

所以由古典概型直接可以写出来

也就是说

相当于我们这里啊

一个是根据条件概率定义把它算出来

还一个呢

把A当作样本空间

直接在这个疏简了的样本空间里面

用古典概型

可以做出来

相当于提供了两个思路来求出

这个条件概率

所以对于条件概率的计算

一

用定义来计算

就是在原样本空间当中计算

条件概念定义

如果把AB的位置换一下

类似的

第二

在缩小了缩减了

样本空间中计算

那么这个时候

一般来说对于实际问题啊

对一个具体问题来说

是缩减的这个样本空间

里面的情况

里面样本的情况

是很清楚的

是容易看出来的

这个时候我们可以计算

第二次思路

大致思路

下面我们再来看一个例子

例题三

一个盒子当中装有四件制品

其中三件一等品

一件二等品

怎么做随机实验呢

从中任取产品两次

每次只取一件

而且不放回抽样

就拿出来以后不放回去

我们也A表示

第一次取到一等品

B表示

第二次取到的还是一等品

让你求条件概率

A发生条件下B发生的概率

好

那A的概率很显然

第一次拿到一等品

事件里面有三件一等品

根据古典概型四分之三

A和B同时发生

就是两次都拿一等品

这是分次拿出来与秩序有关

所以我以排列来表示

基本事件整数

四个元素里面那两个元素的排列数

用记号表示P42

他会等于四乘三

然后呢

我们A和B都发生

两次都要去一等品

整个三件一等品不放回去

所以是排列数P32

也就是说

第一次有三种取法

不放回第二次

两种取法P32

等于多少不就是三乘二吗

所以等于二分之一

那么

A发生条件下

B发生的概率

根据条件概率定义

P(AB)比上P(A)

所以那就等于三分之二

等于三分之二

其实啊

同学们想一想

我们这里是用条件概率定义

把它算出来

如果我们在

缩减的样本空间里面

来考虑这个问题的话

你想一想

A

已经发生了

第一次拿到了一等品

这个信息

我知道了不放回的

我再从里面拿一件

袋子里面一共只有三件产品呢

而且一等品的话只有两件了

所以第二次再拿到一等品的可能性

那不就是三分之二吗

不就可以直接写出来嘛

所以对于这个题来说

完全可以

以缩减了的样本空间里面

这个方法来考虑他

那不讲

简单

直观

一目了然

好了 我们这次课讲这