6.2 抽样分布在线视频

大家好，欢迎来到我的课堂！

今天，我们要学习的内容是抽样分布。

前面我们已经学习了统计量，

统计量是样本的函数，

是随机变量。

统计量的分布我们称之为抽样分布。

当总体分布已知时，

抽样分布是确定的，

但往往难以计算。

然而，

有三大抽样分布，

它们来自正态总体，

它们在统计推断当中有重要的应用。

下面，我们就逐个进行介绍。

一、卡方分布。

设X1,…,Xn是标准正态总体的样本，

称Xi的平方和

服从自由度为n的卡方分布，记作χ²(n)。

这里的自由度n，

其实就是分布的参数。

那么，这个定义表明卡方分布是如何构造的，

它是由n个相互独立的

标准正态的平方和构成的。

当然，

我们也可以用卡方分布的概率密度

给出这一分布的定义，

其中Γ函数由积分形式给出。

下图给出了卡方分布随机变量的

概率密度函数的图像。

卡方分布有下面几个重要的性质：

第一，

如果随机变量X服从自由度为n的卡方分布，

那么，很容易验证X的期望等于自由度n，

X的方差等于2n。

第二个，假设X是自由度为m的卡方分布，

Y是自由度为n的卡方分布，

且两者独立。

那么，X+Y可以写成

m+n个独立的标准正态的平方和，

因此，X+Y是自由度为m+n的卡方分布。

下面，我们给出卡方分布的上分位点。

如图所示，

如果X服从自由度为n的卡方分布，

α是0到1之间的某一个数值。

如果X在某一点及其右侧的概率恰好等于α，

那么我们称这个位置为卡方分布的上α分位点，

记作χ²_α(n)。

抽样分布的上分位点

在统计推断当中有重要的作用。

下面，我们来看例1，查表计算这两个分位数。

根据下面给出的卡方分布表，

我们首先来计算第一个分位数。

这里α取0.05，

n自由度取10，

我们查的这一数值为18.307。

下面我们来看第二个，

这里n＞50，表中没有给出数据。

然而，我们可以用这一近似公式。利用公式得到

1/2乘以，标准正态分布的上0.05分位点

加上根号99再取平方。

标准正态的分位点，

我们通过标准正态分布表可以查得。

最后计算的结果如下。

这一结果与软件计算的非常相近。

下面我们介绍第二个抽样分布——t分布。

假设X是标准正态分布，

Y服从自由度为n的卡方分布，

且两者独立。

我们称 X 除以根号下Y/n

服从自由度为n的t分布，

也称学生分布，记作t(n)。

注意，这是t分布的概率密度函数图像

及其公式。

下面，我们来看t分布的一条性质。

当n趋于无穷的时候，

t分布的概率密度函数

以标准正态分布的概率密度函数为极限，

即 n 充分大时，t 分布近似标准正态分布。

下面，我们给出t分布上分位点的概念。

与卡方分布类似，

假设X服从自由度为n的t分布，

如果X在某一点及其右侧的概率

恰好等于α，

则称这个点为t分布的上α分位点。

记作t_α(n)

由于t分布概率密度函数对称，

因此

它的上α分位点的相反数

恰好是上1-α分位点，

即有如下公式成立。

下面，我们来看第三个抽样分布——F分布。

假设X服从自由度为m的卡方分布，

Y服从自由度为n的卡方分布，

且两者独立。

那我们称X和Y除以各自自由度、

再做商得到的分式

服从自由度为m和n的F分布，

记作 F(m,n)。

这是 F分布的概率密度及其图像。

注意，它有两条重要性质。

第一，如果W服从F分布，

那么1/W也是F分布，

只不过自由度交换次序。

第二条，如果W是自由度为n的t分布，

那么W²服从自由度为1和n的F分布。

这一证明非常简单，

如这个公式所示。

下面，我们给出F分布的上α分位点，

其定义与卡方分布、t分布类似。

注意，F分布的上α分位点

有一个重要性质。

就是自由度为m和n的F分布的上1-α分位点

等于自由度为n和m的F分布的上α分位点的倒数。

例2，设X1,…,X6是标准正态总体的样本，

求下列统计量的抽样分布。

我们首先看第一个，

它的分子是独立的标准正态的线性组合，

因此是正态分布。

而且，其期望等于零、

方差等于2，

因此

X1-X2是这样一个正态分布，

我们将它标准化得到标准正态分布。

再来看它的分母，

根号下的X3²+X4²

显然是自由为2的卡方分布。

而且，这一分布与前面得到的标准正态分布独立。

因此，我们可以构造出一个t分布，

即由标准正态做分子、

由卡方分布除以自由度2开根做分母，

得到自由度为2的 t分布。

这就是第一问的解答。

下面，我们来看第二问。

其分子服从自由度为4的卡方分布，

分母当中，X5²+X6²

服从自由度为2的卡方分布，

且这两个卡方分布相互独立。

因此，我们可以让它们除以各自的自由度、

再做商，得到自由度为4和2的F分布。

这个式子整理得到这个形式，

即我们的第二问。

下面，我们来给出正态总体的样本均值

与样本方差的抽样分布。

首先来看定理1。

设X1,…,Xn是正态总体的样本，

X¯, S²分别是样本均值和样本方差。

那么，第一条

样本均值X¯服从这样的正态分布。

其证明很简单，

因为X¯是样本的算术平均，

即，它是独立正态随机变量的线性组合，

服从正态分布。

又经过前面的计算，

我们知道它的期望是μ、

它的方差是σ²/n。

因此，X¯服从这样一个形式的正态分布，

我们可以将它标准化得到一个标准正态分布。

第二条和第三条由于超出本课程的范围，

这里略过。

下面，我们来看结论四。

由于(1)当中给出了一个标准正态分布，

(2)当中给出了一个卡方分布，

且两者相互独立，

因此我们用它们可以构造一个t分布。

具体来说，

以标准正态为分子、

以卡方分布除以自由度开根为分母，

得到自由度为n-1的t分布。

这个式子整理即得到我们的结论(4)。

下面我们看定理2。

X1,…,Xn1和 Y1,…,Yn2

分别是取自两个正态总体的样本，

并且两样本相互独立。

样本均值记作X¯, Y¯，

样本方差记作S1²和S2²。

第一个结论是关于样本方差比的，

我们看到这个分式当中出现了样本方差的比值，

也包含了总体方差的比值，

这个式子服从F分布。

第二条，当总体方差相等的时候

下面的式子成立。

这是一个t分布，

其中，我们看到包含了样本均值的差，

也包含了总体均值的差。

有了定理2的(1)和(2)，

未来我们就可以利用样本信息，

对总体方差的比σ1²/σ2²，

以及对总体均值的差μ1-μ2作出统计推断。

因此定理1和定理2的结论非常重要，

需要记忆。

本节，我们学习了抽样分布，

包括三类抽样分布。

我们需要知道它们的定义、

特别是它们是如何构造的，

了解它们的性质和上分位点的概念。

另外，我们这一节得到了正态总体抽样分布的结论，

包括单正态总体均值、方差的分布，

以及两正态总体样本均值和方差的分布。

好，今天的课就到这儿。

谢谢大家！