5.4 中心极限定理（下）在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

今天我们继续介绍其它的中心极限定理

上节课

我们已经介绍了一个中心极限定理

我们已经介绍了一个中心极限定理

独立同分布的中心极限定理

今天我们介绍另外两个中心极限定理

第一个德莫佛拉普拉斯中心极限定理

设ηn服从二项分布参数为（n，p）

设ηn服从二项分布参数为（n，p）

则对于任意的x 我们满足

ηn减去np除以上根号np（1-p）

小于等于x的概率会收敛到标准正态分布

或者简单点说也就是ηn的标准化变量

是近似服从标准正态分布的

这就是德莫佛拉普拉斯中心极限定理

接下来我们给出证明

由二项分布与两点分布的关系

我们可以知道ηn可以写成Xk的和

其中Xk表示第k次试验中

发生与不发生

显然X1……Xn是相互独立的

而且都服从两点分布

所以Xk的期望等于P

Xk的方差等于pq

好那显然我们由第一个定理

也就是独立同分布的中心极限定理

那我们知道Xk的和它的标准化变量

是近似服从标准正态分布的

那也就意味着ηn的标准化变量

ηn减去它的期望np

除以它的标准差npq根方

就应该近似服从标准正态分布

这样就得到了第二个中心极限定理

德莫弗拉普拉斯中心极限定理

这个定理

我们可以用来计算二项分布的概率

我们知道二项分布的概率

当n很大的时候

那个组合数非常难求

接下来

我们就用今天讲的中心极限定理

来计算n比较大时的二项分布的概率

假设Xn是二项分布B（n，p）

n随便取一个整数1,2……

p是0到1之间的一个数

则根据德莫佛拉普拉斯中心极限定理

当n充分大的时候呢

我们有a＜Xn＜b的概率

正好等于什么呀

把它标准化一下

是不是就是Xn减去np除以上根号npq

它应该落在a-np除以上根号下npq

和b-np 除以根号下npq之间

好那我们刚才说了

Xn减去np除以根号npq

是近似服从正态分布的

那所以这个概率是不是就可以近似地等于

标准正态分布在b-np除以上根号npq

和a-np除以上根号npq

这两个点之间的分布值相减

所以这样的话呢

我们要计算二项分布的概率就转化成了

我们要计算二项分布的概率就转化成了

标准正态分布的概率

我们具体看个例题

它们独立的工作开工率0.6

开工时耗电两千瓦

问供电所至少要供给这个车间多少电力

问供电所至少要供给这个车间多少电力

才能保证以不低于99.9%的概率

保证这个车间的正常生产

假如说我们设

某时刻工作着的车床数为X

某时刻工作着的车床数为X

那显然X是一个二项分布

n取200 p取0.6

设至少要供给这个车间r千瓦电

才能以99.9%的概率

保证这个车间的正常运行

那也就意味着我们要问的问题

其实也就是让2X≤r的概率

要大于0.999

那我们来计算一下这个概率

X服从二项分布的

那我们要2X≤r的概率

那是不是就可以利用我们刚才得到的公式

它就等于近似等于

Φ（（r/2-200*0.6）

/根号200*0.6*0.4)

-Φ((-200*0.6)/根号200*0.6*0.4)

注意

这个地方后边的话是0-200*0.6

原因是什么呢

原因是因为2X肯定大于等于0

所以我们只需要算在0-200*0.6

除以这个数的分布值就可以了

那显然把这个化简一下

就可以得到了是Φ((r/2-120)

/根号48)-Φ(-17.32)

那显然这个-17.32是不是很小

所以这个Φ值我们可以近似它是零

所以这个呢

就近似等于Φ((r/2-120)

/根号48)

要这个概率呢大于等于0.999

可以查表我们可以得到

只需要(r/2-120)/根号48呢

大于等于3.1

化简我们就可以得到r值要大于等于282即可

也就意味着供给282千瓦电时

我们就能以99.9%的概率保证这个车间的正常生产

德莫弗拉普拉斯定理

除了可以估计二项分布的概率

我们还可以用它来估计频率估计概率时的误差

由上面的定理

我们可以知道

Xn除以n-p的绝对值小于ε的概率

把它转换一下就等于什么呢

就等于Xn-np的绝对值小于nε

或者也就等于什么呢

把它标准化一下

Xn-np除以上根号npq

小于ε根号n除以pq

大于-ε除以根号npq的概率

根据中心极限定理

那显然Xn-np除以根号npq

近似服从标准正态分布

所以这个概率就可以近似地等于

Φ(ε*根号n/pq)减去

Φ(-ε*根号n/pq)

化简一下就等于2倍的Φ

(ε*根号n/pq)-1

利用这个结论

我们就可以解决三类问题

一类问题就是已知npε求概率

Xn除以n-p的绝对值小于ε的概率

那显然根据刚才算的

这概率就近似等于什么2倍的Φ

在ε根号n除以pq处的值减1

第二个问题

如果要想使Xn除以n与p的差异

不超过某个定数ε的概率

不小于给定的数β

那我们需要做多少次试验呢

简单说也就是求满足下面这个式子的n

哪个式子呢

2Φ(ε*根号n/p（q-1）)≥β

把这个式子中的n求出来

那这个n就是我们所要的实数

当然我们同样的还可以给定n p β求ε

我们看一个例题

今从良种率为1/6的种子中

任取6000粒

问能以0.99的概率保证这6000粒种子中

良种所占的比例

与1/6的差的绝对值不超过多少

相应的良种粒数在哪个范围内

假如说我们设良种数是X

显然X服从二项分布

其中n是6000 p是1/6

我们设良种比例

与1/6的差的绝对值的界限是α

那也就意味着X/6000-1/6的绝对值

小于等于α的概率应该达到0.99

这个显然是第二个问题

要求这个界限

好那我们呢

根据刚才分析

左边的概率

其实就近似等于2倍的Φ

α根号n除以pq

也就是6000除以1/6乘1-1/6

然后呢

再减1等于0.99

那显然这个查表可以得到

这个式子左边这个α

乘根号下6000除以1/6乘5/6

这个近似等于2.58

化简我们就可以得到α应该等于0.0124

那α已经知道了

那良种数X的范围呢

注意X除以6000减1/6的绝对值

我们是要求小于α的

所以化简下来

X是不是应该落在1/6-α*6000

和1/6+α*6000之间

化简得X落在925到1075之间

最后我们介绍第三个中心极限定理

李雅普诺夫中心极限定理

设X1X2……是独立的随机变量序列

而且Xk的期望等于μk

Xk的方差等于σk的平方大于0

注意这个地方

我们不要求Xk期望Xk的方差相同

只要存在就可以

接下来我们定义Bn方等于σk的平方求和

如果下面这个条件成立

这个条件是什么

就是Bn^(2+δ)分之一

乘上(Xk-μk)^(2+δ)的期望求和

这个级数收敛到零

我们就得到Xn也服从中心极限定理

也就意味着Xn的和的标准化变量

它的分布函数

也会趋向于标准正态分布的分布函数Φ

注意

李亚普诺夫定理中的它的条件

要比之前讲的独立同分布的条件要弱很多

这个地方不要求它的期望相同

不要求它的方差相同

它有一个假设条件要强一点

就是要求那个Bn方

要满足一定的条件

本节小结

这一节的主要介绍了

中心极限定理的相关内容

我们其实它介绍了中心极限定理的定义

还介绍了三个中心极限定理

就独立同分布的中心极限定理

德莫弗拉普拉斯的中心极限定理

李雅普诺夫中心极限定理

此外呢

我们还利用德莫佛拉普拉斯中心极限定理

给出了用频率估计概率时误差的估计

课后大家可以围绕这些部分进行复习