4.1 数学期望（上）在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

今天我们学习第4章

随机变量的数字特征

在前面的章节中

我们讨论了随机变量的分布函数

并且知道利用分布函数

我们能够完整的描述随机变量的统计特性

但在实际问题中确定一个随机变量的分布函数

其实非常困难

而且很多时候我们并不要求全面考察

随机变量的统计规律

只需要了解它的一些特征

因此我们也就不需要求出分布函数

好

我们所谓的数字特征

其实就是用来描述随机变量某一方面的特征的

它是与随机变量相关的一些数值

虽然不能完整的描述随机变量的统计规律

但它已经能够反映出随机变量在某一方面的特征

换句话说

所谓的数字特征其实就是对随机变量的信息

进行压缩

简化

其在理论和实践中都具有很重要的意义

在本章中我们主要介绍几个常用的数字特征

数学期望

方差

协方差

相关系数和矩

今天我们首先学习数学期望

数学期望的学习

我们主要分成三个部分

第1个部分数学期望的定义

第2个部分随机变量函数的数学期望

第3个部分数学期望的性质

好

第一

数学期望的定义

好

在讲这个定义之前

我们先给一个例子

分赌本问题

这个问题是法国的一个赌徒的De Mere

向当时的大数学家帕斯卡提出的一个问题

什么问题呢

来我们看看

A B两人赌技相同

各出赌金100元

并约定先胜三局者为胜

取得全部的200元

由于出现了意外情况

A胜两局

B胜一局时赌博不得不终止

这时候就会出现一个问题

赌金应该怎么分配

才是比较合理或者比较公平

那De Mere把这个问题向帕斯卡提出来

帕斯卡考虑了问题

并与当时另外一个数学家费马他们共同讨论

这个问题

同时惠更斯荷兰的物理学家也加入讨论

此后大量的数学家都加入这个问题的分析

导致了概率的蓬勃发展

好我们回到这个问题

就是怎么样分配赌金才比较公平

一种方案就是把200块钱都给A

为什么

因为A已经胜了两局了

B只胜一局

也就是意味着A胜的多

所以我们要把钱给A

这时候公平不公平

显然对B是不公平的

因为B有没有可能得到200块钱

有可能

只要B连赢两局 B就可以得到200块钱

但现在把钱都给了A所以对B来说不公平

好我们接下来采取第2个方案

就是平均分

把200块钱平均分给A和B

这时候公平不公平

对A是不公平的

因为A已经胜了两局了

他只要再胜一局就可以得到200块钱

而B只胜了一局

所以他要得到200块钱需要再赢两局

或者换句话说A更容易的

能得到200块钱

这时候我们现在A只得了100块钱

所以对A来说是不公平的

好

既然这两种方案都不合适

用哪种方案才比较公平

当时帕斯卡就提出了一个重要的思想

他们获得的赌金应该和他们最终赌完获胜的

可能性是相同的

好

根据这个思想

我们来把这个问题具体分析一下

显然A已经赢了两局

B赢了一局

我们只需要再赌两局

这结论肯定就能出来

所以我们假设继续赌两局

结果有以下4种情况

AA

也就是A胜 A胜

AB

A胜B胜

BA

B胜

A胜

BB两局都是B胜

这两局的结果加上前面的三局结果

我们就构成了完整的五局

前三局A胜两局

B胜一局

接下来两局可能的结果是AA AB BA BB

显然后两局的前三个结果

AA AB BA 都导致了A获胜

只有 BB结果出现的时候

B才能获胜

所以A获胜的可能性和B获胜的可能性之比是

3比1

或者换句话说

A赢的概率是四分之三

B赢的概率是四分之一

根据帕斯卡的思想

获得的赌金应该和他获胜的概率相同

所以A应该获得赌金的四分之三

而B只能获得赌金的四分之一

所以我们说A期望能得到的数字应该是多少

是不是就200乘上四分之三加上0乘上四分之一等于150元

B期望能得到的数目应该是

200乘四分之一加上0乘四分之三

所以等于50元

Ok

这个问题就得到了解决

好

我们接下来把它再深入一点

我们引入一个随机变量X

好 设X为A胜两局

B胜一局的前提下

继续赌下去

A最终获得的赌金

则最后的结果A只能是胜

也就是得200 输得0

所以X的取值也就是200和0

其对应的概率 X取200的概率就相当于A

获胜的概率四分之三

X取0的概率其实就相当于A输掉的概率也

就是四分之一

所以根据X的取值和概率

我们会发现什么呢

A获得赌金的期望

其实是不是就是X的取值200和0

乘以它们对应的概率

四分之三和四分之一

然后累加

所以我们所说的期望的赌金应该就是X的取值

与概率的乘积再累加

好

把这一结论进行一般化

我们就可以得到离散型随机变量的数学期望的定义

好

设 离散型随机变量X的分布率

X取xk的概率

如果是pk的话

若级数xk*pk的和绝对收敛

我们就称 X的数学期望存在

也简称期望 记做EX

定义 EX等于xk乘pk求和

好

关于这个定义我们进行2点说明

第1点

EX是一个数

而不是变量

它其实就是一个加权平均

对谁加权对xk进行加权

权重就是pk

所以所谓的期望本质上它就体现了随机变量X

变化的一种平均值

所以我们一般情况也叫它均值

第2个在定义中我们加了一个条件

要求xk*pk的和这个级数是绝对收敛的

为什么要加这个条件呢

因为我们知道期望反映的是X取值的一个平均

显然它平均值应该和你取值的顺序没有关系

但是我们知道对于无穷级数来说

和是与级数的顺序有关系的

所以为了保证和不依赖于次序

所以我们需要加这个条件

就是xk*pk的和级数绝对收敛

这样就可以避免求和次序导致和的改变

好

接下来我们看一个例子

谁的技术好

这是一个很简单的例子

甲 乙两个射手他们的分布率分别是甲击中的环数

8

9

10

对应的概率分别是0.3

0.1

0.6

乙击中的环数

8

9

10

对应的概率是0.2

0.5

0.3

我们的问题就是甲和乙谁的技术更好一点

怎么样比较谁的技术更好

我们是不是只要考虑他们的平均击中环数

谁高我们就认为技术好

而所谓的平均击中环数是不是就是我们刚才

提出的期望

所以我们设甲 乙两人击中的环数分别为

X1和X2

所以我们要求它们的平均环数其实就是求X1 X2的期望

好

X1 X2都是离散型随机变量

所以啊

他们的期望应该等于什么

取值乘概率求和

所以X1的期望就等于X1的取值

8 9 10分别乘以它对应的概率

0.3

0.1

0.6

然后把它们加起来

最后的结果是9.3

同样的X2的期望

我们也是用X2的取值乘对应的概率求和

最后的结果是9.1

通过比较

显然X1的期望要大于X2的期望

所以我们认为X1的技术或者说甲的技术更好一点

好

我们刚才介绍了离散型随机变量数学期望

那就是取值乘概率求和

接下来我们分析连续型随机变量

数学期望又该怎么定义呢

显然对连续型随机变量

我们就不能用x乘以pk来求和

得到

因为什么

因为连续随机变量任何一点的概率都是0

所以这个没有太大意义

我们连续型随机变量的数学期望应该怎么定义呢

我们的基本思想是把连续型随机变量进行离散化

用一个离散型随机变量的数学期望来近似

连续型随机变量的数学期望

具体来讲

假如我们说连续型随变量X的概率密度是f(x)

我们不妨设在X在a到b之间

f(x)是非零的

好

我们把这个区间离散化

则a等于x0小于x1

小于等等小于xn等于b

可以很容易的看出X落在这个区间

xi到x(i+1)内的概率其实就近似

等于f(xi)乘以上x(i+1)减xi

这样子的话我们就构造了一个离散型随机变量

它的取值就是xi

取值对应的概率正好就是f(xi)乘以x(i+1)减xi

而且X与离散型随机变量很相似

所以我们就可以用离散型随机变量的期望

来近似连续型随机变量X的期望

我们来看看离散型随机变量

期望应该是多少呢

离散型随机变量取值呈概率

所以取值xi乘以概率

f(xi)乘以x(i+1)减xi

然后求和

这就是离散型随机变量的

期望

好

大家看这个结果求和

是不是正好会趋向于一个定积分

谁的积分 x乘f(x)从a到b的积分

好

我们刚才说了X的期望应该和离散型随机变量的

期望很相似

我们是不是就可以用这个和的极限

也就是定积分来描述X的期望

好

这样就给出了连续型

随机变量

数学期望的定义

设

连续性随机变量X的概率密度为f(x)

若

x*f(x)从负无穷到正无穷

这个积分绝对收敛

我们就称积分的值为X的期望

记作EX等于x乘以f(x)从负无穷到正无穷的积分

所以期望我们一般简称期望

当然也叫做均值

好

接下来我们看一个例题

等待服务时间

设某个顾客在一个银行的窗口等待服务时间是X

X服从指数分布参数为1/5

所以它的密度f(x)应该是x大于0的时候是1/5

乘以e^(-x/5)

x小于等于0的时候呢是0

我们的问题是顾客等待服务的平均时间应该是多少

等待服务的平均时间

其实

就是X的期望

所以我们要求平均时间其实就是X的期望

等于多少

这是一个连续型随机变量

所以X的期望等于x乘以f(x)

从负无穷到正无穷的积分

当然显然这个f(x)在大于0的时候才是非0的

所以我们这个积分只需要在0到正无穷上积

x乘以密度1/5

e^(-x/5)

通过分部积分结果很容易得到

等于5

所以我们说顾客平均等待5分钟就能得到服务