7.1 矩估计法在线视频

大家好，

欢迎来到我的课堂！

今天开始，我们要学习第七章：

参数估计。

统计推断的两个基本问题，

一是估计问题，

二是假设检验问题。

在估计问题当中，

对总体的分布类型进行估计

是非参数估计问题；

已知总体的分布类型，对参数进行估计

是参数估计问题。

估计参数的值，即点估计；

估计参数的取值范围，即区间估计。

今天开始，我们要来学习点估计的内容。

设总体X的分布函数形式已知，

但有一个或多个参数未知。

借助样本，

估计总体未知参数的值的问题

称为参数的点估计。

已知总体X

分布函数为F(x,θ)，

其中θ未知。

X1,…,Xn是总体X的一个样本，

我们构造样本的函数，对θ进行估计。

即构造统计量

θ^(X1,…,Xn)，称为估计量。

经过观测，

我们将样本值代入估计量，

得到θ的近似值

θ^(x1,...,xn)，称为θ的估计值。

估计量与估计值统称为估计，

都记作θ^。

在点估计这部分，

我们需要解决两个问题：

一是点估计的方法，

二是估计量的评选标准。

我们首先来学习矩估计法。

回顾辛钦大数定律：

设X1,X2,…是独立同分布的随机变量

其公共期望存在，记作μ。

那么X1,…,Xn的算术平均

依概率收敛于公共期望μ。

现在，假定X1,…,Xn是总体X的一个样本。

根据样本的特征，

X1,…,Xn独立，

且与X同分布。

假定X的期望存在，

那么，样本的算术平均

依概率收敛于总体期望。

现在我们再考察Xi^k，

它们仍然相互独立

且与X的k次幂同分布。

如果X^k的期望存在，

那么下面的式子也成立。

我们看到，左侧是样本的k阶矩，

右侧是总体的k阶矩。

我们将这一结论叙述成定理：

假设X1,…,Xn是总体X的样本。

如果总体的k阶矩存在，

那么样本k阶矩

依概率收敛于总体k阶矩。

这个定理的意义：

它告诉我们，

用样本k阶矩可以来估计总体k阶矩。

二、推广，

如果g是连续函数，

那么样本矩的函数

依概率收敛于总体矩的函数。

因此，

如果总体的未知参数θ

能够写成总体矩的函数，

那么我们就可以用左端的

样本矩的对应函数

来估计θ的值。

这就是矩估计法的基本思想——

即用样本矩的函数估计总体矩的函数。

矩估计法的关键在于，

如何用总体矩表示出未知参数θ。

这个往往难以做到，

但是反过来，假定θ已知，

我们可以计算出各阶总体矩μk。

因此，矩估计法的步骤如下：

假定这里X的分布函数已知，为F。

θ1,…,θk是k个未知参数。

第一步，

我们计算k阶总体矩

μ1,…,μk，

它们是θ1,…,θk的函数。

一般来说，

如果总体当中有k个未知参数，

那我们可以计算总体的前k阶矩。

第二步，

在上面给出的方程组当中

我们求解θ，

解得θ1,…,θk，

将它们表示为总体矩μ1,…,μk的函数。

第三步，替代。

我们以样本矩替代总体矩

例1，

设某炸药厂一天中发生着火现象的次数 X

服从参数λ的泊松分布，

（λ>0，未知）

由下面的表格估计λ的值。

表格当中统计了总计250天的着火次数，

其中有75天0次着火，

90天1次着火，

以此类推。

下面，我们使用矩估计法

对λ进行估计。

由于这里只有一个未知参数λ，

因此我们只计算一阶矩。

总体的一阶矩为μ1

等于总体期望，即λ。

从上式当中解出λ，

显然λ就是μ1。

第三步，替代。

用样本矩A1替代上式中的总体矩

得到矩估计量

λ^=A1。

下面我们将样本值代入，

计算矩估计值，

得到矩估计值：λ^=1.22。

要注意，

估计量是随机变量，

是样本的函数；

估计值因样本值而异，

是数值。

例2，

设总体X是连续型随机变量，

其概率密度函数f(x)由这个公式给出。

（其中α＞0，未知）

现在求α的矩估计量。

同样是一个未知参数，

总体一阶矩μ1等于总体的期望，

经过计算

μ1=(α+1)/(α+2)。

下面我们从这个式子当中解出α，

上式经过整理得到这一形式，

解出α等于(2μ1-1)/(1-μ1)。

第三步，替代。

我们用样本矩替代上式当中的总体矩，

得到α的矩估计量α^等于这一形式。

例3，

设总体的期望和方差存在，但未知。

X1,…,Xn是总体的一个样本，

现在求μ和σ²的矩估计量。

这里需要估计两个参数，

因此，我们计算总体的一阶和二阶矩。

总体一阶矩是期望，等于μ；

总体的二阶矩是X²的期望，

利用平方期望公式，

它等于方差加上期望的平方。

下面从这个方程组当中求解μ和σ²。

显然μ=μ1，σ²=μ2-μ1²。

第三步，替代。

我们用样本矩替代上式当中的总体矩，

得到μ和σ²的矩估计量

μ的矩估计量为X¯；

σ²的矩估计量为A2-A1²，

也就是样本的二阶中心矩。

注意，例3当中并没有给出总体的分布，

矩估计法是不需要知道总体分布的！

例4，

设总体X服从[a,b]上的均匀分布，

其中a,b未知。

设X1,…,Xn是一个样本，

求a,b的矩估计量。

这里同样是两个参数。

我们计算总体的一阶和二阶矩，

经过计算

得到它们的结果。

从方程组当中

解出a和b。

第三步，替代。

用样本矩替代上面方程组当中的总体矩，

得到a和b的矩估计量。

今天，我们学习了矩估计法。

它的基本思想是用样本矩的函数

估计总体矩的函数。

注意，

1. 总体矩不存在时无法用矩估计法；

2. 也可用样本中心矩估计总体中心矩。

采用的矩不同，

得到的估计量可能不同；

3. 矩估计法基于大数定律，

在大样本下才有较好的效果；

4. 矩估计法没有充分利用总体分布的信息。

好，今天的课就到这儿。

谢谢大家！