5.3 中心极限定理（上）在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

今天我们学习第二个部分

中心极限定理

关于中心极限定理

我们主要介绍下面四个部分

第一个中心极限定理的定义

第二个独立同分布的中心极限定理

第三个德莫佛拉普拉斯中心极限定理

第四个李雅普诺夫中心极限定理

我们先看一个例子

射击命中点与靶心距离的偏差

我们知道我们每次射击的时候

命中点都是不一样的

原因在于射击的时候

我们总会受到很多偶然因素的影响

比如说瞄准误差

测量误差

子弹制造过程方面的误差

比如说外形 重量

还有设计师武器的震动 气象因素

比如说风速 风向 能见度

温度 湿度等等

所有这些因素

都可能对我们的命中点进行影响

所以这些不同的因素所引起的微小误差

它们又会服从什么分布呢

这就是我们要的问题

也就是某个随机变量

如果是由大量的微小的随机变量相加得到

那这个随机变量

它的分布又该什么情况呢

我们还是以这个例题为例

进行一个数值模拟

我们能从中选取n个影响因素

假设这n个影响因素是独立的

而且都服从（0,1）上的均匀分布

令Yn表示这些影响因素的算术平均

也就Yn等于n分之X1+X2

……+Xn

我们要考虑的是

当影响因素逐渐增加的时候

这个Yn的分布函数如何变化

注意我们大数定律考虑的是这个Yn

它会收敛到某个数

而我们的中心极限定理呢

不是考虑它收敛到某个数

而是考虑它的分布函数

会收敛了什么情况

我们对它进行一个数值模拟

对每个影响因素呢

我们抽一个随机数

然后把这些随机数算一个平均

得到了Yn的具体取值

然后把这一个过程的我们重复了一万次

以这一万个平均数的分布

作为Yn的分布的一个近似

大家会发现当n=1的时候

其实这个Y1其实就是X1

也就是意味着均匀分布

所以大家看

我们模拟出来这个是不是近似等于均匀分布

n=5 n=10 n=15

n=30 是不是就是变样子了

虚线描述的都是一个正态分布

这个虚线的表示的是以1/2

n/12为参数的正态分布

所以大家观察会发现什么了

当n=1的时候

这两个好像没有太大关系

但你会发现

如果n=30的时候呢

这个Yn的分布和这个正态分布

是不是基本重合了

所以我们就得到了一个结论

就是这个Yn的分布会收敛到正态分布

我们把这个均匀分布换一个 换成指数分布

其中参数我们取为0.01

类似于之前的工作

我们同样

对0.01的这个指数分布进行数值模拟

这是数值模拟的结果

大家会发现

当n足够大的时候

你看这个Yn的分布

是不是也会收敛到一个正态分布

通过这两个例子模拟我们会发现什么呢

在一定的条件下

随机变量的算术平均的分布函数

会逼近于一个正态分布

或者简单一点说

如果把这个平均值进行标准化以后

其分布呢

应该逼近于标准正态分布

而这个性质我们就称为中心极限定理

中心极限定理定义

设X1X2……是独立的随机变量序列

且Xk的期望 Xk的方差都存在

令Zn表示Xk的和的标准化变量

也就是Xk的和减去Xk和的期望

再除以Xk和的标准差

如果对于任意的x

有Zn小于等于x的概率

会收敛到标准态分布

也就意味着Zn的分布函数

如果会收敛到Φx标准差分布函数

我们就称这个随机序列Xn服从中心极限定理

接下来我们介绍几个中心极限定理

第一个我们介绍独立同分布的中心极限定理

也叫做列维-林德伯格定理

设X1X2……是独立的同分布的随机变量序列

而且Xk的期望等于μ

Xk的方差等于σ方大于零

则结论就是Xn服从中心极限定理

也就意味着Xn的和

减去期望nμ除以标准差

根号nσ小于等于x的概率

会收敛到标准态分布

这个定理我们就称为独立同分布的中心极限定理

我们看一个例题

一生产线生产的产品成箱包装

每箱的重量是随机的

假设每箱平均重50千克

标准差为5000克

若用最大载重量为5吨的汽车承运

试利用中心极限定理

说明每辆车最多可以装多少箱

才能保障不超载的概率大于0.977

我们来看看

设最多可以装n箱

保障不超载的概率大于0.977

假如说 Xi为第i箱的重量

则显然Xi期望等于50

Xi的方差等于5的平方25

i从1到n

所以呢

我们要的问题就是取n

使得什么呢

使得Xi和小于等于5吨

也就是小于等于5000的概率

要大于0.977

我们的问题就在于

满足这个事实的n应该是多少

由独立同分布的中心极限定理

我们可以知道什么呢

Xi的和小于等于5000的概率

相当于什么呢

Xi和减去期望50n

除以标准差5倍的根号n

是不是就小于等于5000减去50n

除以5倍的根号n的概率

大家注意左边这个式子

Xi的和减去50n除以5倍根号

它是近似服从标准正态分布的

所以这个概率可以看成是

标准正态分布X小于等于5000减50n

除以5倍根号n的概率

所以也就等于Φ((5000-50n)

/5倍根号n)

这个概率要大于等于0.977

那可以很容易的得到查表知道

这个数应该大于等于2

所以呢

我们计算得到n＞102.02 或n＜98 .02

那根据实际

我们显然n取98

这样的这个例题就做完了

即最多可装98箱

保障不超载的概率大于0.977

好这节课

我们就讲到这里

下节课我们继续介绍中心极限定理