2.4 随机变量的分布函数在线视频

同学们 大家好

今天我们接着介绍

概率统计这门课的第二章

随机变量及其分布的第三节

随机变量的分布函数

这一节包含两个内容

第一个分布函数定义

第二个分布函数的性质

首先来看 分布函数的定义

假设 X 是一个随机变量

x 是任意的一个实数

那么这样子的一个函数

F(X) 等于 X≤x 的概率

我们把他就称为

随机变量 X 的分布函数

大家来看这个图

给定的 x

那么 X≤x

就落在了 x 的左侧

那么这个时候分布函数表示的是

随机变量落在 x 左侧的概率

为什么要介绍随机变量的分布函数

原因在于

很多随机事件的概率

都可以通过分布函数来计算

比如说

对任意的实数 x₁, x₂ (x₁< x₂)

那么这个时候

x₁＜X≤ x₂ 的概率

大家看这个图

它就落在了 x₁ 和 x₂ 之间

当然不包括 x₁ 点

包括 x₂ 点这样一个区间上的概率

它等于什么

根据概率的性质以及随机事件的性质

我们很容易发现

X 落在这个区间上的概率

恰好等于 X≤x₂ 的概率

减去 X≤x₁ 的概率

也就是F(x₂)-F(x₁)

因此 如果一个随机变量

它的分布函数确定了

那么 他有一些事件的概率就随之

根据分布函数完全确定

下面看一个例子

给定一个随机变量

假设这个随机变量是离散型的

它的分布律是这样子的

我们来求一下 X 的分布函数

那么 这个时候我们注意到

刚才定义当中那个分布函数

自变量 X

它取值是全体实数

也就是说它的取值

充满整个实数区间

那么我们要计算

X 的分布函数

那么 这个时候

X 这个随机变量是个离散型的

它的取值有三个 -2 1 2

那么 -2 1 2

是我们计算分布函数的三个关键点

那么 这三个点

将我们这个实数轴分成了四个区间

我们分别来算

当x＜-2时

那么 这个时候我们来看

当x＜-2时

X≤x 的概率

这里面没有包含随机变量 X 的取值点

所以这个时候

X≤x 是一个不可能事件

也就是说

分布函数F(x)=0

当 -2≤x＜1 的时候

也就是 x 落在-2到1之间

这个时候我们来计算分布函数

我们看一下

这个时候 X≤x

只包含了-2这一个点

所以我们算这个概率的时候

F(x)等于X≤x的概率

因为它只包含这样一个点

所以它就等于

X=-2 的概率等于三分之一

当 1≤x＜2时

这个时候

我们说满足 X≤x 的 X 取值有两个

一个是-2 一个是1

因此F(x)=P｛X≤x｝

就等于 X=-2 的概率

加上 X=1 的概率

注意这里的 X=-2 和 X=1

这两个事件是互不相容的

所以他们和的概率等于概率的和

同理

当 2≤x 时

F(x) 等于 X≤x 的概率

那么 这时候

负无穷到 x 这个区间

包含了-2 1 2这三个点

所以它的概率是等于1的

这样一来

我们就将分布函数计算出来了

它是一个分段函数的形式

我们把它的图像画一下

大家可以看出来

它是一个分段函数

而且是一个阶梯函数

而且这个阶梯函数大家看

左端点是实心点

右端点的是空心点

比如说

在1那一点处它的取值是二分之一

而不是三分之一

做一个说明

分布函数F(x)

在 x=xk 处有一个跳跃

那么 这个跳跃 跃度值是多少呢

我们可以发现

这个跃度值恰好是 X=xk 的概率

因此

对于离散型随机变量

如果它的分布律已知

我们可以根据这个跃度值

直接把它的分布函数写出来

下面 我们来看一下第二部分

分布函数的性质

首先

我们来观察离散型

和连续性分布函数的图像

大家可以看出

分布函数一定具有这样的性质

第一点

F(x) 是一个单调不减的函数

换句话说

它是一个单调递增的函数

随着 x 的增加而增加

第二点

F(x) 由于它代表的是 X≤x 的概率

所以它的取值一定大于等于零

小于等于1

而且我们还可以证明

当 x 趋于负无穷时

F(x) 的极限是0

我们把它记做 F(-∞)=0

而且当 x 趋向于正无穷时

F(x) 的极限是1

我们把它记做 F(∞)=1

第三个性质

根据图像我们可以看出

由于每一个区间上

左端点处一定是实心点

右端点处上可能是空心点

那么这个时候

F(x) 一定是右连续的

这一点的在数学上

我们也可以给出严格的证明

在这里

我们就不去严格证明了

下面我们来看第二个内容

用分布函数来计算某些事件的概率

假设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数

那么 这个时候我们来看

X＜a 的概率怎么算

由于分布函数指的是 X≤x 的概率

那么 X＜a 的概率呢

应该可以表示成 n 趋向于无穷时

X小于等于a减去n分之一的概率

那么 根据概率的连续性

这一点是显然成立的

那么 这个时候后面怎么办

我们来看一下

X 小于等于 a 减去 n 分之一的概率

恰好等于F a减n分之一

也就是说这个时候

n趋于无穷时

这个极限恰好表示的是

F 在 a 这一点的左极限

那么 X=a 的概率等于什么

就应该等于

P｛X≤a｝-P｛X＜a｝

这是根据概率的性质得到的

这是非常简单的

那么 P｛X≤a｝=F(a)

而 P｛X＜a｝

恰好是 F 在 a 这一点的左极限

因此

我们利用分布函数也可以计算

X=a 的概率

再来看

a＜X≤b 的概率

那么根据事件的关系

这个 a＜X≤b 这个事件

可以写成 X≤b 这个事件

减去 X≤a这个事件

那么这个时候

这个概率也同样满足这个性质

就是 P｛X≤b｝-P｛X≤a｝

而 P｛X≤b｝=F(b)

P｛X≤a｝=F(a)

所以 这个

P｛a＜X≤b｝=F(b)-F(a)

同样的

如果是 P｛a≤X≤b｝

这个时候我们会发现

它恰好等于 P｛a＜X≤b｝这个事件的概率

再加上 P｛X=a｝

同样我们也可以用分布函数来表示

a＜X＜b 的概率

等于 a＜X≤b 的概率

减去 X=b 的概率

经过计算

它恰好等于 F 在 b 这一点的左极限

再减去 F 在 a 这一点的函数值

那么 a≤X＜b的概率

等于 a＜X≤b 的概率

再减去一个 X=b 的概率

再加上一个 X=a 的概率

由于 a＜X≤b 的概率

以及 X=b 的概率

X=a 的概率

都已经用分布函数表示出来了

这个时候

我们就可以用分布函数

表示 a≤X＜b 的概率

F在 b 这一点的左极限

F在 b 这一点的左极限

就是这个形式

F在 b 这一点的左极限

减去 F 在 a 这一点的左极限

同样我们可以计算 X≥b 的概率

考虑对立事件

X≥b 的概率

等于1减去 X＜b 的概率

也就等于1减去F在b这一点的左极限

通过这些例子我们可以发现

要计算随机变量落在某些区间上的概率

我们都可以利用分布函数来计算

下面我们来具体看一个例子

假设随机变量 X 的分布函数给定

是这样一个形式

F(x)=A+Barctgx

让我们求证的参数A和B

注意 这里有两个参数

我要想把这两个参数求出来

我得建立两个方程

那么 根据我们分布函数的性质

我们知道

F(∞)=1 F(-∞)=0

首先来看 x 趋于负无穷时

F(x) 的极限一定是0

那么 x趋于负无穷时 A+Barctgx

它的极限是多少

我们可以算出来

就是A减去二分之π乘以B

同样的

x 趋于正无穷时

分布函数的极限是1

而 x 趋于正无穷时

A+Barctgx 的极限

是A加上二分之π乘B

这个时候我们就得到了两个方程

在这两个方程当中有两个未知数

A和B

我们就可以将A和B求出来

求出A和B的值来之后

我们就得到了A等于二分之一

B等于π分之一

这是利用分布函数的性质

求解未知参数

本节小结

这一节重点要求大家掌握

分布函数定义以及性质

用分布函数计算某些事件的概率

特别是 X=a 的概率

等于 F 在 a 点的函数值

减去 F 在 a 点的左极限

今天我们就讲到这里

下一节课我们将继续介绍

连续型随机变量