1.8 条件概率（下）在线视频

同学们好

我们继续来上课

请看例题8

假设在n张彩票中有一张奖券

每人任意的摸一张取后不放回

求第二人能够中奖的概率是多少

用Ai表示

第i个人摸到这张奖券

好那根据我们刚才前面讲的全概率公式

这个Ai的概率啊

就可以写成它为什么呢

那是因为

第一次第一个人

他要么摸到

要么没有摸到对不对

所以A1和A1拔就构成样本空间的划分

所以根据全概率公式

我们就可以写成它

好第一次第一个人摸中的概率是n分之一

对不对第一个人摸中

第二个人

在某种的可能性没有了

好在看后面这个第一个人

它就摸不中的可能性n

这里面只有一张

这一个人可以摸中

所以摸不中的概率是n分之n-1

如果第一个人没有摸中

第二个人摸中的概率

n减一分之一

再次告诉我们

这个抽签抓阄的这个问题与次序无关

第二个人摸中的概率和第一个人是一样的

是n分之一

这里就用到了我们的全概率的思想和方法

事实上

继续做下去的话

每个人摸到奖券的可能性都是n分之一

那么同学们不要

把这个概率和如果第一个人摸中

第二个人摸中的概率那是零

那是条件概率

不要把条件概率和这个中奖的这个概念给混淆了

再看这个假设

工厂A和B的产品的次品率一个是1%

一个是2%

现在

由A和B的产品分别占了60%

40%的一批产品中

随机的抽取一件

给你求它是次品的概率

就是在这些产品里面任意的取一件

它是次品的可能性是多少

那我们看A表示

取到的是次品

B1表示取到的是A厂的

B2表示取到的是B厂的

因为产品要么是A厂的

要么是B厂

但是由于你直接想

它是次品的可能性是多大

有这个时候你并不知道它来自于哪一个厂家

如果硬逼一逼啊

先把样本空间把它进行划分

这个想不清楚的问题就是想清楚了

那么我们可以看出

B1的概率60%零点六

来自第二个厂的是40%零点四

如果是B我知道了

是第一个厂家生产的那么次品呢

这个次品率是零点零一

那个是零点零二

你看

根据全概率公式

我们就很轻松的可以得到它是次品的概率

等于0.014

所以解决这个问题就得益于我们刚刚学习的全概率公式

拿到次品的概率是多少

当然

如果要这么问你问题

我说拿的这些产品

我经过测试

我经过使用发现是次品

但是我看不出来是哪个厂家生产的

你能给我计算一下

推断一下它是A厂生产的可能性是多大呀

好那就要求这样的一个条件概率

A已经发生了B1发生的概率

刚才我们求的是A发生的概率

它是次品的概率

现在知道了是次品来自于第一个厂家的可能性有多大

好那根据条件概率公式

A和B的积事件的概率就除以A的概率

A的概率用全概率公式不刚才已经求出来了吗

我们只要把分子再展开一下看能不能求出来

根据乘法公式

A它可以展开为B1发生的概率

B1发生条件下A发生的概率

所以

等于0.6x0.0.1÷0.014

看细分之下就是如果发现这个产品是次品的话

那它是第一个厂家生产的可能性比第二个厂小一些7分之3

如果再算一下B2是必要的可能性

那就会是七分之四

那么这个例子一个我们引出了另外一个重要的公式

叫做贝叶斯公式

下面我们来学习这个重要的公式

贝叶斯公式

假设随机实验E的样本空间为S

B1到Bn为样本空间的划分

然后A是里面的任何一个事件

概率标为0

然后这些划分的事件也标为零

那么我们就可以得到

A发生条件下就这个结果知道了

我要找B可以发生

一般把B可以叫做原因

有结果要找原因呢

它是次品呢

来自于哪一个厂家生产的这个可能性有多大

根据条件概率公式

我们可以推出等于它了

这个分母大家可以看出就是刚刚学习的全概率公式

分子的就是乘法公式

打开的BK和A的积事件的概率

乘法公式打开就是分之

好我们来看一个例子

假设一个电子设备制造厂

所用的元件的话由三家制造厂提供的

根据以往的记录有这么一些数据

第一个厂第二个厂

第三个厂

它们的次品的比例告诉你了

它们所占的份额也告诉你了

现在假设三家工厂的产品在仓库当中的是均匀的混合在一起

你看不出来

这个产品是哪一个厂家生产的

问你在仓库当中随机的选一个零件

求它是次品的概率

在仓库中随机的挑选一只元件

如果知道它是次品

让你求出来这个次品分别来自这三个厂家的概率各是多少

利用我们学习的全概率公式

贝叶斯公式就能够顺利地解决这个问题

那么

根据题意第一问大家应该能够判别出来

它是一个全概率公式的问题对不对

相当于我这些产品来自于三个不同的厂家

每个厂家的份额比例

我知道了每个厂家的次品率

我知道了要求任何一个产品它是次品的概率

那我只要利用这些产品来自不同的厂家

作为完备事件组

作为样本空间的

大家可以把第一问给求出来

第二问的话

我知道了是次品结果

知道了要去找原因

那就是贝叶斯公式

下面我们来计算一下

A表示

取到的是次品

来自于哪一个厂家

第i个厂家用Bi来表示

好那根据提示条件

这些概率就都知道了

有全概率公式

A发生的概率就等于这些Bi发生的概率

所以Bi

作为条件A发生的概率

一旦知道了哪个厂家生产的

那么它不是已知的吗

我们做题都是利用已知把未知求出来

好把这些已知的数据带进来就得到了A发生的概率

好那么由贝叶斯公式来算

另外三个条件概率A发生条件下

B1发生条件概率用贝叶斯公式

分母就是上面求出来的概率A发生的概率

实际上

好等于它

类似的

第二个条件概率

类似的第三个条件概率我们就都求出来了

好下面我们再来看一个

在我们生活当中有重要指导意义的例子

以某种实验方法对自然人群进行癌症普查

如果以A表示事件

试验反应为阳性

以C表示事件被检查者患有这种疾病

现在告诉你这样的数据

如果这个患者

他真有这个病

而这种方法能查出来的可能性

能够正确的诊断率很高

95%

没有诊断你没有也很高

95%

那么现在假设普查人群里面

患有这种疾病的可能性是很低的千分之五

现在有一个人用这一种简易的方法诊断出来

阳性阳性就是表示有这种疾病的

这个时候患者一般都很着急了

现在我们从数学上面

我们来求一下

在这么高的诊断率

诊断这个病人

有这种疾病的情况下

他真的有这个疾病的概率多大

同学们想一想

直观上面感受一下

有这种级别的可能性大不大

一般说来

如果没有学过概率统计的话呀

认为它概率很大的诊断率这么高的方法

诊断出了有这个疾病

那有这种疾病的可能性非常大

一般会有这么一种认为

这么一个认识

那么今天我们来求一下到底有多大

好我们把提示已知的条件写出来

C发生的概率

C发生的概率就是被检查出患有这种疾病

这种疾病的发病率是很低的

七分之五

没有这种疾病

A是表示试验反应为阳性

这是诊断出了

没有比诊断有这个概率不大

5%

由贝叶斯公式

我们来求一下

A发生A是什么意思

就是说试验反应为阳性

在这个医院里面诊断出来有这个疾病

然后C

那就是根据题目的假定

被检查者

他真的有这个疾病

我们来算一下

根据全概率公式

检查出来有

然后问你

它真的有的概率是多少呢

根据全概率

根据贝叶斯公式

等于分子PC乘PA|C分母

那就是全概率公式

把题设条件

带进来

看看只有0.087

是不是完全出乎你的意料

因这么高诊断率的一种方法来诊断患病率不高的这种疾病

如果有这个疾病的话呈阳性的话

它真的患有这种疾病的概率非常的低

只有0.087

什么意思

一千个用这个方法检验患有这种疾病的人

平均说来真的有

只有这么多个人患有

这种疾病

这就提醒我们

同学们从这个例子可以发现

对于患病率很低的疾病

一次诊断有这个疾病的时候

它真的有这种疾病的可能性还非常的低

所以还需要再进行确诊

我用这个知识还救了

很多人

好我们这次课讲到这里