2.5 连续型随机变量在线视频

同学们 大家好

今天我们接着介绍

概率统计这门课程第二章

随机变量及其分布的第四节内容

连续型随机变量

今天主要介绍

连续型随机变量的概率密度

以及指数分布

均匀分布等

首先来看一下

什么是连续型随机变量

对于一个随机变量X

假设它的分布函数是F(x)

如果存在一个非负的函数f(x)

使得对于给定的任何一个实数x

F(x)总能够写成f(x)在负无穷到x上的

变上限积分的形式

那么 这个时候我们就称

X 为连续型随机变量

其中函数f(x)称为X的概率密度

或者称为概率密度函数

由定义知道

概率密度 f(x) 具有以下的几个性质

第一点 非负性

由于定义当中就告诉我们

这个x一定是非负可逆函数

所以这一点显然

第二点

f(x) 在负无穷到正无穷上的积分应该等于1

这一点也比较容易判断

因为F(x)等于-∞到x

f(x)dx

所以这个积分

恰好等于F(x)

当x趋向于正无穷时的极限

所以它等于1

这两个条件是概率密度的充分必要条件

换句话说 什么意思呢

任何一个概率密度

一定满足这样一个条件

反过来

如果有一个函数满足这样两个条件

那么 这个时候

一定能找到一个随机变量

这个随机变量的概率密度恰好是f(x)

我们来看这个图

我们下面要来看一下

x₁＜X≤x₂ 的概率

那么 根据前面我们知道

x₁＜X≤x₂ 的概率等于F(x₂)-F(x₁)

那么 我们这个时候

用这个F(x)和密度函数的关系式

F(x₂)等于负无穷到x₂ f(x)dx

F(x₁)等于负无穷到x₁ f(x)dx

利用积分的区间可加性

那么 这个时候这两个积分的差

恰好等于 x₁ 到 x₂ 上

f(x)dx 的积分

这个性质也是非常重要的

第四点

如果f(x)在点x处连续

那么 这个时候根据变现积分的性质

我们会发现

F'(x)=f(x)

如果我们把导数按照定义写出来

它表示什么呢

我们来看

也就是 f(x)=∆x→0 时

F(x+∆x)-F(x)除以∆x的极限

F(x+∆x)-F(x)除以∆x的极限

这个分子表示X

落在x+∆x上的概率

除以∆x

表示的是

x落在x到x+∆x这个区间上的平均概率

换句话说

单位时间或者单位长度上的概率

因此它是一个平均密度或叫平均概率密度

那么当∆x→0的时候

它就表示的是

X落在x这一点的概率密度

这也就是概率密度的来由

如果不计高阶无穷小量

那么 P｛x＜X≤x+∆x｝

近似的等于f(x)∆x

需要注意以下几点

我们来看

连续型随机变量的密度函数的性质

与离散型随机变量分布列的性质

非常相似

但是我们知道

分布率指的是概率

比如说P｛x=xn｝=P(n)

这个P(n)是概率

但是密度函数不是概率

即相应的概率是密度函数乘以一个微元

它是一个密度

我们不能认为

P｛X=a｝=f（a）

这是不对的

那么对于连续型随机变量

还有一个重要的特点是什么

也就是说

如果X是连续型随机变量

对任意的实数a

P｛X=a｝=0

这点的是很容易证明的

下面做一个说明

第一点

根据上面的性质 我们可以知道

对于连续型随机变量

我们关心的是

它在某一点取值的问题

是没有多大意义的

因为一个连续型随机变量

在某一点处取值的概率都是零

所以我们关心的是

这个随机变量

落在某个区间上的概率的问题

若已知连续型随机变量X的密度函数是f(x)

那么 X落在一个区间G

这个G可以是开区间

也可以是闭区间

也可以是半开半闭区间

当然可以是有限区间

也可以是无穷区间

那么 X落在这个G上的概率是什么

就是密度函数在这上的积分

这个区间是什么样子

这个积分是什么样子的

这是我们计算概率的一个重要的公式

大家一定要牢记

下面看个例子

假设X是连续型随机变量

它的密度函数f(x)是这个形式

当 0＜x＜2 的时候

它的取值是c(4x-2x²)

其他地方是0

在这里有一个参数c

所以 题目当中第一个问题

是让求这个参数c

第二点

计算X＞1的概率

那么 要求参数c 我们就列方程

根据密度函数的性质

哪个是方程呢

密度函数的第二个性质

密度函数在负无穷到正无穷上的积分等于1

根据这个性质

我们就可以列一个方程

好 我们来看

由于这个积分等于1 把它带入

是 c(4x-2x²) 的积分

那么 这个积分

由于这个密度函数

它在负无穷到正无穷上都有定义

但是它的非零项只在0到2上取

所以这个无穷限积分

就写成了一个定积分的形式

这个定积分非常容易计算

我们算出来

它的积分只能是三分之八c

这样一来我们就得到了

三分之八c 等于1

所以 c等于八分之三

这第一问就完成了

第二问 我们来计算P｛X＞1｝

根据刚才那个公式

P｛X＞1｝

就是密度函数在1到正无穷上的积分

那么 这个时候f(x)

在哪些地方非零呢

我们知道

它只有在0到2这样一个区间上非零

那么 这个0到2这个区间

和1到正无穷这个区间的交

恰好是1到2

所以这个广义积分

就写成了1到2上的一个积分

经过计算

这个积分指标很容易算

这是个幂函数

对吧 积分值是二分之一

所以 X＞1 的概率就是二分之一

这个例子非常简单

但是这个例子非常典型

希望同学们一定要掌握

尤其是第一个例子

我们如何求一个位置参数

以及第二个例子

我们如何计算某一个随机事件的概率

再看一个例子

假设一个随机变量X的密度函数给定

0＜x≤1 的时候 它是x

1＜x＜2 的时候 是2-x

其他地方是0

让我们求X的分布函数

这个题也比较典型

是已知密度函数求分布函数

那么要求分布函数 我们知道

分布函数的定义域也是整个实数轴

那么根据密度函数的分界点

我们可以将分布函数的分界点确定出来

仍然是0 1 2

那么这个时候

我们需要讨论四个区间

我们来看

当 x≤0 的时候

F(x)等于负无穷到x f(t)dt

那么这个时候

由于 f(t)dt这里的被积函数f

t它在负无穷到x上一定是0

所以这个值就是0

这是第一个

第二个 当 0＜x≤1 的时候

这个时候

我们这个积分区间是负无穷到x

但是在负无穷到0上

这个密度函数也就是f(t)的值是0

所以这个时候

我们就根据区间可加性

这个积分就写成了负无穷到0上的积分

加上0到x上的积分

那么 负无穷到0上的积分是0

那么 0到x场积分呢

被积函数就是t

我们就可以写出来

那这个积分非常容易算

算出来等于二分之x²

然后我们再看第三个

1＜x＜2 的时候

那么 这个时候F(x)

仍然是负无穷到x上的积分

这个时候密度函数F

就分了几部分

三部分

一个是负无穷到0

一个是0到1

一个是1到x

那么 在这三部分

密度函数的取值都不相同

所以

我们根据区间可加性

把这个积分分成三个积分

那么 这三个积分

第一项积分是0

中间0到1上的积分

被积函数是知道的

1到x上积分

被积函数也是知道的

把它带入

就算这两个积分

算出来之后

这个积分值等于-½ x²+2x-1

下面来看

当 x＞2 的时候

当 x＞2 的时候

这个时候根据区间可加性

它仍然分成了四个积分

第一个积分是负无穷到0

第二个积分线是0到1

第三个是1到2

第四个是2档x

那么 它对应的值呢

可以算出来

经过计算

它就等于1

这样一来

我们就可以将

随机变量的分布函数表示出来

仍然是一个分段函数的形式

好 今天的课程就讲到这里

下一节课

我们继续来介绍

具体的连续型随机变量