1.10 独立性（下）在线视频

同学们好欢迎回来

下面我们看例题二

要验收一批一百件啊

乐器验收的方案是这么规定的

自该批乐器当中

随机的抽取三件来测试

假设这三件乐器的测试的话相互独立

如果三件中至少有一件被测试为音色不纯

不合格

我们就说这批乐器就不能够被用户所接收

拒绝接受

假设一批音色不纯的乐器被测试出来的概率是零点九五

就是说不合格的能查出来的可能性是零点九

而一件音色纯的乐器

好的正品

被错误的测为不合格也是有可能的

是可能性很小

零点零一

如果这批乐器当中恰好有四件

音色不纯的就是不合格

一百件里面有四件次品

现在问这批乐器按照这个规定能够被客户接受下来的可能性是多少

这个问题比较长

大家要抓住问题的本质

一百件有混进去了

它告诉你有多少件四件

不合格的产品在这个里面

然后双方规定的我在里面拿三件出来

只要有一件测试不合格

我就不要你这个产品

我也要退货

退货

现在问这一批乐器能够被接受的概率是多少

好我们先把要用到的事件

以字母表示

以Hi来

表示事件随机拿出来的三件乐器当中

恰好有i件音色不纯

那么

拿三件出来有可能没有一件音色不纯都是好的

也有可能有一件不合格

也有可能两件也有可能三件都是不纯的

都是不合格的对不对

那么这个时候这四个事件就构成了完备

事件中就是样本空间的划分

这个很关键

再看A表示事件

这批乐器被接受就是符合要求

也就是说

三件被测试出的都是好的

都是音色纯的

你才能够被接受

对不对

那下面我们来算算这些概率

由测试的相互独立性

那看看这个条件概率

如果这些产品都是正品

没有音色不纯的话

那么能够测试出来是好的

符合要求的可能性是多大呀

三件都符合要求

那就是零点九九的立方就是好的

合格的产品被检验出合格的概率是零点九九

被误测的概率零点零一

所以这里就是零点九九

那就是它的立方

这是第一种情况

三件产品都是好的

都是纯的

如果是第二种情况呢

有一件是不合格的是不纯的

那么这个时候不纯的这一件要检验出来

是纯的可能性

是好的是零点零五

所以是零点九九的平方乘上零点零五

你才能够被接受类似的Hi发生

就是有两个不纯的

放在这里面

三件里面有两件不纯

我要接受它的话

纯的能够检查出来是纯的概率零点九九

不纯的检查出来

是纯的可能性零点零五

所以是两个零点零五相乘平方

类似的

三个都是不合格的产品

检验出来合格

那检验错了吗

那这个概率是很小的

零点零五的立方

好

这些概率怎么来的呢

我们来看一看

先看第一个H0

一百件产品里面我任取三件出来

基本事件整数所有的取法

那是一个组合

C100取三

然后这三件都是纯的

它有四件不纯

纯的有96件

那就是96件里面取三件的取法

有这么多种

C96取3

类似的那么

有三件

里面有一件不纯的取法

有多少种啊

四件不纯

里面取一件C是一剩下的两件是纯的

好的

合格的96件里取两个

所以是C96取二

根据乘法原理

等于完全类似的把另外两个

概率也算出来

这都是古典概型的概率

好又用到全概率公式

A发生的概率就会等于

它们这些概率只有四个事项

概率把它加起来加起来0.8629

就是说这一批产品能够被用户

客户接受的可能性能够达到这么多

好下面我们来看

伯努利随机实验

什么是伯努利随机实验呢

如果一个随机实验只有两个可能的结果

这样的实验就是伯努利实验

我们一般的我们将这两个结果记作A和A拔

刚好是对立的

两个事件两个机构

我们习惯于把它叫做成功与失败

看一个例子

抛一枚硬币

只有出现正面和出现反面两个结果

因此掷一枚硬币就可以看做做一次伯努利实验

再看下面这个例子

我们掷一颗骰子它有六种结果

这个表面上面看

这不是我们讲的伯努利实验

它只有两个结果啊

但是同学们要看清楚啊

看看你的问题呀

到底关心的是什么

如果六个结果都关心那不是的

但是如果我们只关心出现六点和不出现六点

那不还是两个对立的结果吗

那这个时候

也是伯努利实验成功与失败

一定要看清楚问题的本质

不要被表面现象所迷惑了

看例题五

我们掷一颗骰子三次

求六点恰好出现两次的概率

事件B来表示

恰好出现两次六点

以Ai表示

第i次出现六点

那我们看看B这个事件就相当于

也就是等于前面两次出现六点

第三次不出现或者的第一次和最后一次出现

或者的最后两次出现对不对

它会有这么三种不同的情况都满足我们的要求

就是三次里面有两次出现了六点

而且由于这些事件相互独立

第一次是否出现六点不影响第二次是否出现六点的概率

所以它们相互独立

所以

那么它们的概率等于概率之和

因为这三个事件两两互不相容

然后再根据独立性等于概率的乘积

打开

算出来

把它整理一下呀

可以写成C3 2六分之一的平方乘上六分之五

这里就可以归纳出一个公式出来

好我们把这公式在这里写出来

如果一个独立重复进行的n次

伯努利实验

这里重复指的是每次试验中事件A发生的概率

也就是说

每次试验成功的概率是不变的

相当于抛硬币抛的是同一枚硬币

抛骰子同一个骰子

我们就说这样的

实验为n重的伯努利实验

那n重的伯努利实验中成功恰好出现K次的概率怎么计算呢

刚才我们算了一个三次

成功两次恰好出现两次

两次六点C 30杀六分之一的平方零分钟六分钟不就是一减六分之一吗

C3 2六分之一的平方六分之五

六分之五不就是一减六分之一吗

所以

我们一般的可以得到下面公式

假设成功发生的概率是A

那失败的概率就是1-p

那这个时候这个概率将会等于

Cnkp的k次方q的n-k次方

这个现象我们想象抛硬币抛n次

请问正面向上出现K次的概率是多少

正面向上出现k次

那其它的反面向上

反面向上的概率

那就是1-p

有独立性

那这个概率是p的k次方

1-p的n-1次方

请问为什么还有个Cnk

n次里面有k次

正面朝上有K次成功

哪k次成功都满足你的要求

可以是前面k次

也可以最后k次

也可以它们当中任何k次

有多少个这样的概率啊

n个元素里面取K的组合数

所以前面不要漏掉这个Cnk

就像刚才上一个例子

前面有一个C3 2一样

好那我们再来看一个例子

某一个人进行射击

假设每次射击的命中率都是零点零二

独立射击最大四百次这么大

求至少击中两次的概率是多少

至少两次

两次可以三次可以四次不多的是啊

那这个

能很快做出来嘛

所以直接计算那就做复杂了

而是我们要想一想对立事件是不是简单一些

至少两次

否定它一次都没有

一次

否定它一次都没有

这都记做一次

所以这样子的话我们就好计算了

我们就是按照这个思路来计算

那么成功的概率

PA告诉我们了

好

我们一减去

对立事件成功零次

然后

成功一次

那就是C400里面取零次

取零次就是全部失败了

零点九八它的四倍次方

成功一次

C400里面取一零点零二的一次方

一减零点零二零点九八的这一个399次方

算出来应该达到0.997

我们直接利用这个n重伯努利概型

成功K次的概率公式就能够非常方便地把它算出来

好这一章的内容了

我们介绍完了我们小结一下

那就是我们学习了这么一些内容

随机试验样本空间随机事件

学好概率论这三个基本概念问清楚

然后我们学习了什么是概率

尤其是给出了概率的

严格的公理化定义

然后介绍了它的性质

然后我们介绍了古典概型的概率

几何概型的概率以及如何来计算它们

当然更加重要的是

后面的条件概率以及独立性乘法公式全概率公式

贝叶斯公式

然后我们介绍了独立重复试验

好下面我们请同学们来看一个思考题讨论的问题

大家学习了独立性

我的问题是

如果两个事件A

B是独立的

而C呢

是A的子事件D是B的子事件

同学们想一想C和D独立吗

就是说两个相互独立事件

它们的子事件是否独立

请同学们仔细思考

好这节课讲到这里