1.7 条件概率（中）在线视频

同学们好

欢迎来到我的课堂

下面

我们接着学习乘法公式

如果事件A的概率是大于零的

那么

我们把条件概率公式反过来写一下

是不是就变成这个样子了

A

和B积事件的概率

它会等于A发生的概率

去乘以A发生条件下

B发生的概率

当然

这个A和B的位置是对称的

如果B的概率大于零

同样的A和B积事件的概率很显然

我们又可以把它写成B发生的概率

乘以B发生条件下A发生的概率

当然同学们可能有疑问

那我到底哪一个公式

那就要看你解决的问题

他已知道什么

如果已知条件里面知道了

A

发生条件下B发生的概率

那就应该用第一个来解

如果知道的是B发生条件下

A发生的概率那就选择第二个

所以要具体情况具体分析

看个例子

假设某一个厂

一批产品中10%是废品

而在合格品中呢

一等品占了75%

现在呀

你求这批产品中任取一件

那他是一等品的概率是多少

好

我们以A表示任取的一件

是合格品

用B表示

任取的这一件是一等品

那么

我们看看A发生的概率

一减去零点零四

因为废品的概率是4%

所以那就

正品的概率不是废品的概率96%

而且我们还知道

A

发生条件下

如果已经是合格品的这个信息

知道了

他是一等品的概率是75%

那么

在这样的提示条件下

我们要求A和B积事件的概率

显然

我们是应该使用刚才我们讲的

第一个公式的

虽然都是AB的概率

那么应该选第一个

好那显然B这个事件B

它是在A里面的

所以B这个事件它等于AB这个事件

所以他们的概率也会相等

P(B)就是P(BA)

这样子的话

这样子的话

利用乘法公式

我们就得到了

B发生的概率

就是任取一些产品

它是一等品的概率

不是75%

而是72%

那么

解决这个问题

就用到了刚才我们学的乘法公式

一般的

如果有三个事件 四个 五个事件呢

我们再来看

假设A

B

C是同一个随机试验下的时间

好

A

B积事件的概率视为正的

那么这个时候啊

我们来看看A

B

C

同时发生的概率

就可以写成

A发生的概率

去乘以A发生条件下B发生的概率

在乘以A

B

积事件发生的条件下

C发生的概率

好

当然同学们在草稿纸上面

你很快可以推出来

实际上吧

你只需要你先把A

B看作一个整体

看作一个事件

两次利用

刚才讲的乘法公式

你就可以推出来

而且进一步啊

我还可以推出下面

这个更复杂的公式出来

就是N个事件

他们的积事件的乘法公式

而且很有规律

也很好记

等于多少

你看

A1到An

这个积事件的概率

会等于A1发生的概率

乘以A1作为条件A2发生的概率

然后把前面两个事件又作为条件

第三个的条件概率一直到前面

N减一个

积事件的概率作为条件

第n个条件概率

我们

类似的

你可以反复的使用两个事件的

乘法公式

来推导这个最一般的

下面来看看例子

假设袋子当中装有r只红球

和t只白球

下面开始做实验了

每一次我们从袋子当中

随机的拿一个球出来

出去一个球

观看颜色

以后

放回袋中

怎么个放法呢 是这么说的

加进去的

a只的球与拿出来的球

具有相同的颜色

什么意思

如果你第一次摸到红球

放进去的也是红球

也是红球

是这个意思

好

现在在袋子里面连续摸球四次

现在问你第一第二次取到红球

而且第三第四次取到白球的概率

首先同学们能够判别出来

要你求解的问题

是一个积事件

多少个积事件啊

四个事件

四个事件的积事件

那你就应该联想到刚才学习的

乘法公式

它是解决

积事件的概率

好

那我们来求解

因Ai表示

第i次取到的是红球

好

那么要求的概率

要求的概率啊

前面两次红球 后面两次拿白球

那就可以这么表示

A1发生

A2发生

A3 A4都不发生

都不发生

好

根据乘法公式

那就是A1发生的概率

去乘以A1作为条件也要发生的概率

类似的

A1

A2

做条件

A3拔发生类似的

好

那下面根据提示条件来算算自己概率

看看

第一次就拿到红球

里面

一共有r

加t只球 红球是r只

所以根据古典概学

马上可以求出来

有概率数

和基本事件整数的比

r比上r加t

再看第二个条件

概率

是不是这么多

第一次拿的是红球

拿到红球的话

放回去

看提不提啥

观看颜色后放回袋中

并且还要加进去和他相同颜色的球

所以这个时候

你们就会有

r

加r加a只球

红旗有多少只啊

r加上a只

所以这个条件概率

你发现没有

那可不是去

用那个条件概率公式来做了

这里已经条件概率公式得做的话呀

你就绕回去了

而是

在缩减的样本空间里面

把它算出来

等于他

类似的

这个条件概率

又放了一只球进去了

那么这个时候

他就会有

r加t加二倍a

你看有利事件是什么是白球

白球没变

还是T只

放进去的r个球都是红球

所以分子还是T

类似的那么最好

这个条件概率的话

里面求的整数

变成了r加t加三倍a

而里面的

白球的数目多了a只

所以分子变成了t加a

所以这个问题

典型的利用了

我们的乘法公式来解决了问题

达到了目的

好

再看一个例子

例题六

假设某一个光学仪器厂啊

制造的透镜第一次落下来

打破的概率是二分之一

如果第一次

没有打破

第二次再掉下来打破的概率

那道能提高了你摔了他一次了

对不对

如果前面两次我也没有打破

第三次再摔坏的可能性又变大了

十分之九

请你求透镜落下

三次都没有打破的概率

都没有发生

非常典型表达的是积事件的概率

好 我们来求解

以Ai表示透镜第二次落下来打破了

并表示透镜落下三次没有打破

那显然了

B这个事件那就会等于

A1拔 A2拔 A3拔

都没有打破

A1表示

第一次打破了

没有打破对立事件

对立事件

好

这个积事件

我们又可以利用刚刚学习的乘法公式

把它进行展开

那么很显然了

第一次

落下没有打破

打破的概率是二分之一

没有一减二分之一

完全类似的

第二个条件概率

那就用到了

条件概率的

对立事件

概率公式

一减十分之七

就是第一次没有打破的情况下

第二次

没有打破的概率

已减去他打破的概率

所以一减十分之七

类似的一减十分之九

我们就轻松的做出来了

等于二百分之三

看例题七

假设十件产品中

有四件次品

任意的抽取两次

每次抽取一个不放回去

求第二次拿到次品的概率

这个问题我们在前面啊

类似的啊

我们是讨论过得

下面我们再来研究一下

假设

Ai表示第二次取到的是次品

解法一

那A2

发生的概率

根据古典概型

十件产品抽取两次

有多少种取法不放回的

排列数

十个元素里面取两个元素的排列数

P12十乘九

然后

第二次取到的是持平

实际产品里面四件次品

十种取法

十种取法

另外一次

他不关心他

他只问你第二次抽到的

是次品的概率是多少

那么第一次拿什么都可以呀

所以次品

和正品都可以有九种取法

所以做出来是五分之二

好 再看

我们把

变成这个样子啊

A2

当然可以写成A1A2

并上A1拔A2

我们把A1提出来

那A1并上A1拔那不就是必然事件

必然事件和A2作积事件

那就是A2

所以A2

可以写成他

然后根据概率的性质啊

那A2的概率就可以写成

因为他们这两个事件

是不能同时发生的

和的概率概率之和再利用

刚刚学习的乘法公式一展开

好

我们来看一下

第一个

A1发生

A第一次就拿到次品的概率

十分之四

没问题

如果第一次拿到次品

第二次再拿次品

不放回呀

第二次拿的时候里面只有九件

还有几件次品呢

只有三件次品

不仅九分之三吗

类似的画面十分之六

乘九分之四

好算出来也是五分之二

就是第二次拿到次品的概率

是五分之二

很显然

第一次拿到次品的概率

也是五分之二

所以这里再次告诉我们

这个抽签这个模型

与这个概率与持续无关

第一个人抽中和第二个人抽中

甚至最后一个人抽中的概率

是不变的

我们再研究一种方法

让你确信这是一个正确的结论

而这个解法呀

这个同学们启发你蕴含了

重要的结论

就是我们下面要学习的

全概率公式和贝叶斯公式

这是我们

这一章里面可以这么说最重要的公式

当然也有一点难度

我们先来学习一个概念

如果S是样本空间

B1到Bn

的话是一种事件完成什么条件呢

这起事件任何两个都不能同时发生

但是做和做并

又是整个样本空间

那么我们把这样的一种事件

叫做样本空间的

一个划分

也叫做一个完备事件组

或者叫完全世界组

不同的教科书

里面参考书里面有不同的说法

好有了这个概念

以后

我们就可以得到一个重要的定理

一个重要的公式

假设E为样本空间

B1到Bn为他的一个划分

而且每一个事件的概率不要为零

那么这个时候对任意一个事件A

我们有这个公式

A发生的概率

会等于这个划分里面的

这些Bk事件的概率

去乘以Bk条件下A发生的条件

概率

条件概率

就是所谓的全概率公式

下面我们来简单推导一下

实际上我们上一个例子

第二种解法

又提供了

这个推导的本质性的东西

我们知道任何事件A是S的子事件

S是包含A的

好

那

A当然就会等于

A交上这个S

根据交对边的分配率

那A就可以形成

A交上这些pt再并起来

好

这些A

这个划分里面这些事件是互不相容的

所以那这些事件

也是互不相容的

从而我们可以看出

由前面的性质

和的概率就可以写成概率之和

然后每一步

每一个积事件的概率利用乘法公式

我们就得到了定点的结果

就得了他

那么这个公式是来解决

直接计算事件

A的概率是复杂的

也就A是一个

你一下子直接想想不清楚的一件事情

但是

如果我们

有一个把样本空间能够划分的

B1 B2 Bn

如果这些B发生了A发生的概率

你是能想清楚的

或者你是能够方便求出来的

哎呦

这个复杂的事件也可以把它求出来

复杂的问题先把它简化

把它分解

我们就能够把它最终做出来

好 这次课讲到这里