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同学们好
我是中南大学湘雅公共卫生学院的胡明老师
下面要来学习直线回归中的统计推断
在前面的讲解中间
已经知道了如何来建立样本的直线回归方程
但是建立了样本的直线回归方程
只是完成了统计分析中间
关于两变量回归关系的统计描述
还需要回答
它所来自的总体的直线回归关系
是否确实存在
也就是说对于总体的回归系数β
它到底是否不等于0
在图示的这样的一个总体中间
无论X是如何取值的
Y的总体均数都是一条平行于X轴的直线
所以说对于总体而言
直线回归方程是不成立的
也就是X和Y之间没有一个回归关系
但是如果在一次随机抽样中间
抽到的是图示中间的这几个实心的点
就像在前面的例题中所介绍的
八个
随机抽到的点
仍然可以通过这几个实心点
来求得一个样本的回归系数
在求得了这样的一个样本的回归系数以后
样本回归系数与0
相差多大可以认为直线回归关系是成立的
可以用方差分析
或者与其等价的t检验来回答这一问题
下面首先要给大家介绍
回归方程的假设检验中间利用方差分析
来检验回归方程是否成立
要理解回归方程中方差分析的基本思想
需要对因变量Y的离均差平方和来做分解
从这个图上可以看到
对于任意一点实测点Y
它的纵坐标被Ȳ和回归直线
这两条直线分成了三个部分
是实测点Y值
这一段是Ȳ
这一段是Ŷ
从这个图形上可以看到
这一部分
Y-Ȳ他可以是这两个线段之和
上面这个线段是Y-Ŷ
下面这个线段呢是Ŷ-Ȳ
所以
通过这个图形
我们可以看这样一个等式
Y-Ȳ = Ŷ - Ȳ+Y-Ŷ
由于的实测点P是散点图中任取的一点
如果将全部的数据点都按这个方法来处理的话
再将等式两端平方以后再求和
可就可以得到这样的一个等式
也就是∑Y-Ȳ的平方
等于ΣŶ-Ȳ的平方加上ΣY-Ŷ的平方
刚才的等式如果用方差分析中的符号来表示
就可以把它写成
总的离均差平方和等于回归平方和
加上残差平方和
总的离均差平方和
可以看到表示的是没有考虑
X与Y的回归关系中间
Y变量它的一个总的变异
回归平方和也就是刚才的公式中间
ΣŶ-Ȳ的平方
可以看到在这个式子中间
它与前面的Y的离均差平方和的不同
在这里
Y被Ŷ替代了
称为回归平方和
在特定的样本中间
它的均数外Ȳ是固定的
所以的回归平方和也就是这一部分的变异
是由于Ŷ的大小不同引起的
当的X被引入到回归方程以后
正是由于X的不同
导致了Ŷ的不同
所以说的回归平方和
反映的是在Y的总的变异中间
可以用X与Y的直线关系所解释的那部分变异
可以想象
回归系数与零相差越远
X对Y的影响越大
也就是的回归平方和也就越大
说明的回归效果越好
残差平方和也就ΣY-Ŷ的平方
它反映的是什么呢它反映的是在回归的关系中间
除去X对Y的线性影响之外的
其他的一切因素对Y的一个变异的作用
也就是在总的平方和中间
无法用X来解释的部分
表示在考虑了回归之后Y的真正的随机误差
在绘制的散点图中间
如果各个实测点离回归直线越近
残差平方和也就越小
说明直线回归的估计误差越小
回归的作用越明显
上述的三个平方和它们所对应的自由度
也有类似的关系
总的自由度等于回归的自由度加上残差的自由度
从以上分解可以看到
如果不考虑X和Y的回归关系的时候
Y的总的变异就是一个随机误差
但是如果考虑了回归的关系以后
由于回归的贡献
就使得原来的随机误差减小成为残差平方和
如果说
两个变量之间的总体回归关系确实存在的话
回归的贡献可以想象
就应该是大于随机误差的
究竟要大到何种程度
可以认为直线回归关系是存在的
也就是总体的回归系数β不等于0
那么我们要利用方差分析
统计量F值
在这里呢
我们的F值就等于
回归的均方比上残差的均方
可以想象
如果回归的关系确实存在的话
回归平方和
就应该是大于残差平方和的
回归的关系越明显
F值就越大
相应的P值就会越小
这就是利用
方差分析来检验
回归方程是否成立的基本思想
这是分子是回归的均方
分母是残差的均方
F值它的分子的自由度是回归的自由度
分母的自由度就是残差的自由度
回归的平方和
可以通过这个公式来求
它由回归系数
乘以X和Y的离均差交叉乘积和可以求得
除了方差分析
还可以通过t检验
来对回归方程去做假设检验
在t检验中间
t值是等于
分子是回归系数
分母是回归系数的标准误
要计算回归系数的标准误
需要用到的是回归的剩余标准差
回归的剩余标准差
在计算的过程中间
通过这个公式可以看到
只要知道
回归的平方和
就可以求出通过前面计算回归的平方和
就可以计算出回归的剩余标准差
从而计算得到回归系数的标准误
好
下面就通过例题9-1的数据
来看一看的直线回归方程是否成立
首先是利用方差分析来对回归方程去做假设检验
H0
β总体的回归系数等于0
也就是尿肌酐含量与年龄之间没有直线关系
H1β不等于0
也就是尿肌酐含量和年龄之间存在着直线关系
检验水准α是0.05
好
通过计算
回归的平方和和残差的平方和
来看一看方差分析表
最终这个F值是20.97
F值是回归的均方比上残差的均方算得的
分子的自由度是1
分母的自由度是6
根据这个可以查F界值表
从而得到P值是小于0.01的
按照预先给定的检验水准0.05
拒绝H0接受H1
也就是可以认为
尿肌酐含量和年龄之间存在着直线关系
我们
利用例题9-1的数据
也可以用t检验来检验回归方程是否成立
H0H1以及检验水准α
都与前面的方差分析是一样的
在本例中间
我们计算t值是等于4.579
根据自由度等于6
查t界值表
P值是小于0.005的
按照预先给定的检验水准
α等于0.05
同样的是拒绝H0接受H1
结论和方差分析是一样的
通过本例
可以发现根号F值与t值是相同的
也就是在直线回归中间
对回归系数的t检验和F检验是等价的
这就类似于前面所讲的两样本均数的比较
既可以做t检验
也可以做方差分析
两个假设检验的方法是等价的
除了对直线回归方程去做假设检验
还可以对总体的回归系数去计算它的可信区间
利用的是
对回归系数去做假设检验的t检验中间的t界值
可以得到总体回归系数的
1-α的双侧可信区间
这就是总体回归系数的
1-α双侧可信区间的计算公式
同样的是利用例题9-1中的数据
之前已经计算出了回归系数是0.1392
来估计其总体回归系数的双侧95%可信区间
根据前面已经算得的回归系数的标准误
按照自由度是6查t界值表
得到的t界值是2.447
根据前面求总体回归系数可信区间的公式
可以算得总体回归系数的可信区间
95%的可行区间是从0.0648到0.2136
计算得到的区间不包括0
按照α等于0.05的水准
得到总体回归系数不为0这样的一个结论
也就是说利用总体回归系数的可信区间的估计
可以回答相同检验水准时的假设检验的问题
可以利用回归方程
对Y值的总体均数的可信区间去进行估计
还可以对个体Y值去做预测区间
可以想象
这两个区间
对Y值的总体均数的可信区间的估计
这个区间要相对得窄
而对个体Y值的预测区间要相对的宽
这个公式
对Y值总体均数的
可信区间的这样估计的一个公式
这里给出的
是对个体Y值的预测区间的一个公式
从这个图上可以看到
两条实线表示的是总体均数的可信区间
两条
虚线是个体Y值的预测区间
从这个图形上可以看到
个体Y值的预测区间它的范围更广
两者都是一个中间窄两头宽
都在X=X拔处是最窄的
好
同样的利用例题9-1的数据
也来对Y的总体均数的可信区间
来进行估计并且
对相应个体Y值的95%的预测区间也来计算
上面的
这个区间
是对Y的总体均数的95%可信区间计算出来
是从3.080到3.584
下面的这个区间
2.788到3.876
是个体值的95%的预测区间
从这个区间计算结果上可以看到
个体Y值的95%的预测区间相对的要更宽
直线回归的统计推断
就给大家介绍到这里
-1. 医学统计学概述
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-2.统计学的几个基本概念
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-3.医学统计工作的基本步骤
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-第一章 绪论--章节测试
-1.频数分布表与频数分布图
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-2.集中趋势描述
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-3.离散趋势描述
--Video
-4.正态分布
--Video
-5.医学参考值范围的制度
--Video
-6.常用相对数
--Video
-7.应用相对数的注意事项
--Video
-8.率的标准化法
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-第二章 计量资料统计描述及计数资料统计描述--章节测试
-1. 均数的抽样误差与标准误差
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-2.t分布
--Video
-3.总体均数的估计
--Video
-4.假设检验的基本原理与步骤
--Video
-5.t检验
--Video
-6.假设检验的注意事项
--Video
-第三章 章节测试
-第一节 方差分析的基本思想及应用条件
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-第二节 完全随机设计资料的方差分析
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-第三节 随机区组设计资料的方差分析
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-第四节 多个样本均数间的多重比较
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-第四章 多个样本均数比较的方差分析--章节测试
-5-1 卡方检验——卡方检验的基本思想
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-5-2 卡方检验——独立样本四格表资料的卡方检验
--Video
-5-3 卡方检验——配对四格表资料的卡方检验
--Video
-5-4 卡方检验——四格表资料的确切概率法
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-5-5 卡方检验——行×列表资料的卡方检验
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-5-6 卡方检验——卡方检验的多个样本率间的多重比较
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-5-7 卡方检验——卡方检验用于拟合优度检验
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-第五章 x²检验--章节测试
-6-1二项分布的概念
--Video
-6-2二项分布的特征
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-6-3二项分布的应用—总体率的区间估计
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-6-4二项分布的应用—率的假设检验
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-6-5泊松分布的概念与特征
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-第六章 几种离散型变量的分布及其应用--章节测试
-第一节 秩和检验概述
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-第二节 Wilcoxon符号秩检验
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-第三节 Wilcoxon秩和检验
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-第四节 Kruskal-Wallis H检验
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-第五节 Friedman M检验
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-第七章 秩转换的非参数检验--章节测试
-第一节 统计表
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-第二节 直条图和直方图
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-第三节 圆图和百分条图
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-第四节 线图和半对数线图
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-第五节 散点图与统计地图
--Video
-第六节 箱图
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-第八章 统计表与统计图--章节测试
-第一节 -概述
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-第二节 直线回归
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-第三节 直线回归中的统计推断
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-第四节 双变量回归与相关-直线相关
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-第五节 回归与相关中的注意事项
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-第六节 秩相关
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-第九章 双变量回归与相关--章节测试
-第一节 多因素试验
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-第二节 两因素析因设计资料的方差分析01
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-第三节 两因素析因设计资料的方差分析02
--Video
-第四节 三因素析因设计资料的方差分析
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-第五节 正交设计与方差分析
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-第六节 嵌套设计资料的方差分析
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-第七节 裂区设计资料的方差分析
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-第十章 章节测试
-第一节 重复测量资料的反差分析
--Video
-第二节 重复测量数据的两因素两水平分析
--Video
-第三节 重复测量数据的两因素多水平分析
--Video
-第四节 重复测量数据的多重比较
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-第十一章 章节测试
-第一节 协方差分析的基本思想和步骤
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-第二节 完全随机设计资料的协方差分析
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-第三节 随机区组设计资料的协方差分析
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-第十二章 章节测试
-第一节 多变量数据的统计描述
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-第二节 多变量数据的统计推断-单组比较
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-第三节 多变量数据的统计推断-两组比较
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-第四节 多变量数据的统计推断-多组比较
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-第五节 重复测量设计的多变量分析
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-第十三章 多变量数据的统计描述与统计推断--章节测试
-1.多元线性回归模型
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-2.多元线性回归模型的假设检验
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-3.多元线性回归模型自变量的选择
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-4.多元线性回归模型应用及其注意事项
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-第十四章 多元线性回归分析--章节测试
-1Logistic 回归分析——logistic回归分析的概述
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-2Logistic 回归分析——logistic回归分析的概念
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-3Logistic 回归分析——成组（非条件）logistic回归分析
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-4回归分析—— 配对（条件）logistic回归分析
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-5Logistic 回归分析—— logistic回归的应用
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-第十五章 logistic回归分析--章节测试
-第一节 生存分析中的基本概念
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-第二节 生存率的估计与生存曲线
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-第三节 生存率的比较
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-第四节 Cox比例风险回归模型
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-第十六章 章节测试
-第一节 判别分析-概论
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-第二节 判别分析-Fisher判别
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-第三节 判别分析-最大似然和Bays公式判别法
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-第四节 判别分析-Bayes判别法与逐步判别
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-第十七章 章节测试
-第一节 聚类分析-概论
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-第二节 聚类分析-系统聚类法
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-第三节 聚类分析-动态样品聚类
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-第十八章 聚类分析--章节测试
-第一节 SPSS-概述
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-第二节 SPSS-数据文件的建立
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-第三节 SPSS-数据文件的管理
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-第四节 SPSS-计量资料的统计分析-描述性统计量
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-第五节 SPSS-计量资料的统计分析-均数比较-t检验
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-第六节 SPSS-计量资料的统计分析-均数比较-完全随机设计资料的方差分析
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-第七节 SPSS-计量资料的统计分析-均数比较-随机区组设计资料的方差分析_医学统计学
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-第八节 SPSS-计量资料的统计分析-均数比较-拉丁方设计资料的方差分析
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-第九节 SPSS-计量资料的统计分析-均数比较-交叉设计资料的方差分析
--Video
-第十节 SPSS-计数资料的统计分析-样本率与总体率比较
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-第十一节 SPSS-计数资料的统计分析-样本率比较
--Video
-第十二节 SPSS-配对计量资料比较的秩和检验
--Video
-第十三节 spss-两独立样本比较的秩和检验
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-第十四节 spss-多个独立样本比较的秩和检验
--Video
-第十五节 spss-随机区组设计资料的秩和检验
--Video
-第十六节 SPSS-直线相关回归分析
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-第十七节 spss多元线性回归
--Video
-第十八节 spss-logistic回归
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-第十九节 spss-条件logistic回归
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-第二十节 spss-有序logistic回归
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-第二十一节 spss-无序多分类logistic回归
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-常用综合评价方法
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-第二十章 章节测试
-量表的研制方法
--Video
-第二十一章 章节测试
-医学文献的系统综述与Mata分析
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-第二十二章 章节测试
