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之前我们已经做好了
研究控制系统的一些基本的一些准备
从现在开始我们可以正式地利用
我们所介绍的一些工具和方法
来实现对于控制系统的
实际的分析和设计
从本节开始
我们先介绍一下
线性系统在时域内分析方法
所谓在时域内是与频域相对应而言的
频域我们会在后面的章节中介绍
那么时域它的基本思想呢
就是在利用Laplace变换
在时间范围内
来对系统的一些主要的性能进行分析
那么研究内容包括系统的稳定性
系统的静态误差以及系统的动态性能
那么当然也包括一些一阶 二阶
和高阶系统的一些时域分析
首先我们从稳定性开始
所谓稳定性这里给了一个简单的示意图
大家可以理解一下
这是一个小球
放在一个凹形的一个槽里边
那么我们知道这个最下面这个点
对于小球来说就是一个稳定的点
因为小球即使离开这个点
它在经过一段时间
它也会回到这个点
所以这个点我们可以称为稳定点
那么下一个图相比就是另外一种情况了
这是一个凸形的一个表面
最顶点小球一旦有一些微小的移动
它就会永远地离开这个点
再也不会回来了
所以这个点我们称为一个不稳定点
当然第三种情况更为复杂一点
可能稳定和不稳定之间会存在一定的范围
我们再回到之前介绍的那个随动系统
为研究方便
我们把所有的变量带入实际的参数
我们会得到这样一个
有实际数值的一个四阶的微分方程
通过Laplace变换
我们得到它的这个特征方程
我们可以求解特征方程的根
我们发现它一共有四个根
其中两个负实根还有一对共轭的复根
其中这个复根的实部是负数
根据微分方程的求解方法
它的最终的这个微分方程的解
可以写成如下这样一个形式
我们可以把这个根的这个值
相对应地带入进去
根据这样一个根的分布
我们发现当t趋近于无穷
也就是当时间趋近于无穷的时候
前三项也就是四个根
所对应的一些通解都会趋近于零
最终的这个输出会等于一个特解
而特解就对应了我们的输入的一个信号
也就是说这样一个随动系统
随着时间的增长
最终会跟随输入的变化
接下来我们把这个方程中的k
也就是开环比例系数增大10倍
我们再重新来解这个方程
我们会发现
它的四个根发生了一定的变化
最主要的变化
就是它的共轭的复根里面的实部
从负数变成了正数
我们于是得到了一个新的一个运动方程
这其中要强调的是
这个一个振荡的一个环节中的
它的指数部分出现了一个正指数的情况
很显然在这种情况下
当时间t趋近于无穷的时候
只要它的前面系数不等于零
就会导致整个运动方程会趋向于无穷
也就是发散
那这样一个系统
是不可能达到我们希望的特解
或者跟随我们输入的变化的
可见我们的输出信号
是不是稳定取决于特征根
而组成φ的分量
像e^(λit)我们称为运动模态
那么我们得到下面一个结论
线性系统稳定的充分必要条件
是特征方程的根必须具有负的实部
或者特征根都在s平面的左半平面
只要有一个根的在s平面的右半平面
或者说它本身大于零
或它的实部大于零
都将导致整个系统不稳定
但是这样一个情况
在对非线性系统而言确却是不成立的
对非线性系统问题就复杂多了
很多非线性系统与初始条件相关
在某些条件下
初始条件下系统会表现为稳定的运动
而在另外一个初始条件下
会表现为不稳定的运动
所以对一个非线性系统
我们很难地笼统地称为
系统是稳定还是不稳定
而应该说在哪些解下是稳定的
而在哪些解下不稳定的
为了说明这个问题呢
我们给大家介绍一个例子
在教科书中的P184图
这个非线性方程很简单
因为出现了乘法
所以导致了系统的这个非线性
那么它的初值我们设为是y0
虽然这是非线性方程
但是我们很幸运的是
这个方程是可以得到解析解的
我们得到这样一个解析解
看到这个解析解
其实我们已经可以观察到一个问题
这个分母是有可能出现零的
一旦出现零
就意味着它的输出就会出现无穷大
而分母是不是等于零与什么相关呢
恰恰与y0
也就是系统的初始值相关
那么我们分析几个取值范围
首先第一个y0当等于1的时候
那么这个式子很巧妙 很巧
刚好是全部消掉了
它的输入是恒值为1
也就是我们图中这样一个曲线
接下来我们看y0大于1的情况
我们举一个例子
当y0等于2
带入进去之后我们发现
这个输出方程
等于1/(1-1/2*e^(-t))
我们知道这个e^(-t)
从t等于零开始到无穷
它是一个衰减的一个函数
所以1/2*e^(-t)
是始终小于1的
这就意味着
这样一个分母是永远不可能等于零的
所以它的这个输出是一个稳定
随着t趋近于无穷
这个y(t)最终会趋近于1
我们再看一种情况
当y0小于0
也就说我们举一个例子
等于-0.5
我们带入之后我们可以发现
这个y(t)=1/(1-3e^(-t))
在这种情况下
虽然e^(-t)是小于1的
但是由于我们是1-3e^(-t)
所以它的值是会在某一个时间点上
会出现零的情况
如果我们算一下我们会发现
当t约等于1.1的时候
我们得到一个无穷大的一个情况
从图上看我们可以发现
随着这个当y0=-0.5的时候呢
y0=-0.5的时候呢
它的输出量首先是向下
那么当接近于1.1的时候
会出现一个非常大的量
等过了这个点呢
它重新又开始收敛
那么最终的结果仍然是趋近于1
但是由于其中存在的某一个时间点
使得系统变得无穷大
所以这个在y0=-0.5这种情况下
系统仍然被称为是不稳定的
总结而言
对一个非线性系统
我们不能统一地称它是稳定还是不稳定
我们一定要根据
它的具体的情况来具体分析
我们只有对一个线性系统
才可以统一地称为它是稳定还是不稳定
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