1-17双向板按塑性绞线法的计算3+4在线视频

同学

你好

这一讲的内容是双向板

按塑性铰线法计算的第三个问题和第四个问题

使用的基本原理是虚功原理

也就是外力所做的功等于内力所做的功

在这里有一些基本参数

比如说在任意一条塑性铰线上

它在单位长度上所能承受的弯矩

m值是一个定数

塑性绞线的转角是θ

这个时候仅仅考虑塑性铰线上的弯曲转动变形

不考虑剪切变形和扭转变形

虚功原理所对应的内力功和外力功

分别是这样计算的

内力功它等于各条塑性铰线上的弯矩

与转角向量相乘的总和

这两个都是矢量

就说弯矩是矢量

它的转角也是矢量

外力所做的功应该等于

微元ds上面 外力大小与

该处竖向位移乘积的积分

来这样来理解

这个p是一个分布荷载

乘以ds就是一个小的集中力

然后再乘以w值

这个w值是在虚位移

竖向的虚位移

它俩相乘的

然后就是一个小的柱体的体积

我们来看一下

对于均布荷载而言

我们可以把荷载p提到积分号的外面去

然后就变成了一个

剩下的部分是

这个wds如果是

微元体ds乘以w是一个小的柱体的体积

那我们把所有的小的柱体(体积)给它加起来

就得到了这样一个总的倒锥体的体积

也就是这个体积V是发生虚位移之后

倒角锥体的体积

这个V是怎么发生位移的

是假想有一个虚位移之后

发生的这样一个角锥体的一个体积

比如说对这样一个四边支承的双向板来说

它的塑性铰线我们前面已经分析过了

有这么多

沿着45度对角线的四条正塑性铰线

然后中间和长边平行的

编号是2的塑性铰线

周边编号是3 4 5 6的四条负塑性铰线

然后现在用虚功原理的时候

要有一个假想的位移

我们假想这个位移是让哪个地方变形

因为周边这一圈是不能变形的

它是支承条件

所以我们让这两个点这一个点和这一个点

ef这两个点发生一个向下的单位位移

它发生单位位移之后

其它的板块跟着ef这两个点是同时向下移

这样就形成了一个倒角锥体

然后我们来看一下

每一条塑性铰线

它发生了转角和位移各是多少

这个点e向下一个单位位移

那么它这个单位位移在x轴和y轴上的投影

它是不变的 还是单位位移1

因为这个单位位移竖向的是z轴的

所以你在平面上来看的时候

它沿着两个方向

它的竖向的位移都是1

然后这条斜向的正塑性铰线

沿着x方向和y方向的投影

分别是l01/2

这边也是l01/2

所以它这两个方向的投影的长度是一样的

对2这条

正塑性铰线来说

它投影到x方向上的长度是有的

是有的

等于它原来的长度

而它投影到y方向的长度就等于0

这个是投影长度

再来看一下它的转角

那么它转角比如说对于1

这条线来说正塑性铰线

它的转角投影过来之后

我们看一下就是这个

然后它的

竖向的位移是1

水平的投影过来是l01 /2

所以这个转角就是用1除以l01/2

那么转角的大小就出来了 等于2/l01

再看一下2这条塑性铰线

2这条塑性铰线

它由两个板块的公共边界

看一下它的转角发生了多少

从这个图里面我们可以看一下

这个转角不是

在这里面不是这条线

和这条线的夹角

而是这个夹角

为什么是这个夹角

因为我们现在考虑的是

它原来这两个梯形是在一个平面上

现在是

比如说原来是一个平面上

现在转到平面

它变化的角度并不是说它最后停留下来

它的夹角是它变了多少

它转角等于多少

那么这个外角等于两个内角的和

是等于这个角再加上这个角

而这两个角分别都是2/l01

就是这个

这边也是

所以最后这两个加起来就应该等于

我们把刚才讲的这些再来回顾一下

就是我们四边支承的双向板

那么它的塑性绞线有五条正塑性铰线

四个斜向的这个短的斜向的

一个是编号2的水平的

四条负塑性铰线周边的3456

然后这个塑性铰线

把整个板划分成两个三角形的

上下两个梯形的

两个方向的

跨中和支座的

极限弯矩都在这个图里面表示出来了

分别是M1u M2u等等

单位长度正塑性铰线的受弯承载力

m1把它在这图里面

按照这个公式来写出来了

这个地方为什么是l02

这个m1u钢筋放置的时候是沿着短向的

这是它放置钢筋的方向

然后它放置钢筋的方向能够放多长

可以看一下

沿着l02的方向放置的都是我们短向的钢筋

所以在这个地方这是它的

分布的长度就是l02

同样的道理

沿着长向的弯距M2u它分布的长度是l01

所以在这里面除的系数就是l01

对于支座来说也是同样的方法

我们可以把它比例关系给它找到

给它写到这个地方来

这个里面需要注意一下就是选择的时候

它这个角度

塑性绞线这个角度和板边的夹角是45度

实际的情况它和配筋率

一些条件都是有关系的但是为了

简化计算

这个时候我们取得它的夹角等于45度

我们把刚才讲的这样一个四边固支双向板在

e f 这两个点发生竖向单位虚位移的时候

所对应的各个塑性铰线的转角

它的长度投影到xy两个方向的长度

整理到这一张表里面

比如按照塑性铰线的编号123456

然后它沿着x方向的转角

y方向的转角x方向的投影

Y方向的投影

把这个都给它列到一张表上

最后我们可以给它乘在一起

就得到了内力功就是

我们把它经过整理之后就得到了上面这个式子

然后下面看一下外力所做的功

根据前面的分析

如果作用在板上的荷载是一个均布荷载

那么均布荷载可以提到积分号的外面

就可以写成

然后这个V是发生虚位移之后

倒角锥体的它的体积

我们在这里面用一个方法给它

比较简便的可以求出来

就是在这个图中ef

e f 这两个点发生虚位移

就是从这个点然后变到下面这个点

f 这个点变到这个点

现在如果直接求的时候不太方便怎么办

我们可以先做一个完整的三棱柱的体积

把它求出来

再减去两个小的锥体的体积

比如说是我们先对应的这个边

这个边这个点上

一个虚位移然后在这边

再有一个虚位移

这个时候就得到了下面这个点

以及最右边的这个点

这个时候它就是一个完整的三棱柱

我们把三棱柱的体积求出来之后

然后再把两边各切去一个小的锥体

就得到了实际的

e f 这两个点向下有一个虚位移的时候

其它的角部的这个点跟它连起来

得到了这样一个倒角锥体

这个体积经过计算就写在这个地方了

由虚功原理

就可以把这个方程列出来

就是下面这个方程

这个方程就是我们按照

塑性铰线法进行计算的基本公式

它表示的是双向板的

塑性铰线上所能承受的弯矩

这个弯矩包括跨中弯矩

包括支座弯矩

它的总和与总的有极限荷载pu

所能承担的总的最大的

极限荷载pu之间的关系

用这个公式能不能进行相应的配筋计算

我们来看一下

比如说你现在知道了荷载

pu是知道的

那么右边这一项肯定是可以求出来的

现在你的跨中要配多少钢筋

然后支座要配多少钢筋能不能求出来了

是没办法求出来的

因为你看这是123456只有一个已知条件

右边是知道的

然后左边有六个未知量

你是没办法解的

那怎么办

我们可以引入一些参数

比如说n是长短跨之比

α是长跨方向和短跨方向的抗弯承载力之比

然后β是

相应的支座弯矩和跨中弯矩的

抗弯承载力之比

然后通过这些系数

并且你看α和n联系起来了

β我们给它简化

直接取了个2

那现在就可以把它关系相应的都代进去

把前面的利用前面的那些等代的关系

然后带到我们基本的方程（11-28）里面

就得到了m1u的表达式

m1u知道了之后

根据前面的n α β

它的关系就分别

可以把其它几个点的弯矩

比如说沿着长跨的弯矩 沿着支座的弯矩

都可以求出来

这个问题就迎刃而解了

这个是第一类情况

第二类情况是两个方向的跨中正弯矩钢筋

在距离支座l01/4的地方

弯起50%的情况

为什么要弯起

因为跨中的位置弯矩是最大的

然后越靠近支座的部分弯矩就逐渐减小了

到支座又变成负弯矩了

所以说你要把所有的在板底的正弯矩钢筋

全部伸到支座里面去

肯定是浪费的

我们可以在距离支座比较近的

l01/4的地方给它弯起50%

这个弯起50%是怎么弯的呢

就是一根是通长的

跟它相邻的另外一根到

距离支座l01/4的地方弯起

这个就是弯起了50%

就一半是弯起的

一半是不弯起的

但是它是间隔放置的

如果是这种情况

然后我们就可以把弯起的部分

给它减掉

因为你弯起之后

它就不能够抵抗跨中的正弯矩了

所以说来看一下这是剩下的部分

看剩下的是

因为你有一半已经给它弯起了

那么它的长度两边各是

那么加起来就是

这是剩下的部分就是没弯起的部分

然后给它两个加起来就是m1u

其它的部分

比如说这个m2u 因为你在

另外一个方向也是弯起了

就是长沿着长边的方向也弯起了

所以这个地方也有变化

其它的位置的支座的部分都没有变

然后把这个关系式

代到我们最基本的关系式

就是(11-28)这个式子里面去

然后就得到了两个方向

跨中正弯矩钢筋

在距离支座

l01/4这个地方弯起50%的时候

它这个表达式m1u就出来了

同样的办法m1u出来之后

根据那些参数之间的等代关系

其它的量值都可以计算出来

其它的情况

比如说三边连续一长边简支

还有三边连续一短边简支

还有两邻边连续另两邻边简支

这些都可以利用相同的办法

相同的推导步骤把它推出来

就得到最后就得到m1u的表达式

好

这一讲的内容就到这里

再见