4.3 方差在线视频

欢迎同学们来到我的课堂

今天我们继续学习

随机变量的数字特征

第2节 方差

我们主要从方差的定义

方差的性质来学习方差

最后我们还会给出

常用分布的期望与方差

好 第一 方差的定义

上一节我们已经讲了

数学期望

我们知道它是反映

随机变量波动的一种加权平均

可以用来比较两个随机变量

在平均意义上的大小

有时候会出现这种情况

就是两个随机变量的期望是相同

这时候又该怎样比较两个随机变量

我们以一个例题来进行分析

还是谁的技术好

这个例题

甲 乙两个射手分布率

甲击中环数还是8 9 10

概率0.4 0.1 0.5

乙击中环数是8 9 10

概率0.1 0.7 0.2

我们的问题还是哪个射手的技术好

根据第1讲所讲

我们是不是只要算他们的期望就可以了

显然期望很容易算

设甲 乙射手击中的环数分别是X Y

则X的期望

是不是X取值乘概率求和

这个非常容易算是9.1环

类似的Y的期望也是9.1环

所以问题来了

两个的期望一样

我们没办法比较谁好

谁不好

我们又该引入什么量来比较

好

这两个图是我做的数值模拟

取的都是30个点

第1个图是对甲的分布取得一个值

第2个图是对乙的分布取的一个值

大家可以发现这两个图中

你看

乙是不是更在期望附近集中一点

击中的期望是9.1

你看对于乙来说

大部分点是不是都取在9处

所以乙的射击环数

与这个期望的偏离程度更小一点

即离9.1远的点比较少

所以既然它比较稳定

我们是不是就说它的技术更好一点

所以通过图形

我们也可以说明乙的技术更好

具体到实际问题中

我们没有图的时候

怎么样来判定乙更稳定呢

或者说也就是说怎么样来描述

射击环数与期望的偏离程度呢

显然最简单的就是用X-EX

就射击环数减期望

但是大家注意

X-EX是一个随机变量

随机变量是意味着什么

意味着它的取值是可以不断变化的

所以你不能确定

X-EX它到底是大还是小

它有时候会大 有时候会小

所以这时候不好

我们怎么办

既然有时它大 有时候小

我们最常用的方法

是不是就取个平均

E(X-EX)

但是用期望的性质

我们很容易算出来这个期望等于几

是等于0

为什么会出现0

X-EX有的大于0

有的小于0

那取平均的时候

正负偏差是不是正好抵消了

所以这个也不行

好 我们要想让正负偏差不抵消怎么办呢

是不是只要把这个X-EX

加个绝对值

再取期望

这时候正负偏差就不抵消了

这个很好

这个我们可以用了

但是我们知道在数学中

绝对值这个函数的性质不是很好

所以我们一般情况

会换一个等价的表达形式

也就是X-EX的平方的期望

它同样的可以描述

随机变量与其均值的偏离程度

而且平方也保证了正负偏差

不会被抵消掉

而且期望保证了它是一个数

好 那这个X-EX的平方的期望

这个量我们给它起个名字

就是方差

设X是随机变量

如果X-EX平方的期望存在

我们就称之为随机变量的方差

记做DX或者Var(X)

也就是说DX其实就等于

X-EX的平方的期望

好 大家注意

所谓的方差其实是不是就是函数的期望

这个函数其实就是X-EX的平方

好 大家注意X-EX的平方是非负的

它的期望也是非负

非负就可以开方

我们就取DX的算术平方根

为标准差或者均方差

记做σ(X)

方差的意义

我们刚才说了

方差可以体现X取值的分散程度

它表达了X的取值与数学期望的偏离

如果D(X)比较大

则意味着X的取值比较分散

当然E(X)的代表性就比较差

反之D(X)比较小

也就意味着X比较集中

所以E(X)的代表性就比较好

接下来我们介绍一下方差的计算

刚才讲了方差的定义是

DX等于(X-EX)^2的期望

所以我刚才说了

方差其实就是函数的期望

我们根据上一讲讲的

函数的期望的计算公式是不是可以得到

方差的计算公式

所以对于离散型随机变量

方差等于(xk-E(X))^2

就是函数值乘以pk对应的概率

求和

对于连续型

DX就等于(x-EX)^2

这个函数值乘以密度f(x)

取积分

利用这两个公式

我们就可以计算随机变量的方差

当然其实我们可以利用期望的性质

还可以得到

方差的一个计算公式

DX等于X^2的期望

减(EX)^2

接下来我们证明一下这个公式

根据定义

DX等于(X-EX)^2的期望

我们把里边的平方项进行展开

就得到了X^2-2XE(X)

加上(EX)^2

利用期望的性质

和差的期望是可以把这期望取进去的

所以第1项就是X^2的期望

第2项注意

2E(X)都是常数可以提出来

剩下的就是X的期望

所以第2项其实就是

减去2E(X)E(X)

第3项 E(X)是一个常数

那常数的平方还是常数

常数的期望等于本身

所以第3项其实就是(EX)^2

好 第2项 第3项可以抵消一部分

所以得到了

平方的期望减期望的平方

所以最后我们就得到了计算公式

X的方差等于X平方的期望

减去X期望的平方

在计算中

我们经常用这个公式来计算方差

好 我们还是回到刚才那个例子

甲乙两个射手

他们的分布率

我们要比较谁的技术好

我们算一下期望

刚才已经算了

期望都是9.1

所以我们接下来计算方差

好

对于X的方差

根据定义

是不是就(X-EX)^2的期望

根据函数的期望的计算公式

它就等于(8-9.1)的平方

函数值乘以概率0.4

加上(9-9.1)的平方

函数值乘以概率0.1

加上(10-9.1)的平方

这也是函数值乘以概率0.5

答案等于0.89

类似的我们Y的方差也可以这样算

当然这个地方我们Y的方差

可以用第2种算法

也就是利用方差的公式

X方的期望

减去X期望的平方来计算

x方的期望

显然是不是也是函数的期望

所以就等于函数值8的平方

乘以0.1

加上函数值9的平方

乘以0.7

加上函数值10的平方

加上函数值10的平方

乘以0.2

然后再减去均值

EX的平方

9.1的平方

答案等于2.9

所以大家发现

DY是不是更小一点

也就意味着Y更稳定

Y的技术更好

这个和我们数据模拟的结果其实是一样的

好

接下来我们介绍方差的性质

方差的性质主要也是4条

第1条常数的方差等于0

为什么

根据计算公式

C的方差就等于C方的期望

减去C的期望的平方

而C方是常数

所以它的期望就等于C方

C的期望也是C

所以C²-C²=0

好 第2条

设X随机变量

C是常数

则CX方差

等于C^2倍的X方差

也就是常数C可以提出来

只不过提出来要变成C^2

这个证明也非常容易

CX方差根据定义

就等于CX减去CX的期望

平方的期望

大家注意好

利用期望的性质

CX的期望

这个C是不是可以提出来

既然CX和C倍的EX都有常数C

我们就可以把这个C提出来

C^2

剩下的就是(X-E(X))^2的期望

而显然后面的这个期望

是不是正好是X的方差

所以我们就得到了CX方差

就等于C^2D(X)

第3条性质

X Y独立

则X加Y的方差

等于X的方差加Y的方差

X减Y的方差

也等于X方差减Y的方差

好

接下来我们证明一下这个结论

我们来考虑X加Y的方差

X+Y的方差根据定义

就等于(X+Y)减去(X+Y)的期望

平方的期望

好

对于平方项里的

我们重新分组

变成X-E(X)加上Y-E(Y)

把这个平方项展开

然后利用期望的性质

则第1项我们就可以变成了

(X-E(X))平方的期望

第2项可以变成(Y-E(Y))平方的期望

第3项

其实就是加上2倍的

X-E(X)乘以Y-E(Y)的期望

好 注意

第1项 X-E(X)的平方的期望

正好就等于DX

第2项 Y-E(Y)的平方的期望就等于DY

而我们来看第3项

由于X Y是独立的

所以X-E(X) Y-E(Y)也是独立的

根据期望的性质

独立的随机变量

乘积的期望等于期望的乘积

所以第3项

X-E(X)乘以Y-E(Y)的期望

就可以分解成

X-E(X)的期望乘以Y-E(Y)的期望

而根据期望的性质

X-E(X)期望等于0

Y-E(Y)期望也等于0

所以第3项其实就是0

所以也没有第3项

所以X加Y的方差

就等于X方差加Y的方差

X减Y的方差

同样的我们也可以得到

大家可以下来自己证明一下

这个定理其实可以推广

如果X₁……Xn是相互独立的

我们的结论就是X₁……Xn和差的方差

都等于它们的方差之和

好

第4条性质

X的方差等于0

其充要条件是X以概率1取常数C

也就是X=C的概率是1

显然 C其实就等于X的期望EX

这个定理 证明需要用到一个不等式

这个不等式我们在第5章才给出

所以定理的证明

我们将在第5章给出来

好 我们看一个例题

设X的期望μ 方差σ²

我们对X做标准化

什么叫做标准化

其实就是X减去期望μ

除以标准差σ

我们记作X*

X*就成为X的标准化变量

我们来考虑一下X*的期望和方差

X*的期望就等于（X-μ)/σ的期望

根据期望的性质

1/σ是一个常数提出来

里面就剩下一个X-μ的期望

根据期望的性质就等于

X的期望减μ的期望

而μ的期望就是μ

X期望是μ

所以代进去X*的期望其实就是0

还有我们同样的考虑X*的方差

X*的方差等于(X-μ)/σ的方差

1/σ提出来变成1/σ²

而注意X和μ是独立的

所以根据方差的性质

X-μ的方差

就等于X方差加μ的方差

而μ的方差是0

所以X*的方差就等于1/σ²乘以上DX

把DX等于σ²代进去

得到X*的方差也等于1

所以我们所谓的标准化

其实就相当于把X的

期望和方差变成0和1的一个随机变量

好 接下来我们再看一个例子

(X Y)是二维均匀分布

求EXY D(X-Y)

根据第3章所讲

二维均匀分布中

如果它的区域是平行于坐标轴的矩形

则X Y都是均匀分布

而且二者独立

我们就可以算一下X的期望

是不是就是X乘以密度1

在(0 1)上的积分

很容易算出来是1/2

类似的Y的期望也是1/2

X的方差就等于

X^2的期望减去X的期望的平方

而平方的期望

就等于X^2乘以密度1

在(0 1)上的积分

再减去(1/2)^2

计算得1/12

类似的Y的方差也是1/12

好

注意X Y是独立的

所以根据期望的性质

X Y的期望就等于X的期望乘Y的期望

1/2×1/2=1/4

根据方差的性质

X减Y的方差就等于X方差加Y的方差

1/12+1/12

所以等于1/6

最后我们给出常用分布的期望和方差

对于两点分布

期望是p

方差就是pq

二项分布

期望np

方差是npq

泊松分布

期望和方差都是λ

对于均匀分布

期望(a+b)/2

方差(b-a)²/12

对于指数分布

期望1/λ

方差1/λ²

对于正态分布

期望μ 方差σ²

好

本节小结

这一节我们主要讲了方差的定义和性质

最后我们还给出了常用分布的期望和方差

课后大家可以围绕

方差的定义和性质

这两个知识点进行复习

同时大家可以把

常用分布的期望和方差

自行证明一下