7.5 正态总体均值与方差的区间估计在线视频

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上一节，我们已经介绍了正态总体

方差已知和方差未知情形下

均值μ的置信区间。

今天，我们继续来看正态总体均值与方差的区间估计，

来了解更多的结论和应用。

第一个结论，

X1,…Xn是取自正态总体的样本，

其中方差和期望均未知。

则σ²的一个置信度为1-α的置信区间如下。

回忆置信区间的构造过程，

一共有下面三个步骤：

第一，构造枢轴量。

枢轴量的构造参考点估计。

由于样本方差是总体方差的一个无偏估计，

我们从样本方差S²入手来构造枢轴量。

根据正态总体抽样分布的结论，

我们可以构造这样一个枢轴量，

它是自由度为n-1的卡方分布。

右图给出了卡方分布的概率密度图。

图示当中，

我们不难看出

卡方分布的上α/2分位点和上1-α/2分位点两侧概率总和为α。

也就是这样一个区间概率等于1-α。

注意这里，对于非对称的概率密度函数，

我们仍然习惯采用对称分位点来确定置信区间。

根据上面的式子，

我们从不等式当中解出σ²的一个取值区间，

这就是σ²的置信度为1-α的置信区间。

下面我们来看一个应用。

例1，

有一大批糖果，

现从中随机抽取16袋

称得重量如下。

设糖果的重量服从正态分布，

试求总体标准差σ的置信度为0.95的置信区间。

那么，根据上页的结果，

在均值未知下

方差的置信度为1-α的置信区间有了。

我们开根，即得到标准差的置信区间。

由于给定了样本，

我们只需要代入计算。

这里α取0.05，n-1=15。

经查卡方分布表，可以得到两个卡方分位数。

再计算样本标准差，

代入得到置信区间为(4.58,9.60)。

定理2，

下面我们考察两个正态总体的情形。

假设X₁,…,Xn₁和Y₁,…,Yn₂分别取自两个正态总体，

X¯,Y¯是样本均值，

S₁²，S₂²是样本方差，

且两个样本相互独立。

下面我们来考察总体均值μ₁-μ₂的置信区间。

情形一：

当σ₁²，σ₂²均已知时，

置信区间如下。

下面我们来证明这一结论。

证明的关键在于构造μ₁-μ₂一个适当的枢轴量。

由于X¯是μ₁的一个无偏估计、

Y¯是μ₂的无偏估计，

因此它们的差是μ₁-μ₂的无偏估计。

X¯和Y¯相互独立，

并且各自服从正态分布，

于是它们的差也是一个正态分布。

将这个正态分布做标准化就得到

μ₁-μ₂的一个枢轴量。

后面的计算步骤比较简单，

这里略去。

下面来看第二种情形：

当方差未知但相等的时候，

μ₁-μ₂的置信区间如下。

为了证明第二种情形，

我们仍然从X¯-Y¯入手。

考虑到正态总体的抽样分布有这样一个结论，

我们利用这个量当枢轴量，即可求得情形二当中的置信区间。

具体证明细节略去。

我们看一个例子。

例2，

为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号的步枪子弹的枪口速度。

随机取Ⅰ型子弹10发得到枪口速度的平均值和标准差，

随机地，再取Ⅱ型子弹20发得到枪口速度的平均值和标准差。

假设两总体都近似服从正态分布

且可以认为它们的方差相等，

求两个总体均值差

μ₁-μ₂的置信度为0.95的置信区间。

由题意，

两总体样本独立，并且方差相等但未知。

这一情形下，

我们给出的置信区间的公式如下。

题目当中，

α取0.05，n₁=10，n₂=20，

两者相加再减2等于28。

因此，置信区间改写成这一形式。

查表计算，可以得到自由度为28的t分布的上0.025分位点，

其中，Sw²我们代入数据进行计算，

求得Sw等于1.1688。

代入到置信区间的公式，

得到置信区间为(3.07,4.93)。

例3，

为提高某一化学生产过程的得率，

试图采用一种新的催化剂。

为慎重起见

在试验工厂先进行实验。

设采用原来的催化剂进行了8次实验，

得到得率的平均值和样本方差。

又采用了新的催化剂进行了8次实验，

得到得率的平均值和样本方差。

假设两总体都近似服从正态分布

且方差相等，

求均值差μ₁-μ₂的置信度为0.95的置信区间。

由题意，

两总体样本独立且方差相等但未知，

置信区间我们采用前面的公式。

代入数据进行计算。

t的上分位点

我们经查表可以得到。

将所有的数据代入，得到置信区间为(-4.15,0.11)。

下面我们看定理3，

假设和定理2是相同的。

现在我们考察μ₁,μ₂未知的时候，

总体方差之比的置信度为1-α的置信区间，

结论已经给出。

我们要证明这一结论。

由正态总体抽样分布的结论，

这里构造的枢轴量是一个F分布。

同样，我们对于非对称的F分布的概率密度函数

我们仍然采用对称的分位点去求置信区间，

也就是我们考察这样一个区间概率。

将其中的不等式求解，

计算出σ₁²/σ₂²的一个区间，

这就得到了要求的置信区间。

我们看它的应用。

例4

研究由机器A和机器B生产的钢管内径，

随机抽取机器A生产的管子18只

测得样本方差，

抽取机器B生产的管子13只

测得样本方差

现在假设两样本相互独立

且由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布，

其中

μ和σ均未知。

下面，我们要求方差比的置信度为0.9的置信区间。

套用定理3的结论，

置信区间是这样的一个公式。

我们代入数据，进行计算。

其中α=0.1，n₁=18，n₂=13。

F分布的分位点我们查表计算得到。

注意，在表中可能没有给出所有的F分布的分位点，

那我们需要利用F分布分位点的性质，

即这个重要公式，来得到分位点。

最后，我们代入以上数据以及题中所给的样本方差，

得到置信区间为(0.45,2.79)。

今天，我们学习了正态总体均值与方差的估计，

总结起来是以下两个表格。

今天的学习就到这儿。

谢谢大家！