8.3 非正态总体参数的假设检验在线视频

同学们好，

欢迎来到我的课堂！

前面，我们已经学习了假设检验的基本概念，

学习了正态总体参数的假设检验。

今天，我们来学习非正态总体参数的假设检验。

我们先看一个例子。

某种产品的废品率是5%，

现从生产中的一批产品中随机抽取50个，

检验得知有4个废品，

问能否认为这批废品率为5%？

这里取α=0.05。

在这个假设检验中，

我们的假设是H0: p=0.05，

备择假设H1: p≠0.05。

这是属于概率p的假设检验，

这一问题的一般数学模型如下。

X服从0-1分布，

X取为1的概率为p，

X取为0的概率为1-p。

下面，我们要针对H0: p=p0进行假设检验。

从总体当中选取样本x1,x2,…,xn，

这里n充分大。

样本均值X¯=m/n，即事件发生的频率，

在例1当中即废品率。

当原假设H0成立时，

样本均值的期望等于p0，

样本均值的方差等于p0*(1-p0)/n。

由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，

我们知道下面的U近似服从标准正态分布。

容易看出，

当H0为真时U统计量的值接近0。

因此，该检验的拒绝域的形式为|U|≥k。

上述假设检验为双边检验。

对显著性水平α，

拒绝域取为|u|大于等于

标准正态分布的上α/2分位点。

这样由样本值x1,…,xn

得知事件发生的频率为m/n，

经过计算得到U统计量的值u。

当u取值绝对值大于等于

标准正态的上α/2分位点时，

我们拒绝原假设，

即不能认为事件发生的概率为p0。

当u的绝对值小于标准正态的上α/2分位点时，

我们不能拒绝H0，

即接受H0，

即可以认为事件发生的概率是p0。

在例1当中，我们代入数据，

这里m/n=4/50，即0.08。

p0=0.05，

1-p0=0.95。

计算得到u的取值约等于0.973，

而当α=0.05时，

标准正态的上α/2分位点取值为1.96。

因此，|u|小于标准正态的上α/2分位点。

所以，接受原假设，即可以认为该批产品的废品率为5%。

刚刚我们进行的是关于概率p的双边检验，

这里H0: p=p0，

H: p≠p0。

从这一总体中选取样本x1,…,xn，其中n充分大。

当H0为真时，

根据中心极限定理，

我们得到了U统计量近似标准正态分布。

对显著性水平α，

我们得到拒绝域：|u|≥z_α/2。

这样，根据样本值我们经过计算，

如果样本落在拒绝域我们就拒绝原假设，

否则接受原假设。

例2，

设某厂生产的产品每批数量很大，

出厂标准是废品率不超过0.02。

现从一批产品中随机抽取400个，

经检测发现有12个不合格，

问是否应该让这批产品出厂？

这里取α=0.05。

设p为这批产品的废品率，问题归结为假设检验

H0: p≤0.02，H1: p>0.02。

这一检验即针对概率p的右边检验。

例3，

某轻工以往的记录是平均每加工100个零件，

有60件是一等品。

今年考核该青工，

在他加工的零件中随机抽取100件，

发现有70件是一等品。

这个成绩是否证明该青工的技术有了提高？

同样这里取α=0.05。

这一问题当中设p0=0.6，

假设检验问题为H0：p≤0.6，H1: p>0.6。

同样是关于概率p的右边检验问题。

右边检验的过程如下：

一、提出假设。

二、利用前述的U统计量

三、当H0为真时，

u统计量的值较小。

因此，拒绝域的形式为U>k。

对显著性水平α，

取拒绝域为u>z_α。

由样本值x1,…,xn计算得到U统计量的值，

当这一值落入拒绝域时拒绝原假设。

同样地，我们可以来考察

关于概率p的左边检验。

步骤如下：

一、提出假设

H0: p≥p0，H: p小于p0。

同样是利用前述的U统计量。

当H0为真时，

U统计量的值较大，

因此拒绝域的形式为U小于k。

对显著性水平α，

拒绝域取为u小于-z_α。

最后，根据样本值

计算U统计量的值。当u落入拒绝域

我们即拒绝原假设。

例4，

根据以往长期统计

某种产品的废品率不小于5%。

但技术革新后，

从此种产品中随机抽取500件，

发现有15件废品。

问能否认为此种产品的废品率降低了？

这里α=0.05。

解题的步骤如下：

1.提出假设

H0: p≥0.05，H1: p小于0.05。

这是一个关于概率p的左边检验。

2. x¯=15/500，等于0.03。

U统计量的值经过计算约等于-2.052。

当α=0.05时，

查表得z_0.05=1.645。

由于U统计量的值小于-1.645，

所以样本落入拒绝域，

因此拒绝原假设，

即认为废品率已经降至5%以下。

下面我们讨论第二个问题：

非正态总体均值的大样本检验。

假定总体X分布函数为F(x)，

x1,…,xn是来自总体X的大样本，

这里大样本指的是样本容量n≥50。

根据中心极限定理，设X的期望为μ，

X的方差为σ²，

X¯为样本均值。

则当n充分大时，

sqrt(n)*(X¯-μ)/σ 近似于标准正态分布。

以这一结论作为理论基础，

我们可以对非正态总体的均值做假设检验。

这类假设检验问题同样分为双边检验、

右边检验和左边检验。

这三种情形我们皆使用检验统计量

U=sqrt(n)*(X¯-μ0)/σ。

当σ²未知时，

我们以样本标准差S代替总体标准差σ，

得到相应的统计量，仍记为U。

当n充分大时仍然有

U近似于标准正态分布。

下面，我们给出非正态总体均值大样本检验的检验步骤。

针对双边检验，

我们取拒绝域为|u|≥z_α/2；

对于右边检验，

我们取拒绝域为u>z_α；

针对左边检验，

我们取拒绝域为u小于-z_α。

同样，由样本值计算得u。

若落入拒绝域则拒绝H0。

本节讨论的非正态总体均值的大样本检验用到

的样本函数是U，因此这种检验称为U检验，

也就是我们前面提到的Z检验。

例5，

某城市每天因交通事故死亡人数服从泊松分布。

根据长期的统计资料，

死亡人数均值为3。

近一年来采用交通管理措施。

据300天的统计，

每天平均死亡人数为2.7人。

问能否认为每天平均死亡人数显著减少了？

这里α=0.05。

设每天死亡人数为X，

它服从参数为λ的泊松分布。

所以期望为3，X的方差也为3。

提出原假设

H0: λ≥λ0，λ0=3。

计算检验统计量U。

u的值经过计算等于-3，

由于α=0.05时，

标准正态的上α分位点为1.645。

那么u=-3，小于-1.645

因此样本落入拒绝域，

故我们拒绝原假设，

即可认为每天平均死亡人数已显着减少。

今天，我们学习了大样本下非正态总体均值的假设检验，

包括0-1分布总体概率p的检验，

以及一般的非正态总体均值的检验。

显然(1)是(2)的特例。

好，今天的课就到这儿。

谢谢大家！