当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第1周：控制系统的状态空间表达式（1） > 5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二） > 视频
我们前边给大家讲了对一个最简单的
当输入没有微分项的时候
怎么样把一个高阶微分方程转化成状态空间表达式
现在我们来讨论一下更一般的情况
就是输入这边包含了输入的高阶微分项的时候
怎么样去做同样的转换
我们来看一下
这个高阶微分项包含作用函数导数项的时候
先来看一个三阶系统的例子
这个例子当中我们看到有y的三阶导数
还有u的两阶导数
如果我们仍然采用下边这种形式的一个状态方程
也就是我们选取x1 x2 x3使它的导数等于
这样一个A矩阵乘以x加上 [0 0 1]乘以u的形式
那么这个时候
我们对应的一个x和u之间的关系
就是一个只包含u
而不包含u导数的这样一个微分方程
那么是x1的三阶导数加上a1x1的二阶加a2x1的一阶导数
加a3x1等于u
这个时候我们怎么样去表示输入的这些微分组合呢
其实我们可以通过令y等于b1x1两点
加上b2x1一点加上b3x1
那么这样的一个对状态变量进行求微分的情况
那么可以等于什么呢
等于b1x3+b2x2+b3x1
这样得到的一个输出方程
实际上跟我们的状态方程结合起来
就能够完整地表达我们所要建模的三阶的系统
我们化成一个矩阵向量的形式
就是在这儿看到的
我们的x一点等于A乘以x加上b乘以u
而我们的A和b
跟我们前边所讨论过的直接输入作用的简单形式是一致的
唯一不同的就是我们通过y等于bn b(n-1)
一直到b1构成的行向量乘以x
所来表达的是我们输入的各项微分组合
那么这样能够建立起来的模型
恰好反应系统的输入 输出关系的道理在什么地方呢
我们说它是基于我们这个线性系统它的一个叠加的性质
当我们的输入进行线性运算
比如说乘上个系数
或者我们输入进行一个微分运算
或者是我们把两个输入做求和这些运算
实际上对应于这个系统的话
它的输出也有相应的运算关系
所以通过这个转换
我们实际上可以来实现对输入包含微分项的系统
同样建立起来这样一个状态空间表达式
我们扩展到n阶系统的时候
就是一般形式
当我们有输入地方
我们如果还有n阶的这样一个表达式的时候
我们得到的一般的状态空间表达式
就是这样一个形式
我们看到是x1到xn一点等于A乘以x加上bu
然后这里边的A和b和我们前面讨论的这种形式是一致的
这个A的特点就是一个n-1维这样的一个单位阵
叠加上底下最后一行
这些系数都是我们这个方程
高阶微分方程当中的各个微分项前边这些系数a1到an
那么分别在这个位置上
我们再看输出呢
就是当是n阶系统的时候
恰好是y等于bn-anb0
b(n-1)-a(n-1)b0一直到b1-a1b0
这样的一个行向量乘以x加上b0u
而这个里头的b0就是我们说最高阶的输入
如果也正好m等于n的时候
达到了n次的形式的话
我们就具有这样一个形式
我们整个这个状态空间表达式
这样一个形式的状态空间表达式
我们给它一个名称
叫做能控标准1型
也称为控制器规范型
或者第二可控规范型
什么叫能控标准型呢
这个地方我们只是作一个名词把它记住就可以了
后边我们在讨论到能控性的时候
大家可以看到
这样一种状态空间表达式
它自然的满足能控性的要求
所以它也是一种能控标准型的这样的名称的来源
我们下边通过一个例子给大家展示一下
就是说对于一个一般的高阶微分方程
当输入包含导数项的时候
我们怎么样去建立它相应的状态空间表达式
这里边我们看到
ai bj这些系数
就是我们前面给的方程的这些系数
分别是a1等于6 a2等于11 a3等于6
然后b1等于8 b2等于17 b3等于8
按照我们前边给定的这个公式
我们可以看到这个里头的b0它等于0
所以我们可以很方便地列写出来相应的状态方程
和它的输出方程
那么在这个里边
我们要特别强调一点
就是由一般的高阶微分方程转化成状态空间表达式的时候
其实是可以采用不同的方法来选取状态变量组的
我们在前面的例子给大家展示的是说
我们通常是选y y的一阶导数
一直到y的n-1阶导数
作为它的一个状态变量
但是事实上未必总是这样选的
当我们单输入然后只有输入项
没有导数的时候
这样选可以得到它的能控标准型
当我们有这个输入的导数项的时候
实际上我们的y就不再是直接和x对应起来了
那么事实上我们通过后边进一步的分析
大家可以看到
从同一个方程出发
我们可以得到很多种不同形式的状态空间表达式
这里边的系数
它实际上并不是唯一的
这个是大家需要特别注意的
这个跟我们从一个状态空间表达式
导出一个传递函数是唯一的
这个结论是正好相反
我们从一个传递函数
或者一个高阶微分方程
导出这个状态空间表达式的时候
可以有多种形式
我们这一小节
通过补充了当输入包含高阶导数的时候
如何列写相应的状态空间表达式给它展示了
就是从输入 输出描述怎么建立起来这个状态空间表达式
这样一个步骤
当然我们这里头讲的是一种特殊的选取状态变量的方法
也是一种特别简单直观的形式
大家注意到这个表达式里头
实际上我们说高阶微分方程的系数a 还有b
这样的一些系数
它能够在我们的系数矩阵当中直接体现出来
正像我们给出来能控标准1型所反应的情况
当然了我们还要再次强调的
就是从一个输入 输出描述
我们通过不同的状态变量的选取方法
我们实际上可以得到
同样一个传递函数的不同的状态空间表达式
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-2. 全维观测器的设计
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-3. 降维观测器
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-4. 重构状态反馈控制系统
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-5. 扰动量的观测
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-1. 基本概念
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-2. 对外扰的完全不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-1. 线性定常系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性
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