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大家都了解了状态转移矩阵

对于我们分析一个系统非常重要的意义

那么这个状态转移矩阵如何计算

以及它有哪些基本性质

我们正式要对它进行一个深入的了解

全面的了解

才能够便于我们对整个系统信息系统

对它有一个深入的分析

包括后边做设计

都基于我们的状态转移矩阵一些基本的性质

这样我们无论是从计算的角度

还是从理论分析的角度

了解这些性质都非常重要

下边我们就来看一看

状态转移矩阵有哪些最基本重要的性质

首先我们说第一个性质

就是它满足一个

随着初始条件的时候

它是一个单位性

那么这个单位性就体现在如果我们Φ(t)

就是t正好取0

也就是我们是从初始时刻出发

然后花无穷小的时间

没有进行任何实质性的转移

这个时候我们Φ(t)到底等于谁

或者说我们的e^At到底等于谁

那么它应该是单位阵

这一点很容易我们直接从定义去验证

那么我们幂级数展开

一般来说幂级数收敛非常复杂

如果t不等于0我们求的很困难

但是当所有的t都等于0

我们只剩下常数项的时候

这个e^At很显然它就是个单位阵

那么这点它的物理意义也很重要

就是意味着我们如果不发生时间的推移

我们就在初始时刻的时候

这个状态向量

它就是保持原来不变

也就是说我们这个状态向量

它没有时间的情况下

它不能产生跳变

不能在一个时刻点上产生一个突变

这个是我们整个动态系统非常重要的性质

虽然看起来是个很平常很普通的性质

但这一点恰恰说明了状态向量

这个状态这个概念

它在选取上是有讲究的

就是我们选择的状态

它不能在一个瞬时发生突变

比如说我们为什么选位置和速度作为状态变量

因为位置和速度

它不花时间它是不能产生跳变的

与此不同的是如果我们看加速度

也就是我们看力

力是在冲击的情况

它可以瞬间改变大小和方向

所以这就是给我们解释了

就说我们这个状态方程这一套的理论

状态的概念非常重要

同时状态

在它的转移的属性上面也非常重要

就是状态

它是一定能够在某个时刻上保持住

如果你不对它进行一个冲击的话

它是不会产生跳变的

它是没法产生跳变的

那么这是第一个性质

第二个性质就是我们所谓的组合性质

这个前面我们在介绍定义也谈到了

就是我们如果把整个状态的转移划分成两个时段

一个时段是τ另外一个时段是t

那我们叠加起来的转移效果

实际上跟我们直接从初始

经过这两段得到的末了的转移效果是一致的

体现在我们的状态转移矩阵就是我们Φ(t)×Φ(τ)

它应该等于两个时间直接在函数上进行了合并

那么写成矩阵指数的形式

同样也是e^At×e^Aτ

它等于直接把时间合并起来在指数上

这个组合性质

我们如果把它推广一下应用的话

我们如果对于t可以取负值的时候

我们比如说t选成了-τ

那这个时候我们相当于整体上就从

相当于我们这个t它等于0

那么再从这个t等于0转移到t等于t的组合的话

我们就可以看到有这样一个关系

就是Φ(t-t0)然后Φ(0-(-τ))

那么这样我们就得到了一个基本的组合的性质

那么也可以通过这个定义直接来证明

那么我们第三个性质

就是我们对于状态转移矩阵是可以求逆的

而且这个逆

直接是由时间颠倒时段

发生符号的颠倒来得到的

也就是我们对一个Φ(t)这个矩阵求逆

那么得到的是Φ(-t)

对于一个矩阵指数来说

就是e^At求逆就是e^-At

那么这个结果非常重要

它意味着首先第一

我们的状态转移矩阵它总是非奇异矩阵

它总是可逆的

那么我们证明实际上就是根据定义

我们可以按照幂级数展开

然后直接把这两个幂级数给它相乘

最后把相应的这些量进行相互抵消

然后最后合并出来

最后只剩下一个常数项单位阵

这是从定义可以验证的

那么我们再来看第四个性质

这个第四个性质说的是

我们的状态转移矩阵对时间求导

是如何来计算

我们可以直接根据定义求导数

但是我们其实也可以直接通过A乘以这个状态转移矩阵

这是一个非常方便的性质

同时我们也观察到实际上这个性质也说明了

就是我们的状态转移矩阵代到我们齐次方程当中

发现它本身这个矩阵也是满足这个方程的

我们这个方程是x一点等于Ax

在这我们看到Φ一点等于AΦ

那么我们证明实际上是可以根据定义

然后幂级数然后我们逐项求导

然后我们通过比较这个幂级数整理出来这个结论

那么这是比较直接的

下面我们来看性质五

性质五说就是当我们有两个系统

那么一个A一个B

这个里头的B也是它的系统矩阵

那么我们看它的状态转移矩阵相乘

这个e^At×e^Bt

什么时候它等于这两个矩阵相加乘以t呢

我们知道在标量的时候

两个比如说e的x次幂乘以e的y次幂

它应该等于e的x+y次幂

但是对于矩阵的情况就不是这样了

只有当A×B等于B×A

也就是AB这两个矩阵相乘可以交换的时候

这个式子才成立

当这两个矩阵相乘不能交换的时候

我们说它相应的状态转移矩阵

也不能按照这种方式进行组合

那么这里边我们根据定义很容易推导出来

下边PPT上给大家展示出来

就是这两个计算的方式

它的中间是存在差异的

这些差异只有当AB等于BA

也就是A和B可交换的时候

所有这些差异的项才能够全部抵消掉

那么相应的才能够有

这两种计算方法的结果相同

所以在这儿我们特别要注意的就是说

如果我们考虑的是两个系统

不同系统的状态转移矩阵

它进行衔接

那么比如说我们现在很多的研究

目前的控制理论研究当中

可能研究切换系统

那么一个系统走一段

然后要切换到另外一个模式

这个时候它的自由运动就会衔接起来

能不能把它直接简单的做加和呢

我们这儿的结论说一般来说是不能的

所以这一点需要非常注意

这就是我们矩阵的情况所带来的不同

我们下边再来看性质六

这个性质六实际上和后边几个性质

都是关于如何计算这个状态转移矩阵相关的一个基础

我们说如果这个A是个对角型的矩阵

也就是A本身就是只有对角线是一些数

其他地方全是零

那这个时候我们说这个矩阵指数

这个状态转移矩阵

它是可以直接写出来的

那么写出来的结果就是我们对对角线上的这些数

进行构造相应的指数函数

比如说λ1到λn是对角线

那我们做出来状态转移矩阵就是e^λit

作为它的对角上的第i个元素

这个我们实际上是要根据矩阵指数的定义

级数的形式展开

但是我们知道这里边用到的AK×tK

这样的一个矩阵的多项式

然后在计算的过程当中

对于对角型矩阵它有个特点

就是说一个对角型矩阵求k次幂

实际上相当于只对角圆求k次幂

所以这样的话我们就会发现

我们在求矩阵指数

求级数的求和

这个过程可以放到对角线上去

所以这样我们就得到了一系列对角线上的幂级数

而这些幂级数我们可以知道

它恰好对应于我们说指数函数

这样我们就证明了这个结论

那我们性质七是说什么呢

就是如果我们给的一个A矩阵本身它不是对角型的

但是如果它相似于一个对角型

也就是通过非奇异变换

它可以通过相似变换

得到一个对角型的这样一个标准型的话

那我们同样也可以利用这个性质来计算这个e^At

怎么计算

这个e^At现在我们就可以说

它的结论就是我们把它的对角的标准型

做成相应的指数函数

然后放到对角线上来

然后我们通过反变换的过程

把这个变换的过程倒过来

也就是我们从A变换到λ的这个t

我们这个过程倒过来

是t乘以对角型的矩阵再乘以T逆

那我们就得到了我们的e^At

也就是说我们如果一个A可以对角化

那我们也可以利用对角线的计算的结果

通过一个变换得到我们的e^At

这个过程这里边利用到了一个关键的性质

当然除了前边说我们基本的定义以外

还有一个关键的性质就是

对于一个对角型的一个

就是说我们相似变换的过程

实际上可以和矩阵求幂次过程交换顺序

也就是说T逆乘以A的k次方再乘以t

比如说这是二次方

我们可以把它拆成为T逆乘以AT

再乘以T逆乘以AT

这个中间用到了单位阵拆成T×T逆这个过程

如果是K次

那我们就拆k变

那我们就得到了说什么呢

就是一个矩阵求平方作相似变换

跟这个矩阵先做相似变换

再做它的平方是

结果是一致的

那我们这样的话

就可以利用这个性质得到我们要证明的结论

这底下一般的K次幂

就是说我们可以跟相似变换交换顺序

这样我们把这个矩阵

整体求的矩阵整体做相似变换以后

我们跟它的求幂次进行交换顺序以后

我们最后再通过这个反变换

得到我们要的结果

那么我们已经

这要利用到性质六的话

就是我们可以完成我们的证明

那么性质八是讨论的

就是说当A它本身是一个约当型矩阵的时候

它不是个对角型

那这个时候我们

到底我们的矩阵指数是什么样

比如说A是一个约当块这样的一个形式

主对角线上特征值

然后负对角全是1

其他地方都是0

对于约当标准型的情形

我们可以仿照性质六对它进行证明

那么这里边我们计算过程式得到的结果就是

我们每个约当块

它的主对角线上特征值

对应一个公共的e^λt这一项

然后得到的计算结果是主对角线上全是1

然后次对角线上全是t

然后依次它是乘上一个更接近

就是说依次递增的阶乘然后相应的幂次

比如说再次的对角线上的就是2的阶乘分之一乘以t平方

到最上边这个角上是(n-1)的阶层乘以t的(n-1)次方

整个乘上e^λt

这是我们对于给定

如果直接给的A是一个约当块的时候

我们计算的状态转移矩阵

这个证明方法

实际上也是利用幂级数的基本性质

然后依次计算特殊的标准型这里面的约当块的

它的幂次的一些特征

然后归纳出来

那我们下面再来介绍性质九

性质九其实是跟性质七很类似

都是希望能够解决

如果我们给的矩阵A

它本身不是一个希望的形状

比如说我们在这儿就说给的是个普通矩阵

那我们需要通过相似变换

把它变成约当标准型

那我们知道每个矩阵

都可以通过非奇异变换变成约当标准型

这是没问题

那我们就解决了一般的一个矩阵

它如何获得相应的矩阵指数

这个时候我们是先求出它的约当标准型来

在这儿我们是给出来

假设我们通过一个相似变换

可以变成一个约当块

当然更一般的就是可以变成约当标准型

是由若干个对角线上的若干个标准约当块来构成

那我们就可以对每个约当块

利用我们前面的性质给出它相应的计算方法

那么我们在这儿是说

同样类似于我们的对角线标准型

推广到我们的可对角化的矩阵

那我们每一个可约当化的矩阵来说

我们在计算的时候

其实都是说我们再通过一个反变换

t乘以e^jt乘以T逆

得到我们真正要的e^At或者Φ(t)

它的一个状态转移矩阵的解析表达式

那么我们可以看到这个解析表达式

跟它的约当块组成非常有关系

那么这里边的这些矩阵指数

就是每一个矩阵函数的形式

都跟特征值λ都非常有关系

当然也跟约当块的大小有关系

那么这个具体的证明

大家可以仿照前边性质七的证明来证

好 我们到这儿就给大家介绍了

就是我们的状态转移矩阵

由于它跟矩阵指数之间的密切联系

那么它有哪些最基本的性质

这些性质有的可以用于理论分析

有的是用来直接帮助我们找到

在时域里边进行e^At矩阵指数

进行解析计算的这样的一个步骤

那么这些性质我们看到总结成一句话

就是我们通过相似变换找到约当块

然后每个约当块套用它相应的一个解析的公式

然后再进行组装

通过反变换

就得到我们的一般的矩阵的

矩阵指数的计算结果