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同学们好

这次课我们学习第七单元第四节

线性定常系统的稳定性

在本单元的第二节课中

我们学习了李雅普诺夫稳定性分析的

三个基本定理

其中给出的判断稳定性的条件

都是充分条件

而这一节中对于线性定常系统

我们给出的判断稳定性的条件

是充分必要条件

考虑线性定常系统4-1

x的微分等于Ax

原点是其平衡点之一

对于线性定常系统我们有这样一个结论

线性定常系统的所有平衡点的稳定性

是相同的

因为对于非零的平衡点经过状态平移

都可以转换为原点

并且状态矩阵不变

好 我们来看一下

假设xe是系统4-1的非零平衡点

即Axe等于0

我们令z等于x减xe

这里我们注意xe是平衡点

是一个常数向量

则z一点等于x一点 也等于Ax

并且等于A乘上括号x减xe

因为Axe是等于0的 所以它会等于Az

所以可以看到任意的非零平衡点xe

它的稳定性和原来的原点的稳定性

是一样的 是吧

这个状态矩阵A是一个同样的矩阵

因此当原点是一个系统的

线性定常系统的稳定的平衡点

或者是渐近稳定的平衡点的话

我们称这个系统是稳定的

或者渐近稳定的

这意味着说系统是渐近稳定的

我们就知道它的所有的平衡点都是稳定的

好 下面我们给出线性定常系统

稳定性分析的六个结论

我们将证明第七个结论

前面五个结论

同学们回去课后去给出证明来

好 我们先看第一个结论

线性定常系统是渐近稳定的充要条件是

状态矩阵A的所有的特征值的实部都是负的

好 线性定常系统为渐近稳定时

原点是其唯一的平衡点

并且必是全局渐近稳定的

好 这个唯一性很容易看出来

由刚才的结论一就知道

如果系统是渐近稳定的话

A矩阵是非奇异的

第三个结论线性定常系统为渐近稳定时

状态转移矩阵会随着t趋近于无穷大

会趋近于0的

第四个结论是关于稳定了

是李雅普诺夫稳定

线性定常系统为稳定的充要条件

是A的特征值全部在左半闭平面内

并且虚轴上的特征值

对应的约当块均为1阶

好 第五个结论关于不稳定性

线性定常系统为不稳定的

如果A存在实部为正的特征值

好 第六个结论是作为定理给出来

定理一系统4-1为渐近稳定的充要条件是

对任意给定的正定矩阵Q

存在正定矩阵P满足下面这个

4-2这个矩阵方程

我们把它叫做李雅普诺夫方程

A转置P加上PA等于负Q这个方程

好 我们来证明一下这个结论

首先证明一下充分性

也就是说任意给定正定的Q存在正定的P

满足李雅普诺夫方程

如果这个条件成立的话

原系统是渐近稳定的

好 我们既然这个P是正定的

我们可以用它来构成V函数

那么构成这样一个二次型的V函数

那么它这是一个正定函数

因为P是正定的

好 对V求微分得到V一点

等于x一点Px xP乘上x一点

把状态方程代进来

x一点等于Ax代进来之后得到这样的表达式

好 因为P是满足李雅普诺夫方程的

那么我们根据李雅普诺夫方程知道

它就等于这个负x转置乘上Q乘上x

而Q是一个正定函数

所以V一点是负定的

那么根据李雅普诺夫稳定性定理

我们知道这个系统是渐近稳定的

好 这是充分性

下面我们来证明必要性

也就是说系统是渐近稳定的

则对任意的矩阵给定的矩阵正定的Q

那么一定存在这个正定的P

满足李雅普诺夫方程

好 我们来证明

好 我们考察如下这个矩阵微分方程

如果A是n*n的矩阵的话

这个E也是n*n的矩阵

好 在t等于0时 那么E是等于Q的

这样一个矩阵微分方程

好 这是一个常微分方程 对吧

那么它的解给定了初始条件

它的解是唯一的

好 不难验证这个E(t)这个解

是可以表达出这种形式

A的状态转移矩阵的转置乘上Q

再乘上A的状态转移矩阵

好 可以验证它是满足这个微分方程的

首先t等于0的时候

那么状态转移矩阵等于单位阵

确实是满足这个初始条件的

好 对t求微分 先对这个t求微分

下来一个A转置

再对这个t求微分下来一个A

好 它确实满足这个微分方程

好 我们说这个微分方程是唯一的

而这个是满足它的初始条件和微分方程

是说明它确实是它的唯一解

好 并且这个当t趋近于无穷大的时候

E是会趋近于0的

因为A矩阵是渐近稳定的

当t趋近于无穷大的时候

这个状态转移矩阵

我们上面有一个结论是说它会趋近于0的

因此E也会趋近于0

好 那么我们下面来对这个方程两边做积分

从0积分到无穷大

好 这个是刚才方程的右边

好 左边写到这边来了

那么它是t等于无穷大的值

减掉t等于0的值

无穷大的值刚才说了是0

这个是Q 所以是负Q

好 我们令这个积分

0到无穷大对这个矩阵做积分的值

令它是P

给这么一个符号

把这个刚才这个解E的表达式代进来

得到这个表达式

这么定义一个P这么一个矩阵

好 由于这个A矩阵是渐近稳定的

那么上面定义的这个P矩阵是存在的

这个积分是有限值

好 把这个P要代到这个4-3式里面去的话

我们发现这个P是满足李雅普诺夫方程的

A转置P加上PA等于负Q是满足的

好 下面就要证明P是正定的

好 我们考虑一个初始状态x(0)等于x下标0

它是一个非零的初始状态

那么x(t)就可以写成状态转移矩阵

乘上初始状态

我们考虑下面这个二次型

我们利用这个初始状态

非零的初始状态来构成这样一个二次型

这个P矩阵的二次型

好 把刚才P的定义式抄过来

两边分别乘上x0的转置乘上x0

得到这么一个表达式

好 状态转移矩阵乘上初始状态是等于xt的

那这边就是xt的转置 是这样一个表达式

好 x0我们假设它是非0的

所以x的话它是不会恒等于0的

一个非零向量乘上一个状态转移矩阵

它不会恒等于0

而Q是正定的 是一个正定矩阵

因此这个积分函数

被积的函数是连续的

因为它是微分方程的解对吧

是这个表达式

它是个连续函数

并且是非负的

因为Q是正定的

不恒等于0的

刚才说了x不恒等于0

因此这个积分是严格大于0的是正的

好 也就是说对于任意的非0的x0

这样的二次型是大于0的

也就是P是正定的

这样我们就证明了这个必要性

好 根据刚才的定理我们在应用它的时候

说先任选正定矩阵这个Q

那么由李雅普诺夫方程来求P

那么定理告诉我们如果P是正定的话

那么系统是渐近稳定的对吧

当然根据刚才的证明我们也可以知道

如果这个P是负定的话

那么这个系统就是不稳定的

好 否则的话因为这个定理给出的条件

是充要条件

否则的话我们也可以下结论说

它不是渐近稳定的

因为那么定理

这个定理的条件是充分必要条件

不满足的话也是可以下结论的

好 如果在用这个定理的时候

结论的时候

我们反过来做

我们先选取正定矩阵P

然后由李雅普诺夫方程去求Q这样来做

好 如果这样求得的正定

这个Q是正定的话

那么我们还是可以下结论说

这个系统是渐近稳定的

如果得到的Q是负定的话

那么我们也能说下结论

说这个系统是不稳定的

但是如果这样先给定的P去求Q

得到的Q是不定的话

这个时候不能下任何结论这个要注意

好 这个定理是给出了李雅普诺夫方程

有解的条件

好 我们看一下它的结论

任意给定正定矩阵Q

李雅普诺夫方程4-2有唯一解的充要条件是

矩阵A没有互为相反数的特征值

这是李雅普诺夫方程有解的一个充要条件

其实李雅普诺夫方程

是一种西亚拉斯特方程

这个条件无非是西亚拉斯特方程

有唯一解的充要条件的一种形式对吧

就是根据我们李雅普诺夫方程的特点

来给出来的形式

那么它的证明我们就不讨论了

好 来看一个简单的例子

线性定常系统二阶的

那么我们可以任意选取正定的Q

那我们选一个单位阵它是正定的

好 P是对称矩阵

所以我们令它的元是a b c

好 把它代入到这个李雅普诺夫方程里面去

求这个矩阵方程 对吧

就可以得到这个P矩阵的话是这种形式

那么它的是正定的

一阶顺序主子式是1.5

二阶是1.5减0.25 它是正定的

所以这个系统是渐近稳定的

好 在Matlab里面有一个命令

是求解李雅普诺夫方程的

大家可以去试一下

它是lyap把A Q给它就能把P算出来

定理三 矩阵A所有的特征值的实部

均小于负σ的充要条件是

对任意给定的正定矩阵Q

存在正定矩阵P满足矩阵方程4-5

A转置P加上PA加上2倍的σP等于负Q

好 我们来证明一下这个结论

我们把刚才的4-5改写一下

改写成这种形式

好 这个其实是关于σ单位阵加上A

这样一个矩阵的李雅普诺夫方程

那么根据刚才的定理我们知道

对于任意给定的正定矩阵Q

存在正定矩阵P满足这个方程

满足这个式子的充要条件是

这个括号里面的这个矩阵的特征值的实部

是小于0的

那这就等价于矩阵A的特征值的实部

是小于负σ的

这就简单地就把这个结论给证明了

好 我们看一个例子

这是一个要做控制律的设计的例子

这么一个二阶系统加入了控制

这是B矩阵非奇异

那么这个矩阵是完全可控的

要设计一个全状态反馈

使得闭环系统的极点的实部都小于负3

我们想利用一下刚才的结论

好 假设这个状态反馈增益矩阵F是

它的元是a b c d

好 把这个状态反馈加进

加到这里面来 系统方程里面来

得到闭环系统的状态矩阵A减BF

那么是这种形式

好 那么闭环系统的极点

它的实部要小于负3的话

那么我们利用刚才的结论

我们看一下这里我们选取了Q矩阵等于单位阵

我们假设或者说如果能求得F

使得这个方程对于P矩阵也是单位阵的话

那么根据刚才的结论

我们知道这个A减BF的特征值的实部

一定是小于这个负σ

σ选做3的话

好 把刚才的那些值全代进来

去求这个方程 这个矩阵方程确实有解

并且F是等于这样一个值的

好 那么代进去得到A减BF的话

是这样一个值

对吧

好 可以容易看出来

那么这个闭环之后的系统的特征值

它是共轭复数 并且实部是等于负3.5的

它是小于负3的 满足我们的设计要求

也就是说我们的有些结论不仅仅可以做

系统稳定性的分析

也可以做一些简单的控制系统的设计

好 最后我们总结一下这一节的内容

对于线性定常系统

我们主要给出了两个渐近稳定性的充要条件

第一个是基于A矩阵的特征值的

还有一个是基于李雅普诺夫方程的

好 最后我们也给大家留一个思考题

刚才我们说了线性定常系统

是渐近稳定的充要条件是

对任意给定的正定矩阵Q存在正定矩阵P

满足李雅普诺夫方程

如果我们将任意给定的正定矩阵Q

改为给定的半正定矩阵Q

会有什么样的结论 大家思考一下

好 这节课就到这儿

再见