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下面我们讲第四章线性定常系统的综合

也叫线性定常系统的设计

第二章我们讲了线性方程组的解

第三章我们讲了线性系统的能控性和能观性

来我们来看线性定常系统的综合的问题的描述

对于给定的一个受控系统ABC确定其控制规律

即设计控制器的结构参数

使其控制性能满足事先给定的性能指标

我们称这样一类问题称为系统的综合问题

然后我们来看这个问题描述当中

首先它是先给定了一个受控系统

然后还要先给定性能的指标

然后我们来设计或者叫确定其控制规律

这样的问题就称之为系统的综合问题

那我们再来看我们前面几章讲到的内容

这里我们把前面几章讲的内容称之为分析问题

也就是说首先给定的

是系统的状态方程和输出方程

并且假定输入u是已知的

也就是说在阶跃函数

或者说斜坡函数已知的情况下

我们来分析系统的一些行为

包括第二章当中讲到的系统的运动行为

也就是它的状态运动规律

以及第三章当中讲到的结构特性

包括它的能控性能观性

我们是说已知系数的方程已知u的情况下

来分析系统

所以把它称之为分析问题

那对应的我们来看综合问题

综合问题指的是说给定系统方程

状态方程和输出方程

并且要指定一个希望的运动行为

或者叫性能指标

那么在这样的前提条件下我们来设计控制器

确定系统u 输入u的控制规律

设计一个u的控制器的参数

那么我们说这样一类问题称之为综合问题

下面我用一个简单的例子

来解释分析问题和综合问题的这个不同的地方

这里给出一个两个水箱的控制模型

那么说分析问题指的是说在已知系统

经过写出它状态空间表达式以后

我们说怎么来分析系统

是否具有能控性和能观性

那么也就是说如果在这个系统结构当中

如果我们把输入u放在下面这个

这个调节阀放在下面这个水槽上

输入u的结构是这样 b参数是0 1构成的

那么在这样的情况下

我们来分析系统的能控性和能观性

如果说我们把u这个调节阀设置在上面水槽

那么它的控制输入矩阵就

b就变成了1和0这个表达式

那么也就是说在不同的控制器的

设计的结构的基础上

我们来分析这个系统在这样不同的情况下

系统是否能具有能控性和能观性

这就是分析问题

那我们再来看综合问题

综合问题是说在已知系统的结构参数

也就是给出了它的状态空间表达式

那么我们说把u放在上面这个水槽上

我们来设计说要求它达到一个性能指标

比如说两个水槽的水位

我们要求必须在两分钟之内

达到这个指定的这个位子

那么这就是性能指标

那么我们在这样的性能指标要求下

我们能不能够设计出来一个

合适的u的控制信号

能够达到这样的指标

那么这就是综合问题

要想建立系统的综合

解决它的综合问题

我们一般来讲我们需要有两个步骤

第一步就是我们首先要建立相应综合问题的

可综合条件

也就是说是不是这个问题有解

是不是一定可以达到这样一个

设计出来控制器这样一个条件

比如说我们后面会讲到

是否可以进行极点配置是否具备这样一个条件

第二步我们才能够去进行确定具体设计u的控制率

也就是确定输入u的方法来进行详细的设计

那么我们比如说通常采用的反馈控制率

确定这样一个控制表达式

来设计它的其中的一些参数设计它的控制器

那么我们刚才讲到了设计控制率的时候

一般来讲我们都使用反馈的形式

那么在这里面我们就要提出

在现代控制理论当中

我们需要引入这个新的概念叫状态反馈

首先我们来看状态反馈

和传统的控制当中的输出反馈之间的

这个不同的地方

那么刚才讲到了在控制理论当中

我们说不论是在经典控制

还是在现代控制理论当中

反馈都是系统设计的重要方式

但是由于经典控制理论通常采用传递函数

来描述输入输出的形式

所以它只能够对输出量进行改造

然后来作为反馈量

我们把这种方式称为输出反馈的方式

也就是说先量测出输出量

再由输出的测量值与给定的输入量进行比较以后

来确定闭环系统的控制规律

而在现代控制理论当中除了输出量

可以用来进行反馈之外

我们还可以进一步利用系统的内部状态变量x

来进行反馈

通常就采用了这种状态的反馈

即利用系统的全部状态变量作为反馈量

然后我们来具体的用具体的图形形式来表示

输出反馈和状态反馈之间的这个不同的地方

首先我们来看输出反馈

假设我们给定了线性定常系统

就是由一式表达式给出的x导数等于Ax加Bu

y等于Cx

那么我们这里假定说输出的维数是m维

输入的维数是r维

那我们看输出反馈的形式就是入图一所示

它是说把输出量测值y经过反馈通道H

然后反馈到输入端

然后构成这样一个反馈

我们称之为是输出反馈

那么它的表达形式就是等于u

设计的u就等于Fw减去Hy

那么这时H就是输出反馈需要设计的这个矩阵

反馈矩阵

那么H就是根据维数应该是r乘m维的矩阵

然后用H乘以y作为反馈量构成闭环

通常我们对输入量w也做一定的变换

那么这个变换矩阵可以计为F

那么进一步就把控制率写成了u等于Fw减去Hy

那么就进一步写成Fw减去HCx

那么我们把这个式子代入原来的状态方程

就可以导出闭环系统的方程就等于

x导数等于Ax加B乘以Fw减去HCx

再合并以后就可以看出

等于A减BHC再乘以x加上BFw

那么这样写成闭环系统

就成为三项式这个表达形式

那么从这个形式我们看到闭环系统

它的系统矩阵原来开环是A阵

那么闭环以后就变成了A减BHC

这是它的闭环系统的系统矩阵

依据这样一个闭环系统

我们来看进一步可以写出它的传递函数矩阵

就是WH’F那就等于C乘以SI减A加上BHC的逆

再乘以B乘以F

那么也就是如果一般假定F等于单位阵

也就是说对输入不做变换的时候

那么就成为单纯的这个输出反馈了

那么进一步我们可以简化成闭环系统的模型

就是这样一个表达式

X导等于A减BHC乘以x加上Bw y等于Cx

相当于对应的传递函数矩阵

WH(s)等于C乘以SI减A加上BHC的逆乘以B

然后我们再来看状态反馈的基本形式

图二就显示了不是采用输出来进行反馈

而是把状态信息x

也就是我们这里假定x是可量测的话

就可以把所有的x的全部信息反馈到输入端

那么通过反馈通道K 也就是它的反馈矩阵

引入到输入端来构造整个反馈控制率

那么它的我们就同样可以得到控制率的表达形式

u等于Fw减去Kx

那么这个K就是一个r乘n的矩阵

然后Kx用作反馈量构成了闭环

那这种方式我们就称之为状态反馈的形式

同样我们来写状态反馈的闭环系统的

状态空间表达式

同样我们也是把这个状态反馈的控制率

代入到原方程当中进行合并求解以后

就可以写出x导数等于A减BKx加上BFw

y等于Cx

那么如果同样我们如果考虑F等于单位阵

那么进一步简化的状态反馈的闭环传递函数

和它的闭环状态方程表达式

可以写成x导数等于A减BK乘以X加上Bw

y等于Cx

对应的传递函数矩阵

WK(s)就等于C乘以SI减A加上BK的逆乘以B

那么我们再来看这两者状态反馈和输出反馈

它的状态方程和闭环传递函数

它们之间的这个联系

这里首先我们看状态反馈的传递函数

WK(s)就等于C乘以SI减A加BK的逆乘以B

输出反馈的闭环传递函数是

C乘以SI减A加BHC的逆乘以B

那么从这两者闭环传递函数的形式

我们可以看出输出反馈和状态反馈 怎么样

它都可以改变系统的闭环极点

原来开环的时候原来是SI减A的逆

现在都改变成了要么是SI减A加上BK

要么就改成了SI减A加BHC

它都可以改变闭环系统的极点

而且反馈的引入都不增加新的状态变量

也就是说闭环系统和开环系统具有相同的阶数

另外我们再进一步比较这两种表达形式

状态方程的形式我们就可以看出

当这个状态反馈的K等于H乘以C

K等于H乘以C的时候

我们可以看出状态反馈

和输出反馈的控制效果是一样的

也就是说输出反馈H所能达到的效果

我们怎么样

我们都能够通过状态反馈阵来代替

而且能达到同样的控制效果

但是反过来说由于已知KC两个矩阵的时候

H矩阵不一定有解

这就说明状态反馈有可能获得

比输出反馈更好的效果

或者说输出反馈

仅仅是状态反馈的一种特殊的情况

那我们用一个简单的例子来说

比如说我们简单假设输入输出维数都是一维的

状态是两维的

那我们看由这个表达式K等于HC

就可以看出K 已知k1 k2 c1 c2的时候

这个H这个参数不一定有解

也就是说进一步说明已知K C的时候

H阵不一定有解的话

就可以表示出来输出反馈仅仅是状态反馈

它的一种特例

那么进一步我们由状态反馈的形式

我们可以看出选择反馈矩阵K

或者说我们通过调整K的参数

就可以改善系统的性能

甚至进一步来达到我们所指定的性能指标

下面我们通过另外的例子来解释

我们可以通过设计反馈矩阵k1 k2

来改变闭环系统的性能

也就是说进一步分析

我们来设计k1 k2反馈矩阵k的时候

怎么去影响到系统闭环系统的性能

这里有一个二阶的系统

A等于0 1 负a1 负a2

B是0 1 C是β1 β2

那么我们可以直接写出它的传递函数

它的分母是S平方加a2S加a1

分子是β2 S加B1

这时候如果我们取状态反馈矩阵k

是k1 k2 因为它是一个二阶的系统

我们只要设计两个参数k1 k2

输入变换F等于单位阵

首先我们写出闭环系统的A减bK

就等于0 1 负a1加上k1 负的a2加k2

同样我们再把闭环系统的传递函数也写出来

就等于 WK(s)就等于

S方加上a2加k2 S加上a1加上k1

分子还是β2S加上β1

那我们从这个闭环系统传递函数

我们就可以看出k1 k2的引入

确实是改变了系统的闭环的极点

那么我们进一步写出它的两个极点λ1 λ2

就等于这个表达式

那么从这里我们就可以看出

在这个λ1 λ2这两个极点当中

它包含了k1 k2两个参数

那么也就是说如果我们改变k1 k2的话

闭环的极点就可以任意的去配置

或者说可以任意的变化

从而能够达到我们所指定的性能指标的要求

这里我们进一步分析

如果说k1等于四分之一的a2加k2的平方减a1

也就是这个表达式当中

这里面开根号里面等于0

那么这样闭环就有两个相同的实数极点

并且在k2大于负a2的时候

也就是这两个极点都等于二分之一的负a2加k2

k2大于负的a2的时候

这个极点都是负实部的

那么系统就是一个稳定的系统

那如果说k1小于这一部分

那么就表明系统就会有两个相应的实数极点

如果k1大于四分之一的a2加k2的平方减去a1

那么这个两个极点就变成了含有虚部的极点

那么系统闭环以后就成为一个振荡的系统

那进一步在k2大于负a2的时候系统才会稳定

那么通过这个例子我们就可以看出

通过状态反馈设计它的状态反馈矩阵的参数

就可以改变闭环系统的极点

从而让它整个系统满足给定的性能指标