当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第5周：状态变量的能控性和能观性（2） > 1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据） > Video
我们已经对能控性的概念
给了详细的定义和解释
但是咱们从理论分析的角度
实际上如何判断一个系统
到底是不是能控的
或者判断一个状态是不是能控的
实际上还需要在理论上
有相应的计算方法
或者说比较简便易行的一些
可以运用的工具和途径
在此我们就给大家介绍几种
先来介绍其中一种
我们在这个地方给大家要介绍的是
能控性判据
前边我们给大家一些例子
特别是我们在举例的时候已经看到了
就是如果一个系统
它是一个对角标准型
也就是状态之间结耦
只是跟输入进行比较的话
那么这种情况去判断能控性
还是比较容易的
我们下边就给出来
基于这样一个想法
所引入的一个判据
称为模态判据
这个里头我们也是假定
这个系统它是给定了
相应的状态方程
然后有两个参数矩阵
我们用这个模态判据
其实就是希望能够通过坐标变换
把它转化成对角标准型
什么情况可以做到这一点呢
最简单的情况就是
我们说如果你这个系统矩阵A
它是两两相异的特征值的话
那么我们就可以做到这一点
这个就是我们有一个对角标准型
(*)号所给的这个形式
变换出来以后
我们说把A通过相似变换
转化成A~
然后它的对角线上是它的特征值λ1到λn
其他的元素都是零元素
那这个时候我们只要看相应的
输入矩阵的B~
这也是在坐标变换以后的这个里边
如果对相应的B~
不存在全零的行的话
那我们就说这个系统是完全可控的
如果存在着全零行的话
那么相应的那一行
对应的状态变量就是不可控的
原因是我们说这个里边
它的状态之间是没有耦合的
只有通过控制来改变这个状态
或者我们就说
该行所对应的特征值
所形成的模态函数
e^λt是不可控的一个模态
那么我们底下要具体给出来
为什么这样一个结论是对的
首先我们来证明
系统在非奇异变换以后
能控性不变
这是因为中间通过一个非奇异变换
在新的这个
就是说这是老坐标底下的初始状态
这是变换以后的这个
新坐标底下初始状态
通过变换阵联系起来
那么对任意的初始状态
如果是完全能控的
那么相应的变换以后的这个状态
它当然也是状态空间
当中的某一个点
那么这个位置上
它也一定是一个能控的状态
因为我们在考察能控的时候
是考虑有限时间之内
能否找到一个u 输入信号
而这个输入信号是跟坐标
怎么选取是没有关系的
那我们的目标状态也是原点
也是跟这个坐标变换无关的
所以我们就看出来
在完全能控性这个角度看
无论你在哪个坐标底下
在一个坐标底下完全能控的话
在另外一个坐标底下也是完全能控的
那么这样的话就
让我们可以进行坐标变换
那我们在坐标变换的时候
对于不包含元素全为零的行的情况下
我们把(*)式
就是经过坐标变换以后
已经变成对角化的
这样一个状态方程给展开
那就是依次的是xi~
它等于λi相应的乘以x~i
加上一个输入的向量的一个线性组合
那么在这个方程里头
由于状态之间没耦合
所以xi它能控不能控
完全取决于
到底有没有输入信号进来
如果有输入信号进来
我们就可以按照理想方式
把xi~ 这个0的影响
通过适当的输入给抵消掉
让它在有限时间之内
完全变成0
每一个我们都可以做到这一点
所以这就是知道有充要条件
如果有全零行的话
就意味着我们在某一个xi~
它的这个倒数仅依赖于xi~
跟输入一点关系没有
那这个时候我们说
这个状态只决定于初始状态
我们输入不管怎么选取
也不会能影响到它
那么我们希望在有限时间之内
把这个分量化为0
那么也是不可能的
下面我们就用这个判据
试判断这样一个给定的系统
这是个二阶系统
它是否能控
我们一看这个系统
它不是一个对角标准型
那我们先通过坐标变换
化为对角标准型
具体做法是先求特征方程特征根
这是它特征方程特征根
我们求出来有两个
再求相应的特征向量
然后进行相似变换
这是变换阵
那么变换以后的状态方程
得到了是一个对角标准型
那么就是这样一个形式
那么从这看
我们知道这个对角化以后
是不是对每一行都是
输入矩阵全是非零行呢
我们看到不是
第二行它就是零
这一行就是零
那么说明xi~
是一个不可控的状态分量
那么相应的模态
e^t这个模态它是不可控的
下面我们再来看一个例子
这有三个状态方程
我们看到恰好都是以一个
对角标准形式给出
系统矩阵全是对角型的
对角形式
那么这样我们就可以直接运用
我们模态判据
我们看第一个
那么它是一个两输入的
那我们看这两个输入是不是全零行呢
这是不全零
这也不是全零
所以这个系统它是状态能控的
对于第二个来看的话也一样
我们看到也是非全零行
第三个系统我们发现
不是完全能控的
因为这里边有第二行是完全是0
这样的话就是x2一点
它就仅仅决定于x2自身
和输入没有关系
而它和状态之间又没有耦合
所以也不能间接的通过其他状态的变化来影响x2
这样的话就是我们说
对第三个系统来说
它是状态不完全能控的
那么对于更一般的情况
我们说系统矩阵里边的这个A
它可能不一定是
特征值都不一样
那么我们对这种情况
未必都能够通过相似变换
把它化成对角标准型
所以我们要考虑推广形式
也就是把它化成约当标准型
这个时候我们就出来约当块了
也就是说你的标准型
最后出来的是一个
一定尺寸的约当块
而这个约当块的大小
决定于特征值相应的一个重数
那我们说这个时候的判据
就是我们经过转换以后
化成约当标准型的话
就是要看每一个约当块
比如说Ji
它和输入所对应的
这个约当块的最后一行
就是最下方的这一行
对应的那些B的输入的元素
是不是全为零
这个道理在哪呢
我们就是说对按照约当块
进行状态方程的展开
可以得到这样一个分量的形式
比如说我们对某一个
di个 ji这个约当块
所对应的mi个状态分量
我们去仔细看
它的状态空间表达式
那么得到的这个
状态方程的分量的话
我们展开是这样一个关系
从这个式子可以看出来
当且仅当Ji的最后一行的元素
也就是这一行的元素
这个地方的元素
它是不全为零的时候
我们说整个这一组的
属于这个约当块这一组的状态分量
它都是与u1到ur当中
至少一个直接或间接关联的
也就是可控的
直接关联呢
比如说就是这个式子
我们看到最底下
第mi个分量的话
它直接关联
就是它和它自己有关
以及与输入有关
所以这一行不能全是零
如果这行全是零的话
就和输入没关系
这个状态显然它就不受控制了
那么其他的状态
它可以是零
这个状态这边可以是零
为什么呢
这边是零没关系
因为我们可以通过控制这个状态
也就是它底下这个状态
去间接的影响这个状态
以此类推我们可以影响所有的
这个约当块当中的状态
这就是这个判据所想表达的意思
那我们下面通过例子来看一下
这也是三个系统是约当块的形式
我们看到是一个约当标准型
那么在这边呢
如果比如说第一个例子
我们说这两个都不为零的话
相应的这两个约当块的最后一行
所对应的输入分量
它都不是全为零的
那么这个是能控的
那对它来说
我们看有三个约当块
其中这两个不全为零
而这个也是这行不全为零
第三个情况
我们看这有约当块
但是尽管上边这不为零
但底下这为零
这个时候我们说
第二个状态它是不可控的
那么这个时候我们就说
整个这个系统它也是不可控的
那么这里边有一个特殊情况
我们需要做一点说明
就是当系统
它这个约当型里头
存在着多个约当块
如果它对应同一特征值的时候
我们这个充要条件
还有一个比较细微的地方需要注意
就是输入矩阵对应于A矩阵当中
具有相同特征值的
全部约当块的最后一行的
这些行之间还附加了一个
必须线性无关的一个条件
那么这个条件我们在这说明一下
就不做更详细的证明了
比如说这个例子
第一个例子
我们有两个约当块
这两个约当块
它的特征值相等
那这个时候我们除了看最后一行
是不是全为零之外
我们还要看这两行
因为它是同一特征值的
还要看它俩是否线性相关
我们从这看这不相关
所以这是能控的
对这个例子
我们这做了一个变化
就是区别于前面这个
我们看这是一个1 0
这是一个3 0
虽然这两行都是不为零的
单独来看这两个是能控的
但是联合在一起
我们发现这俩是线性相关的
这个时候我们说
这个系统它也存在着耦合性
使得我们这个系统
变成了一个不能控的情况
这个需要大家特别的注意
那我们刚才给大家
通过讨论在对角标准型
或者约当标准型的情况下
如何来判断一个系统的
能控性
给出了这样一个具体的判据
也就是说我们不是按定义去验证
而是拿这个判据
对一个实际系统
可以做一个可计算的
这样一个能控性的验证
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）--作业
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-5. 对偶性原理
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-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-1.状态反馈和输出反馈
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
