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同学们好

我们继续学习第六单元抗外扰控制

前面两节我们学习了

基于状态反馈和外扰顺馈的

抗外扰控制器的设计方法

这一节和下一节我们将学习另一种方法

基于内模原理的抗外扰控制方法

这一节我们先学习

常值扰动下鲁棒抗外扰控制

这里出了一个新名词鲁棒

什么叫鲁棒性

是指系统的某些性能

对系统及其环境的某些变化

所具有的保持能力

比如说系统有参数变化它在一定的范围内

某些参数在一定范围内发生变化

那么这系统如果还是稳定的

那么这时候我们说

这个系统对系统的参数变化

具有鲁棒稳定性

前面我们介绍的抗外扰控制器设计方法中

静态无差是靠控制器

和受控系统参数之间的精确配合实现的

两个通道的干扰互相抵销

如果用数学来描述就是矩阵方程有解

CP等于D

但是当系统参数发生变化的时候

这些精确配合就可能被破坏了

这样系统就可能对参数的变化

就不具有鲁棒性

好 那么我们这次课来学习常值扰动下

鲁棒抗外扰控制器的设计

这一节我们分成两个小节

第一节仿单变量PI抗外扰控制器的设计

第二小节分析闭环实现静态无差的条件

好 我们先复习一下

我们先看一下第一小节

在经典的单变量控制理论中

为了使得闭环系统对常值扰动静态无差

我们通常会采用PI控制

好 下面这个框图

黑色部分是受控对象部分

红色部分是控制器部分

那么这里有输出的反馈

反馈回来之后加上一个比例

再加上了一个积分

好 由单变量控制理论里面

我们已经知道如果外扰是常值

闭环系统是渐近稳定的话

我们知道这个输出会渐近收敛于0的

也就是说输出稳态是无差的

关键的作用是这里有个积分器

也就是这个系统是一型系统

好 我们把这个构成控制器的思想

应用了多变量系统里面去

好 那么对于多变量系统

我们仿照PI的控制思想

在这个e的每一个分量后头输出的每一个

这是多变量的

所以在每一个通道里面都加入一个积分器

加入积分器

然后我们再用积分器

得到的这个q和系统的状态

来构成控制输入

这样来构成一个系统

好 我们来看看这个

框图的这个对应的系统描述

那么是这样的

受控系统还是我们以前讨论过的这种形式

但是这里外扰是常值

所以M是一个零矩阵

好 控制器的话呢

我们把输出先拿来做积分

那么这个积分器

有时候也把它叫做积分补偿器

它要去补偿外扰的影响

好 控制输入有两部分组成

一部分是和受控系统的状态相关

是个全状态反馈

然后还有是积分器的输出拿来做控制量

这是由两部分组成

好 这是整个控制器的构成是这样子的

好 我们来分析一下这个系统的这个特性

我们导入这样一个增广系统

它的状态是由受控系统的状态

和控制器的状态q构成的

那么这样的话增广状态的微分

就等于增广系统的A矩阵是这个矩阵

那么增广系统的状态

增广系统的B矩阵

这是M矩阵 C矩阵

好 是这样的

好 这是增广系统

好 我们再把这个控制

对于增广系统而言是一个全状态反馈

全状态反馈

加入到这个系统里面来

然后给它整理一下就变成这样了

这个其实就是闭环系统的

状态方程的描述

好 我们把它写得更紧凑一点

好 写成这种形式对吧

就说写成(6-4)这样一个闭环系统的描述

其中的Xl等于x q是闭环系统的

所有的状态都在这里

所以这个xl是闭环系统的状态

闭环系统的状态矩阵xl是这种形式

这里面包含有F x和Fq

好 Cl是C 0

Nl 是N D

这个D和原来的没有变化

好 我们记住这些结构这些定义

下面我们就来分析

这样一个闭环系统它的特性

好 我们第二小节

闭环实现静态无差的条件

我们有这样一个结论

对于系统(6-1)也就是说存在

常值外扰的情况下的受控系统

采用抗外扰控制器(6-2)

实现输出静态无差的充要条件是

闭环系统(6-4)是渐近稳定的

这个结论和我们前面两节的结论

好像缺点东西

前面的结论是说闭环系统渐近稳定

并且无差方程成立或者调节器方程成立

这里好像只有一个渐近稳定的条件

好 我们下面来分析为什么

好 我们来证明一下这个结论

由于我们考虑的是常值扰动

M是等于零矩阵的

那么根据定理3-2

闭环实现输出静态无差的充要条件是

闭环系统是渐近稳定的

并且存在矩阵P满足无差方程

针对闭环系统的无差方程也就是说Al乘上P

减掉P乘上M要等于Nl的 这里的M等于0

所以无差方程的第一个方程

就简化成这种形式

第二个方程就是CP等于D了

那么加上l就是闭环系统的

应该满足的一个方程

好 那么根据定理3-1的话

Al渐近稳定

并且这两个矩阵方程联立起来有解 P

好 我们来看一下这个矩阵方程的特点

先看一下第一个方程

因为Al是渐近稳定的

那么Al乘上P等于Nl的话

它一定是有解的并且解是唯一的

这个P就等于Al它的逆乘上Nl

第一个方程有解 是唯一的

第二个方程对于这样一个P来说

第二个方程是不是成立

我们检查一下

好

我们先把这个方程的具体的含义给它写出来

Al乘上P等于Nl就这个式子

那么刚才说 这个方程成立的话是ALP等于Nl

好 我们把Al的内容刚才的定义代进来

代到这里面来

代到这里头来

好 我们可以看到是这样一个表达式

Nl的话也把刚才的表达式代进来

这里要注意的是C 0正好是lC这个矩阵

那么l 这个D呢是和Dl是相等的

刚才说过是没有变化的

所以这个等式的第二块

下面这一块恰恰正好是Cl乘上P等于Dl

也就是说只要这个等式成立的话

刚才我们的第二个等式是自然成立的

所以我们在结论里头

就没有加入无差方程的要求

因为它肯定有解

所以只有稳定性的这个要求

好 从上面的分析我们知道

当闭环系统渐近稳定的时候

控制器的结构保证了系统的静态无差性

也就是说在输出反馈的通道里面

加入了积分

它是静态无差的保证条件

好 这样的话问题就转换成

是否存在增益矩阵Fc

就是增广系统的全状态反馈增益矩阵Fc

使得闭环系统是渐近稳定的

好 我们看这个闭环系统的状态矩阵Al

是增广系统的A矩阵

加上增广系统的B矩阵

乘上全状态反馈的增益矩阵

好 要问是否存在Fc使得Al是渐近稳定的

好 这样的话

如果增广系统是完全可控的话

那这样的增益矩阵是一定存在的

好 那么我们闭环系统的极点

能够任意配置的充要条件

我们说是增广系统的

A B队是完全可控的

是刚才的增广系统

这是它的A矩阵 这是B矩阵

那么我们下面就来分析一下

增广系统的完全可控性

增广系统的可控性矩阵

我们用Q~C表示的话

那么我们把它写出来

这是增广系统的B矩阵

那么乘上A 这是它的A

那么乘上之后得到这么一个AB CB

好 继续乘A

那么就一直乘下去

一直到N加M减1次为止

这是增广系统的可控性矩阵

好 我们定义一个矩阵Q它等于B AB

这样的形式的话

那么Q~C就可以写成这种形式

也就是把后面这些东西给它打包写成了Q

好 这个矩阵又可以写成

这样两个矩阵是相乘的这种形式

好 增广系统要完全可控的话

那么Q~C是要行满秩的

好 那么我们可以看到

如果原系统A B是完全可控的话

那么后面这个矩阵是行满秩的

那么Q~C要用行满秩的话

则要求A B C 0这个矩阵是行满秩的

好 我们把这些分析结果整理一下

好 那么我们要求增广系统是完全可控的

也就是它的可控性矩阵是行满秩的

充要条件是 Q是行满秩的

也就是A B是完全可控的并且A B C 0

这样构成的矩阵也是行满秩的

这样的话就构成了我们控制器存在的条件

我们把它整理一下

定理(6-2)

系统(6-1)存在鲁棒抗外扰控制器(6-2)

且可任意配置极点的充要条件是

A B完全可控

并且A B C 0是行满秩的

有这么一个条件

好 这个条件的话我们借用一下

将来大家会学习到的一个概念

其实这个行满秩的条件

等价于要求系统(A B C 0)

在s等于0处没有传输阻塞零点

我们简称为就是没有零点

好 在s等于0处没有零点是这么一个条件

我们简称为无零点条件

是这样一个结论

好 我们看一个例子

二阶的受控系统

那么这是A矩阵

这是B矩阵

A矩阵是不稳定的 B矩阵是非奇异的

那么这个系统显然是可控的

M矩阵

这是C矩阵

这是D矩阵

我们假设外扰是常值外扰

假设它是常值外扰

我们要设计鲁棒抗外扰控制器

希望闭环的极点在负1 负1 负2 负2处

我们来处理一下这个问题

好 首先判断一下这个控制器是否存在

那么根据定理(6-1)的话

我们要求(A B)是完全可控的

刚才说了B矩阵是非奇异的

肯定是完全可控的

那么把A B C代进来的话很容易检验

它呢rank是等于4的

所以鲁棒抗干扰控制器是存在的

好 那么我们来构成

首先构成鲁棒抗外扰控制器

先是积分

然后是增广系统的全状态反馈

那么根据极点配置要求

我们可以求出Fx Fq来

它的解不唯一

这两个矩阵的原 一共加起来有八个原

但是闭环系统它的多项式是四阶的

所以有自由的一些量在里面

好 这是解的 其中的解之一了

好 这里面的话我们做两点说明

常值扰动下的鲁棒抗外扰控制

它的关键 其实是结构上

采用了一个积分器

而积分器的话它恰恰是常值扰动的模型

为什么

因为M等于0

那么M对应的预解矩阵是等于s分之一的

乘上单位阵

s分之一 这样一个

我们把它叫做外扰模型的内模

我们把这个内模

把它嵌入到了我们反馈回路里头

这个就是所谓的内模原理

好 我们满足内模原理之后

从结构上就保证了这个系统

只要是稳定的话

那么它就是稳态无差的

好 那么前面我们的分析还告诉我们

如果受控系统的参数发生了变化

但是我的内模还在里面的

积分器还在里面的

那么只要闭环系统参数变化之后

不破坏稳定性还是渐近稳定的话

那么这个系统仍然能够实现输出静态无差

也就是说本节设计的抗外扰控制器

对受控系统的参数的不确定性

参数的变化是具有鲁棒性的

好 我们总结一下这一节的内容

好 对于这样外扰是常值的受控系统

我们设计了这样的鲁棒抗外扰控制器

把积分器串在反馈回路里面

那么只要闭环系统是渐近稳定的

那么这样构成的闭环系统

就是输出静态无差的

我们还证明了存在控制器

使得闭环系统极点

可以任意配置的充要条件

是 原系统是完全可控的

并且这个秩的这个A B C 0

这个矩阵是行满秩的

好 最后我们还是给大家留个思考题

刚才我们给出了实现闭环系统

极点任意配置的条件

那么我们只需要使得闭环系统

是渐近稳定的话

这时候增益矩阵存在的条件是什么

大家课后可以思考一下

好 这次课就到这

再见