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大家从前面我们讲到的

关于怎么样把一个传递函数

或者一个系统的高阶微分方程的形式

转化成状态空间模型这样的一个过程

包括我们介绍的一些方法可以看到

这样的一个转换它是不唯一的

比如说我们同一个传递函数

我们就可以转化成能控标准I型

和能观标准II型

而这两种形式它显然它的系数矩阵

比如说A就不一样的

它那个元素虽然包含的都有一定的

这个跟分母的这个系数对应关系

但它出现的位置不同

那么很自然的就有一个问题

就是同一个输出输入的这样一个系统

那么由于我们状态变量选取不同

本质上是由于状态变量选取不同

带来的就是它的状态空间模型是不一致的

这个时候我们的问题就是

那么这样的不同的这个表达形式

那么到底我们在解决一个问题的时候

到底应该选哪一种

或者说我选的这个不同的方式

会不会影响我对问题的分析

比如说我们去分析一个系统它的稳定性

或者我们去设计它的一个控制器

这个到底在多大程度上

我们这种选取会影响对系统的分析

所以我们很重要的一个问题

就是要搞清楚

对同一个系统的不同的状态空间表达式

那么它们之间是怎么联系在一起的

那么这样的话我们就下边就进而

来讨论这个关键的问题

这里边我们需要引入的概念就是

系统的等价变换和它的应用

那么下边我们就来看这个等价变换的概念

首先我们引入的是一个线性变换

这个基本的这个工具

我们是对同一个给定的动态系统

如果选择了不同的这个状态变量组的话

就是我们状态变量的选取个数相同

但是这个状态变量本身不是同一种选法

那我们得到的是不同的状态空间表达式

比如说我们的前面提到过的能控标准型

能观标准型或者是约当标准型

这其实都是不一样的表达式

那么它们本质上是怎么联系在一起的

我们在这儿指出

就是我们对应于同一个系统的不同的表达

它存在着一个非奇异的这样的一个变换矩阵T

那么将原来的状态变量

做一个线性变换以后

可以得到另外一个状态变量

那么这个状态变量的选取

我们原来老系统我们把它记作x的话

那么另外一组变量我们把它称为T

那这个时候新老坐标之间就有一个变换阵

就是x等于T乘以z

或者就是z可以通过T逆乘以x的形式

当然我们这是要求这个T它是一个方阵

而且是可逆的

那我们可以看到

如果在x这个变量的选取底下

我们的一个状态空间表达式

是由ABCD这四个系数矩阵

分别通过X一点等于Ax加Bu

和y等于Cx加Du这样的由(*)

这个式子所给出的

这样的一个状态空间模型的话

那我们用了新的坐标z

如果我们想代入进去

我们代入到里边去以后

我们想得到一个以z作为状态变量的

这样的一个状态空间表达式

那我们这个新的表达式有什么样的一个

这个形式呢

我们不妨给它代进去

这就是我们直接代入的时候

那么也就是说x一点等于Ax加Bu的话

当我们的x用这个Tz给代换了以后

那么Tz整个求导数

由于T是一个常数矩阵

所以它就提出来变成Tz一点

它等于什么呢

等于Ax x是Tz

所以是ATz加上Bu

那么我们的y等于什么呢

等于C乘以x加Du

那么这个x同样用Tz代替

就得到这样一个表达式

那我们看一下这个表达式

是不是一个在z底下的一个状态空间表达式

我们说还不完全是

原因是什么

是因为我们对状态空间表达式

尤其是状态方程我们有一个严格的规定

我们是要规定x一点等于Ax加Bu这种形式

那么也就是我们的

在这个方程的导数项这边

应该是我们新的这个状态变量直接求导

而不是前头有一个矩阵的形式

所以我们说这样一个联立的微分方程组

它不具备一个状态方程的形式

那怎么办呢

我们通过这个等价变换

我们就是在这个状态方程两侧

同时给它乘上T逆

而转化成这样一个形式

就是这个(**)的这个表达式

那么在这里边我们看到z一点

就等于某一个常数矩阵T逆乘以AT乘以z

加上T逆乘以B乘以u

那我们可以把T逆乘以A乘以T

看作一个新的系统矩阵

把T逆乘以B看作一个新的输入矩阵

这个时候就反映出来了

在z作为这个状态向量的时候

这个系统所满足的这个状态方程

同样的我们这个输出方程

当我们把C乘以T看作是输出矩阵

那么它就对应了一个很好的形式

就是y等于z和u的一个线性组合

那么这个组合系数分别是CT和D

这样的话我们

当我们引入一个新的矩阵的符号

我们是A拔等于T逆乘以A

B拔等于T逆乘以B

C拔等于C乘以T

D拔就等于D

那么这样一个参数矩阵之间的

转换关系的时候

我们就可以写成了标准的

在z坐标底下就是在z状态底下的

这个系统的这个状态空间表达式

那我们可以看到跟原来的系统

这个系数矩阵它实际上是有联系的

但是不是完全相同的

这个时候我们就明白了一个道理

就是说当我们选取新的坐标的时候

如果是在z坐标底下

那么我们的系数矩阵会发生相应的变化

我们对于具有这个相同的输入和输出关系

但是这个坐标之间满足这样一个变换关系

相应的系数这个是在这个

由这个(*)和(**)给定的

这样一个关系的这样两个模型之间

我们把这两个系统称为是

代数上等价的系统

那么当我们这个T它是任意选择的时候

我们就会发现其实代数等价的系统

它的个数是无穷多个

因为我们这个T可以在n乘n的

非奇异矩阵当中任意选取

这个个数是无穷多的

所以我们说满足这个代数等价关系的系统

实际上有无穷多个

那么反过来我们可以看到

尽管系统的状态空间表达是不唯一的

但是如果是在不同的表达之间

这个仅仅是存在着这个(***)这样一个式子

给出的这个非奇异变换底下的

这个系数转换关系的话

那我们也知道

就是除去一个这样的系数之间的

这个对应关系之外呢

这个系统还是唯一的

那么我们下边来看一下

就是这个在一个给定的原系统的

状态空间表达式的情况下

当我们选取一个变换阵T

比如说这个例子我们看到这个例子当中

如果我们选T是一个非奇异矩阵

6 2 2 0的形式

那我们很容易求出来它的逆矩阵

是这个矩阵

那我们再令我们的新坐标是T逆乘以x

根据前边我们的公式

我们这个(**)这个式子

我们可以计算出来这个

在z坐标底下的这个控制矩阵

就是说这个系统矩阵A拔

实际上是相似于原来的这个A矩阵

那么它是一个T逆乘以A乘以T

这个变换阵就是我们这儿选的这个T

可以计算出来它这个结果

是A拔 等于一个0 1 -2 -3的形式

那我们的B拔是T逆乘以B

所以我们也可以算出来相应的结果

是一个0 1的形式

那我们就可以知道在z坐标底下

这个与原系统代数等价的这个

新的状态空间表达式所对应的系统

它的系数矩阵是这样一个形式

那我们也可以注意到这个形式

它恰好满足了

就是在它的A和B这个形式上

恰好满足了我们能控标准I型的形式

也就是说我们这儿除了最底下一行

这个A矩阵的系数是对应一个

分母多项式的系数之外

这个上边的部分对应一个n-1维的一个单位阵

而输入是一个0 1的形式

只有最底下一行是1 其他全是0

那么这样的话我们就把一个

看起来一个一般形式的这样的一个

状态空间表达式

通过代数等价变换引入这个变换阵T

转化成了一个能控标准I型的形式

对于前边说的这个代数等价的系统

我们看到是同一个这个传递函数

它有不同的状态空间表达式

之间是通过这个变换阵联系起来的

那我们也关心就是说我们这些

这个坐标的不同选取

带来了不同的这个状态空间模型

那么它们哪些模型是属于这个系统

而不是依赖于这个坐标变换的

那么这些量又称为这个系统的不变量

那么这些不变量对于我们

去分析和设计系统非常重要

我们下边来看一个非常重要的系统不变量

就是这个特征值

什么叫特征值呢

其实就是我们给定一个系统以后

它不是有一个系数矩阵A嘛

那么也称为状态矩阵

我们对这个状态矩阵引入一个λI-A

这样的一个行列式等于0

这样的一个特征方程

那么我们把这个λI-A的行列式

称为这个特征多项式

也就是特征多项式的根

或者叫特征方程的根称为这个系统

也称为这个A矩阵的这个特征值

那我们对一个n阶的这个方阵A来说

根据代数基本定理它有n个特征值

对一个实际的物理系统

由于这个A我们建模出来

它都是系数全都是实数

所以我们可以得知它的这个特征值

一定是要么是实数 要么是共轭复根

这个原因就是说一个实的n阶的多项式

等于0的根的话

它的复根要出现就是成对出现

要么就是一个实数

我们下边来看一个这个特征值的例子

对于我们这儿给定的例题里边的这个A

它是一个2乘2的矩阵

所以它有两个特征值

它的特征方程也是一个两阶的

那我们λI-A 呢

λI-A我们可以知道

是λ -1 2 λ+3求行列式

得出来是λ平方加3λ加2

我们通过解这个简单的一个

二次的多项式等于0的根可以得到

它是λ1=-1 λ2=-2

这样两个根

我们把它就称为这个A这个

2乘2矩阵的这个特征值

那么状态矩阵A的特征值的重要性质

就是它的一个不变性

所谓不变性就是我们在新老的状态底下

得到的这个不同的A矩阵

原来假设是A

那我们通过相似变换

通过变换阵引入T和T逆以后

我们得到一个A拔这个矩阵

那么变换前后它的这个特征值是不改变的

那我们通过一个简单的分析

下边我们看一看

就是我们首先说λI-A的行列式

它是等于λI-A拔的行列式的

那么这样的话就是说

特征方程其实是同一个特征方程

为什么是这样呢

我们把这个A拔的这个

和A的关系代进去

就是λI-A拔

实际上等于λI减去T逆乘以A乘以T

那么整个再求这个行列式的话

我们可以通过这个

对这个I这个矩阵对它进行分解

变成T逆乘以T

因为单位阵等于两个矩阵

就是说一个矩阵的逆和它矩阵相乘

得到的这个结果就是单位阵

这样我们再通过交换这个相乘的顺序

把这个数乘的这个运算和T逆相乘交换过来

然后在两侧 在左边和右边

分别提取出来T逆和T

这样我们就可以说

计算了这个等价的一个λI-A拔

可以写成这样一个形式

再对它求行列式

那我们知道行列式相乘的规则

也是可以把这个先相乘再求行列式

和求行列式顺序交换过来

就变成T逆的行列式

乘以λI减A再乘以T行列式

那我们这个时候

我们可以通过交换这个顺序

把T和λI减A的行列式这个运算交换以后

可以得到就是这样一个结果

这样的话我们就知道

这个λI-A拔和λI-A

求行列式的结果是一致的

也就是说我们变换不会影响这个行列式的结果

这样我们就知道了A的特征值

不随着代数等价变换而发生变化

那么也就是给我们提供了一个便利

就是说将来我们在分析某个系统

它的这个特征值到底如何的时候

我们可以既可以直接分析原来给定的系统

也可以分析经过一个代数等价变换以后的系统

如果代数等价变换以后的系统

具有更简单的形式的话

那么我们可能就带来了一个

对于分析这个特征值或者特征方程

更便利的一个条件

这也就是给我们引入了说

代数等价变换有什么用呢

其实是可以帮助我们来简化

对特征值的分析

那么特征值的分析到底有什么用呢

实际上大家都知道

在我们的经典的传递函数为对象的

这样一个频域的控制理论当中

这个分母多项式的根

也就是这个系统的极点

对分析整个系统的稳定性是至关重要的

取决于这个极点的位置

那么我们对于我们的状态空间模型

为基础的这个现代控制理论来说

那么实际上就是这个A的特征值

它的位置也决定了整个这个系统的整个的稳定性

所以我们可以说系统矩阵A的特征值

是对应于我们原来的了解的这个极点

所以都对分析系统稳定性有至关重要的作用

那么我们实际上同样还可以证明

对于代数等价变换的系统

尽管它的状态空间表达式不一样

但它反映的输入输出关系是一致的

这个就体现在就是我们通过对

一个状态空间模型的状态向量

引入坐标变换以后

变化以后的这个传递函数矩阵

实际上等于我们原先给定的这个系统的

传递函数矩阵

那么这两者的这个联系

是通过我们的系数进行比较

然后按照一个状态空间模型

导出传递函数矩阵的这个公式来进行的

那么详细的步骤呢

在我们这个地方有个展示

我们这儿就不一一说了

但是我们这儿要强调一下

其实类似于我们刚才推导这个

特征值不变的这个道理

我们这里头用到了这个相似变换

以及这个逆矩阵相乘

这样一个矩阵求逆的一个

一些基本的代数性质

大家可以感兴趣可以详细地自己推导一下

从这个地方我们可以看到

就是说在这个代数等价变换底下

那么所有代数等价的线性系统

它的传递函数矩阵是一致的

这也就意味着就是虽然我们对一个系统

选取了不同的坐标的方式

状态的这个坐标的选取不同

但是我们并不改变它这个输入输出的

这个外特性的这个关系

这也是符合我们的直观的

好 我们刚才给大家介绍了

就是在这个代数等价变换底下

这个系统的状态空间模型之间

它的四个参数矩阵

到底是如何产生的对应关系

都跟我们这个变换阵有关

那么同样我们也利用这个代数等价关系

参数矩阵之间的这个对应关系

特别是这个系统矩阵的这个相似关系

我们证明了就是系统的这个特征值

是在代数等价变换底下的一个不变量

同样的它的传递函数矩阵

也是代数等价的这个不变量