当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第2周：控制系统的状态空间表达式（2） > 1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解 > 视频
同学们
我们现在给大家介绍一下
就是当这个系统
是一个比较复杂的系统的时候
整个系统由多个模块构成
那么我们最典型的就是工程上常见的
这个模拟框图的形式
这个时候我们怎么由模拟框图来建立
系统的状态空间表达式
这也是我们常见的一类问题
那我们现在就来看一下PPT
好 我们来看一下这个问题
就是在状态空间分析当中
如何利用模拟计算机的模拟结构
来建立相应的状态空间表达式
有几种做法
那么按照我们这个做法
主要的思路分成三个基本的想法
第一是基于系统的串并联关系的分解
第二类是基于部分分式分解
还有是基于积分器串加上常值反馈的形式
那么我们首先来看
基于串并联分解的基本想法
在这里边我们首先先考虑一个最简单的
大家在学习这个传递函数
最常用的一个基本模块
就是我们在这给大家展示的一阶惯性环节
它的表达式是G(s)是k/(s+a)
那么这个k是增益
a是一个和时间常数有关的数值
那我们如果对一阶惯性环节
写出它的传递函数
并且分析一下它的这个u和y之间的关系
我们可以看到底下这个式子
也就是我们的y(s)
它等于ku(s)-ay(s)
总的来说乘上一个s逆
这个形式
那么对这样一个基本的单元
我们怎么样去构建它的状态空间表达式呢
那么我们经过一个分析的话我们会发现
我们可以导出一个等价的框图
也就是我们在右边
给大家展示的这样一个框图
那么这个框图大家可以看到
它是由三个基本器件构成
一个是有一个积分器
另外有一个负反馈通道
有一个-a的这样一个增益
还有就是在输入这边
有一个k的放大倍数
那么这样一个负反馈的系统
当我们把它的输出
就是积分器的输出
也是作为系统的输出命名为x
选择为我们的状态变量
那么它的积分器的输入端
就是x的导数
x的导数是由输入和反馈信号共同决定的
那我们对这样一个框图
很容易根据框图变换的准则
我们知道积分器的拉氏变换是1/x
我们通过框图化简
很容易证明它是k/(s+a)
也就是说是一个等价的这样的一个框图
而这个框图的好处是什么
可以依据我们这样一个
带有积分器的框图
很容易写出它对应的状态空间表达式
那也就是我们这给大家列出来的
就是x一点
这个误差信号它于-ax
就是我们的反馈信号加上ku
这样的一个状态空间方程 状态方程
然后它的输出方程就是y=x
所以我们在这给大家展示出来是一个
最简单的一阶惯性环节
它所对应的一个状态空间表达式
而我们后边给大家要介绍的
基于串并联分解
就是基于我们这样一个
最基本的惯性环节
所对应的状态空间表达式
作为我们的出发点
会给大家展示如何构建
整个比较复杂系统的状态空间表达式
那么我们在这还会用到我们之前提到过的
就是组合系统它的传递函数
和子系统的这个传递函数的关系
特别是我们经常会用到这种串联的关系
那么就是y=G2(s)G1(s)u(s)
那么这样一个
对应于这样一个串联的关系
当然还有并联的关系
我们在这没有列出
我们也有看到信号的叠加的关系
这些都是我们后边依据串并联分解
构造整个大的系统的状态空间表达式
所需要的这个基本的规则
那我们现在就来给大家介绍一下
如何基于串并联分解
构造一个较为复杂的框图
所对应的状态空间表达式
那么我们在这看到图1里边有一个
有两个模块串联
然后加上一个反馈构成的闭环系统
当我们这个系统是由方块图给出的时候
我们现在的目标是要基于各个模块
来进行整个系统的
状态空间表达式的这样一个构造
我们在这个具体的例子当中
大家可以看到
我们在这有一些参数
这些参数都是给定的常数包括我们的
这个控制器是一个具有零极点的
这样一个控制器串联的矫正
然后这是一个二阶的对象
这里边分别是两个极点和增益
那么对这样一个常见的闭环控制系统
我们怎么来构造
我们第一步就是要把
各个环节的传递函数
化成最简形式
那么什么叫最简形式
我们基本的形式其实就是我们刚才看到的
一阶惯性环节是一个最基本的形式
其次就是我们的常数的增益
那我们现在的这个
对具体的图1这个例子来做的
就是把这两个模块给它进行化简
那么我们分拆的第一个模块
就是这个控制器的模块
它拆出来是由一个常数
加上一个一阶惯性环节构成
那么这是它的一个分解
这实际上是个并联分解
那么对于我们的开环对象
它的二阶系统
我们把它也做一个分解
是做成了两个惯性环节相串联
也就是它实际上传递函数相乘的这样一个关系
那么我们第二步是要把这些
就是进行了串并联分解的
这个大的模块
给它从方块图上进行分离
也就是说我们把一个串联关系的
两个传递函数相加
给它拆成这样两个并联的支路
对于这个串联关系
是一个依次相连的这个串联的支路
那么我们可以很容易看出来
就是这个框图上他们是等价的
那我们第三步是要在
经过方块图的分解以后
得到的这个由完全由常数增益
然后是一阶惯性环节构成的
这样一个新的框图当中
赋予相应的位置
赋予状态变量
那我们基本的这个规则是什么
就是对于每一个一阶的惯性环节
像我们这个例子里头
是有三个一阶的惯性环节
对于每一个惯性环节
分配一个状态变量
是作为它的输出端
那么这样我们就对这个例子
是x1 x2 x3
分别赋予它的这个状态变量
然后在此基础上
我们明确了这个系统的输入和输出之后
我们就可以根据
这个框图当中的信号的依赖关系
列写相应的状态方程和输出方程
我们先来看一下输出方程比较简单
就这个整个系统的输出就是x1
所以我们可以直接列在这
那么对于状态方程来说
我们也知道
状态方程的概念是一阶的联立方程组
那微分方程组的话
我们在方程的左侧
就是分别是每个状态变量的
对时间的导数
那我们看x1的导数等于什么
那我们在列写针对x1的
状态方程的时候
其实就用到了
我们前边介绍的一阶惯性环节
列写状态方程的方法
那实际上就是 我们看这儿
那么这个x一点
它应该等于我们这
如果套用前面的公式
就是k/(s+a)的话
那我们实际上是x一点
等于-ax+ku
那么那的这个a
在这是p3
所以我们这有-p3
然后这个ku那的u
实际上在我们这是一个
这个惯性环节的输入也就是x2
所以我们有第一个式子
那么我们同样的道理
可以列写x2一点和x3一点
它分别满足的这个关系
那我们就稍微复杂一点的情况
对于x2的话它的这个
x2一点等于-p2x2
这没问题对吧
但是它的1乘以u
这个u实际上是由
这个u和这个x3
还有我们的反馈信号构成的
我们经过仔细分析以后
发现有-x1
然后是正的x3和正的u
这个组合出来是x2一点
同样我们也可以看到x3一点的表达式
我们在这就不再赘述了
那我们把这样的一个系统
它的状态方程和输出方程
都写成矩阵向量的形式
就得到这样一个表达式
这样我们就完成了
对这样一个闭环控制系统的
状态方程的这个建立的过程
那我们举个例子来看的话
就是图2这个例子里边
我们看到这是一个反馈系统
那么这个反馈系统它开环对象之外
就是在它的反馈回路
有一个动态环节
我们同样也是
首先先把每个组成的方块
给它尽量的进行分拆
那我们对上边这个二阶的环节
分拆出来两个一阶环节的串联
在这我们拆出来一个纯粹的积分器
那我们在反馈支路是
本来就是一个一阶惯性环节
不用继续分拆
那我们的做法
就是说对它来设置状态变量
按我们前面的规则
就是对每一个一阶惯性环节
包括积分环节
我们在它的输出端
设置一个状态变量
我们现在是三个一阶惯性环节
所以是三个状态变量
那我们进一步地可以
把这三个状态变量的时间导数
根据我们对一阶惯性环节的
列写方程的方法
可以分别列进来
这个时候也要用到
实际这个框图当中
信号之间的依赖关系
我们可以整理出来相应的
矩阵向量的形式
在此就给大家介绍了
第一种怎么样把模拟框图
转换成状态方程的方法
就是我们基于基本模块的
串并联分解这种方法
然后对相应的一阶惯性环节设置状态变量
对这个常数的环节
我们不设置相应的状态变量
这样我们在利用信号之间的关系
可以构造整个系统的状态空间描述
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-1. 状态观测器的基本概念
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-2. 全维观测器的设计
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-3. 降维观测器
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-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
