视频在线视频

那么在实际工程当中

有些系统它比较复杂

而且是由各个模块构成的

不是一个完整的或者说整体的

就是一个非常紧密耦合的

一个大的系统

那么更多的情况是由

子系统分模块

按照一定的方式连接构成的

那么对于这样的组合系统

如何能够确定它的状态空间描述

和相应的传递函数

我们在这儿就来详细的讨论一下

从这个地方

我们也可以看出来

就是从工程上

模型之间怎么样去组合

或者把一个复杂的系统

如何分解成若干个子系统分别建模

再做一个整体的组合

那么我们就从这个状态空间模型

和传递函数的两个角度去看一下

好 那我们下边来具体地来看

如何来完成这个分析

我们实际的一个控制系统

往往是由多个子系统构成的

那么典型的连接方式

把子系统串在一起的连接方式

有这么三种

一个是并联 一个是串联

还有就是反馈连接

我们把这样的系统称为组合系统

那么在这里头

我们要限定于讨论

线性定常的组合系统

也就是它的相应的系数

都是不随时间变化的

那么跟一般的随时间变化的系统

我们把它称为时变系统

在这个地方我们不做讨论

那么对于这个线性定常的组合系统

如何来讨论

就是整个这个系统的

状态空间表达式

和传递函数矩阵

通过子系统来获得

我们在这儿分别来讨论这三种形式

首先我们给出了子系统的

状态空间表达式的描述∑1和∑2

分别依赖于它的状态空间表达式的

四个系数矩阵

我们在这儿说是A B C D

分别是A1 B1 C1 D1

和A2 B2 C2 D2

那么我们先来讨论

最基本的三种连接方式之一

也就是并联的组合方式

所谓并联的组合系统是指

各个子系统有相同的输入

然后这个组合的总的系统

它的输出是各子系统的代数和

从这个图1我们可以看出来

它的这个信号之间的这个连接关系

那么一个共同的输入u

既是子系统1也是子系统2的输入

所以u1 u2都等于u

而总的输出y

是由这两个子系统的输出y1 y2

进行向量求和得到的

那么通过这样一个框图

并且信号之间的关系

我们就可以看出来

要想有两个子系统构成一个

并联的组合系统

那么它要满足一些必要的条件

比如说输入的维数首先得是相同的

那么输出的维数也得是相同的

为什么呢

因为我们这个y

是y1 y2向量的求和

只有两个维数相当的这样的子系统

它才能够直接进行向量的求和

所以我们这儿默认的就是

两个子系统如果做这种并联的话

它的输入 输出的维数得是一样的

那么下边我们就来看一下

这个并联子系统

它的状态方程怎么得到

我们说要想建立一个系统的

状态空间描述

那么要确定它的状态空间表达式的话

我们要选取相应的状态

那么对于一个由两个子系统并联

而得到一个组合系统来说

它的这个状态变量怎么确定呢

我们说这个

我们在这儿有一个约定

就是我们说整个这个

大的系统的状态向量

是由两个子系统的状态向量

进行一个向量的分块组合

也就是我们大的X是

划分成一个分块列向量

那么这个列向量

分别是由x1

这是第一个子系统∑1的状态向量

x2是第二个子系统的状态向量

由它这样组成的分块列向量所构成

那么当我们确定了这个大的系统的

状态向量以后

相应的我们就可以来探讨

怎么样这个状态向量x的导数

依赖于状态向量x和输入

那么我们根据信号之间的关系

我们就可以很容易地得到

在这个地方

此处建立整个大的系统的状态方程

我们分别可以知道

第一个子系统的状态变量

它随时间变化的导数

应该是只依赖于A1和x1相乘

加上B1乘以u1

而u就等于u1

所以我们在这儿有第一个部分

这个关系

那么第二个子系统呢

x2的状态随时间变化的倒数

它是A2x2加上B2u

那么我们可以把这样的一个

两个子系统的状态方程

写成一个

统一的一个状态方程的形式

这里边我们需要借助

分块矩阵来表达

那么也就是统一地写成

x1一点 x2一点这个大的x一点

它怎么样依赖于x呢

就是依赖于A1 A2作为对角矩阵

然后呢这样的一个分块

另外两个分块是0的

这样一个大的矩阵

乘以x加上什么呢

输入的影响

输入的影响当然就是大的x

依赖于B1 B2乘以u

那么这里边我们用到了u1等于u2

也等于u的这个关系

那我们下边再来探讨一下

输出怎样依赖于状态和输入

那么我们实际上知道

y等于y1加上y2

所以我们根据y1 y2的表达式

也就是y1等于C1 x1加上

D1乘以u1

y2等于C2乘以x2加上

D2乘以u2

而这里边u1和u2都等于u

所以我们可以整理出来一个

统一的表达式

就是y等于C1 C2

作为一个分块的输出矩阵

乘以x1 x2这个组合的状态向量

加上输入的影响

就是D1加上D2乘以u

这里边我们还是用到了

u1等于u2 也等于u

那么我们进而

根据这个状态空间表达式

我们可以来确定这个组合系统的

传递函数矩阵

那么根据我们前边所学过的

G(s)等于C(sI-A)的逆

乘以B加上D

这样一个一般的传递函数矩阵的计算公式

我们把我们在此处得到的

关于组合系统的

它的状态空间表达式代入

那我们可以得到这样一个

G(s)等于大C乘以sI减A的逆

当然这里边我们知道sI减A

因为我们的A矩阵是一个分块的对角矩阵

所以我们把它代入以后

再根据对角矩阵求逆

等于每一个分块求逆

这样一个关系

我们得到了sI减A1的逆

和sI减A2的逆作为对角的

这样一个对角矩阵乘以B

这个B是B1和B2

然后再加上D

现在我们的D是D1加D2

这样我们代入经过整理以后

我们可以很有意思的一个现象

我们观察到

我们可以知道

这个G(s)的大的传递函数矩阵

它可以是变成了G1和G2

这个两个子系统的传递函数矩阵

直接求和

所以我们从这儿就推导出来

当一个系统是一个并联系统的时候

那么这个系统的传递函数矩阵

等于子系统的传递函数矩阵之和

所以我们从这儿可以看到

当我们把两个子系统

给组合起来的时候

它的状态空间表达式

是按照这样一种方式

依赖于子系统的参数这个矩阵

那么同样

它的传递函数矩阵也依赖于子系统

从我们的比较可以看出来

状态空间的表达式

还是相对要复杂一些

而这个传递函数矩阵的关系

相对要简单

仅仅是两个直接求和就可以了

那么我们在这儿

讨论的是并联系统

它的状态空间表达式

和传递函数矩阵

下边我们再来讨论

另外一种组合方式

也就是串联关系

就是两个子系统

从一个系统的输入

先进入第一个子系统

然后得到输出

然后这个输出作为第二个子系统

∑2的输入

产生整个系统的输出

那么第二个子系统的输出

就是系统的输出

这样一种连接方式构成的系统

我们把它称为串联组合系统

从它的信号关系

我们可以看出来

就是整个这个系统的输入

等于∑1的输入u1

而这个∑1的输出等于∑2的输入u2

然后y等于y2

我们根据子系统的状态方程

我们进行分析

我们分别列写出来x1和x2的导数

怎么样依赖于这些信号

那我们可以得到

x1一点等于A1x1加上B1u

这个u就是u1

然后x2一点等于什么呢

等于A2x2加上B2乘以u2

而u2我们在这儿看到

它其实是y1

y1的输出方程

第一个子系统的输出方程代到这里边来

就是B2乘以C1x1加上D1u1整个乘进去

再把它展开

就得到了B2C1x1加上B2D1u这样一个式子

那么我们整个这个系统的输出是什么呢 就是y2

所以我们就知道y2等于y

也等于C2x2加上D2乘以u1

那么u1我们同样地把它代进来

u1等于y1

所以是Cx1加上D1u这个式子

所以说这样的话

我们就得到了一个联立的写成分量形式的

状态方程和输出方程

关于这个组合系统的

那么我们整理成矩阵向量形式呢

我们看到整个这个串联系统的状态空间表达式

就是如这个式子所示

我们看到大的X一点等于大的A

是这样一个分块的下三角矩阵

乘以x加上B1 B2D1乘以u

那么输出方程呢

就是y等于大的C

现在是D2C1和C2构成的分块矩阵乘以x

加上大的D D2乘以D1乘以u

那我们类似于并联系统呢

我们可以计算这个相应的G(s)

就是整个系统的传递函数矩阵

我们把这个相应的ABCD代进去

按照公式

由于我们这里边的这个大A是一个下三角的分块矩阵

我们可以利用分块矩阵求逆的一个公式

我们把可以把它在这个地方写出来

就如最底下这个式子

我们可以验证是这样一个表达式

代入以后呢

我们就得到了G(s)等于大的C

乘以大的sI减A的逆

现在已经给它经过下三角分块已经给写出来了

再乘以大的B加上大的D

我们代入经过整理以后

我们可以看到也是一个很有意思的现象

就是说我们可以把这个G(s)当中看到它跟G2和G1的联系

我们看到它可以拆成为G2这部分

乘以G1这部分

这两个矩阵相乘

那么这样我们就得到结论

就是串联系统它的传递函数矩阵

等于我们两个子系统的传递函数矩阵相乘

这里边要特别提醒一下的就是说

因为我们在这儿讨论的是一个一般形式的传递函数矩阵

也就是多输入多输出的子系统进行组合

所以我们特别要注意

这个G G2 G1都是矩阵

所以我们大家也都很熟悉的一个结论

就是两个矩阵相乘

它这个顺序是非常关键的

一般来说是不能随便颠倒它的顺序

除非这里边有对角矩阵或者其他特殊情况

所以我们在这儿特别强调

我们要记住的

就是我们这个G

它等于G2乘以G1这样一个形式

从这儿我们也可以简单地来看一下

就是串联系统特它的传递函数矩阵

和子系统之间的关系

还是一个比较简单的

是个乘积关系

但是它的状态空间描述

分别两个子系统的参数矩阵的组合关系呢

还是比较复杂的

但是我们如果知道这些参数矩阵

还是可以组合出来整个大的系统的状态空间表达式的

下边我们就再来考虑一下

第三种组合方式

两个子系统可以通过输出反馈的形式组合

在这儿我们有一个图

给大家展示

图三就是一个常数的反馈系统

也就是说

我们前项通道里边是一个动态系统

是由ABC这三个参数

那个D等于0

我们在这儿有这样一个假设

那么反馈的子系统是由一个常数矩阵构成的

那么从这个图里边我们可以看出来

在没有反馈的时候

也就是开环的这个对象

作为前项通道的对象的话

它的传递函数矩阵我们把它记作Go

在这儿可以很容易得到

就是sI减A的逆乘以B

这边在输出端我们再乘以C

就是C(sI-A)的逆乘以B

然后进而我们可以来看一下

这个闭环系统的状态空间表达式

也就是说我们把这个输出通过一个增益H

反馈到输入端和u进行一个

u减Hy这样一个误差信号

送到开环对象里边去的时候

整个这个闭环系统

它的状态空间表达式

那么在这儿我们有个约定就是

我们约定整个这个系统的状态变量

实际上跟开环对象的状态变量选取的是同一个x

那么这样的话

我们就知道了整个这个系统的状态方程

就是x一点等于Ax加上Bu

而这儿的我们说的这个u呢

实际上是这个开环对象的u

也就是这个误差信号

所以我们代进去是u减去Hy

如果我们知道这个y不等于Cx吗

所以我们把这个代入以后你可以得到

整理出来就是x一点如何依赖于x和u的线性组合的时候

我们可以整理出来变成A减去BHC

这是作为整个闭环系统的系统矩阵

或者叫它的状态矩阵是一个差

那么加上这个Bu

输入矩阵的和开环是一样的

那么这个输出呢

当然是怎样依赖于这个状态变量呢

我们可以知道

有一个直接的关系

这个y它就是C乘以x

然后我们可以进一步地根据传递函数矩阵

从这个状态空间表达式推导的这个公式

G(s)等于C(sI-A)的逆 乘以B

那么这里边减去的这个A

是整个系统的这个A矩阵

也就是A减去BHC这部分

那么我们得到的是这样一个表达式

所以我们知道

在输出反馈的情况下

我们的反馈系数矩阵

这个H这个增益矩阵

它会影响整个系统矩阵产生变化

而输入输出呢

这两个矩阵都是跟开环是一样的

我们进一步地推导

开环和闭环的传递函数矩阵之间的关系的话

我们可以根据我们的框图可以知道

我们经过拉式变换以后

输出的拉式变换y(s)

它等于开环对象乘以我们的误差信号 对吧

这个误差信号就是u(s)-Hy(s)

这是误差信号拉式变换的结果

我们把它展开以后

就变成Go乘以u(s)减去Go乘以Hy

当我们通过代数的变换

把这个y前面的系数都移到了左边

然后Go(s)u(s)是在右边

这个时候我们有一个进一步的假设

假设I+Go乘以H整个这个矩阵的行列式是不等于0的

也就是它是一个非奇异矩阵的时候

我们可以推导出来

这个y就等于整个这个矩阵I加上Go(s)H这个矩阵

它的逆乘以Go乘以u

也就是说我们整个闭环系统的传递函数矩阵

等于I加上Go乘以H的逆再乘以Go

这样我们就可以看出来

这个G是怎样依赖于我们的

开环传递函数矩阵和我们的反馈增益矩阵

这样一个表达式

当我们把这个表达式跟我们以前熟悉的单变量的传递函数

它在反馈情况下的这个框图化简规则相对照的话

我们一看

这其实是我们在多变量的一个推广

那么进一步我们还可以考虑

如果我们的反馈也带有一个动态的一个反馈的子系统

那么不是一个固定的增益矩阵H

而是一个∑2是由A2 B2 C2所决定的时候

我们就有图4所示的这样一个动态反馈系统的框图

在这里边我们也可以分析一下信号之间的关系

也就是说

我们的开环对象

它的也就是∑1的这个输入

其实是一个误差信号

这个误差信号是u减去y2

是第二个子系统的输出

那么我们整个系统的输出

既等于第一个子系统的输出y1

也等于第二个子系统

也就是反馈通道的输入

有了这些关系以后

我们可以也是假设给定了子系统的状态空间表达式

它由系数矩阵所决定的

以及我们的信号之间的关系

我们就可以列写出来

整个这个大的动态系统的状态空间表达式

其中在我们确定状态变量的时候

也是一样跟我们前边

就是我们假设这个组合系统

它的状态变量是由两个子系统状态变量

拼接构成的这个组合的列向量x1和x2构成的

我们分别列写x1和x2的变化速率

怎样依赖于x1 x2和u

我们可以得到这样的表达式

对于第一个开环对象的状态变量来说

x1点等于A1x1加上B1乘以u

但是这个地方我们的u实际上是u1

也就是这个误差

也就是u减去y

这个y是由这部分来决定的

y2来决定的

那么我们的x2一点

就是说我们的反馈通道这个系统呢

实际上它的x2一点

等于A2x2加上B2乘以u2

而u2其实就是我们的输出y

所以y1那么就是C1乘以x1就是我们的y1

所以得到这样一个

关于状态分量的状态空间表达式

我们的输出y等于C1乘以x1

这个跟我们前面常数反馈的时候是一致的

我们如果把这样一个式子

整理成矩阵向量的形式

我们就可以列写整个系统的状态空间表达式

在这个里边

我们就得到了相应的这样一个矩阵形式

大家也可以看到

这样一个依赖于两个子系统的依赖关系

我们再经过推导

可以得出关于整个系统的传递函数矩阵

是怎么样依赖于两个子系统的传递函数矩阵G1G2的

我们也是类似于常数反馈的时候

我们经过一系列 推导的话

大家可以看到

这个时候在我们假设I加上G1乘G2

这个矩阵是非奇异的时候

那么我们就可以得出来

y等于I加上G1乘G2的逆乘以G1u

这个时候我们就可以证明

闭环的传递函数矩阵G

它等于I加上G1乘以G2的逆乘以G1

这样一个表达式

我们通过不同的推导

我们实际上还有另外一种等价的G(s)的表达式

这也是正确的

它是可以写成G1乘以 I加G2乘G1的逆

那么这个表达式这两个实际上

都可以出来相同的G(s)

我们在本小节跟大家探讨了

如果一个系统它比较复杂

是由子系统通过串并联或者反馈的形式

构成了一个复合系统

也就是我们把它称为组合系统的时候

这个大的系统怎么通过它的子系统的模型

也就是它的状态空间表达式

或者传递函数矩阵

得到整个系统的模型

也就是它的状态空间表达式和传递函数矩阵

在这儿我们可以看到

就是一般而言

我们通过子系统的参数矩阵

得到整个系统的状态空间表达式的时候

这个依赖关系还是相对要复杂一些

而串并联的情况下

传递函数矩阵

它的组合关系就相对要简单一些

比如说我们的并联的时候

就是两个子系统的传递函数矩阵之和

那么串联的时候是两个传递函数矩阵的乘积

另外我们说

还有一点就是需要再总结一下的就是

我们这个复合系统

大的系统 列写它的状态空间表达式的时候

它的状态变量的选取呢

是有一个默认的约定

就是我们约定是由子系统的状态向量

进行拼接构成了大的系统的状态变量

而不是按照别的方式排列或者选取

否则的话我们在这儿推导的这个形式

肯定会发生变化