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下面我们给大家继续介绍

这个系统的等价变换及其应用

我们在这儿给大家介绍的是

首先是一个特征向量的概念

然后通过这个特征向量我们跟大家展示出来

如何把一个给定的状态空间表达式

化为约当标准型的形式

那我们来看就是前面我们定义了

这个给定系统矩阵A的特征值

也就是通过λI-A这个行列式等于0

这个特征方程来求取

接下来我们看就是我们对于一个

给定的矩阵A的话

和它一个相应的特征值λi

我们说如果有一个n维的向量Pi

这个非零的Pi向量

我们这儿有约定

它满足A乘以Pi等于λi乘以Pi

那么我们就把这样一个Pi

称为是矩阵A的对应于特征值λi的

一个特征向量

这个地方没有写但是特别要强调一下

就是说Pi一定不能是0向量

因为0向量代进去肯定满足

但是它是个平凡的情况

那我们从这个地方可以看出来

它的意义在于这个Pi这个特征向量

它经过A乘上去

其实就是用A来做一个线性变换以后

它得到的结果是一个λi乘以Pi

也就是保持方向不变

仅仅是增加了这个λi这么多个倍数

是一个数值的倍数

这就是特征向量

所以我们说对应于一个给定的λi

可能有很多的特征向量

比如说我们有如果Pi一定是满足的话

那我们2乘以Pi 两边乘上去也满足

所以特征向量肯定是不唯一的

但是我们属于不同的这个λi的话

也有不同的方向

那么这些方向分别对应于各自的这个特征值

下边我们就利用这个特征向量

来提出一种方法

这种方法可以把给定的某一个

状态空间的表达式化成一种标准型

也就是我们称为的约当标准型它的方法

那么这个具体的转换就是

恰恰是通过我们的代数等价变换

就是我们引入变换矩阵T

而这个T到底怎么构造呢

我们分成两种情况

对于一个矩阵如果它所有的特征值

一共n个 如果是n阶的

那么两两不同的话

那我们可以把它化成一个对角的标准型

如果它有重根

就是它的某个特征值是多重的

这个时候我们化成一般形式的约当标准型

下面我们就分别来看一下

当这个状态矩阵A是没有重根

也就是所有n个根相互不同的时候

我们通过引入这个变换阵

这个变换阵T就是分别对应于

这个λ1到λn

这n个不同的特征值的特征向量

而使得我们变化出来的这个结果

经过这个变换T逆乘以x

得到这个新的状态向量x_hat

那么在这个x_hat底下

就变成了一个对角化的这个A矩阵的形式

而对角线上恰恰是我们的n个不同的这个特征值

那么我们在这儿说了

这个T的构造实际上取决于我们的

属于这个λ1到λn的这个n个不同的特征向量

下边我们就具体地来看一下

为什么我们这么做

一定是能够达到这个目的

也就是个证明过程

首先我们就令这个Pi是A属于λi的

一个特征值的特征向量

那么我们这个地方把它的分量写出来

就是这个大的Pi它实际上是一个n维的列向量

那么因为这个λ1到λn是两两不同的

所以我们根据线性代数的基本结论

属于不同特征值的这个特征向量

它们一定是线性无关的

也就是说如果我们把这些P1到Pn

构成一个分块的一个矩阵T

它正好是一个n乘n的一个矩阵的话

那么我们可以知道就是说T矩阵

一定是一个非奇异矩阵

而我们如果把这个T就选取为

我们说的这个需要的这个变换矩阵的话

那我们下边就来看

我们这样的一个选取是合适的

使得我们的A_hat变换出来以后

是一个对角型的形式

那我们下边就来验证这一点

就是说根据这个特征向量的关系式

也就是说每一个Pi

它都满足A乘以Pi等于λi乘以Pi

那我们就有下边这个关系

就是A乘以T这个矩阵以后

乘出来的结果就是A乘以这个分块矩阵

P1到Pn

那么这个分别是n列

每一列是一个特征向量

我们可以按照分块矩阵相乘

就把A给乘进去

得到了AP1一直到APn这个新的分块矩阵

那我们又知道APi等于λPi

所以我们就说λ1P1一直到λnPn代入

就得到这样一个形式

而这个形式我们可以把它重新

写成这样一个P1到Pn这个分块矩阵 对吧

乘以这个λ1到λn这样一个对角矩阵

我们可以验证这样一个乘积的关系

恰好就等于这个λ1P1一直到λnPn

这样的话我们就看到了

我们又把这个P1到Pn

重新写回到T去

就得到了T乘以λ1一直到λn的

这个对角矩阵

这样我们就证明了一个关系

就是说我们的A乘以T

等于T乘以这个对角矩阵

那么我们如果把T

因为它本身是个非奇异矩阵

逆到这个左侧来

我们就知道了是T逆乘以AT

它等于这个对角矩阵

那么这样的话我们就看到

刚才提到的这个关系

我们验证了这个A_hat

这个实际上是A_hat

那么这个A_hat就具有一个对角矩阵的形式

我们恰恰就在这儿这个位置

我们也可以知道这个B

有相应的T逆乘以B的变化

但是我们重要的是我们这个地方

就是想通过一个坐标变换阵

合适的T的选取

能够把A变成一个对角形式

我们达到了目的

我们在这给大家一个例子大家可以看

这是一个三阶的系统

这个A矩阵不是一个对角形式

那我们希望对它通过一个坐标变换

转化成为一个具有对角形式的

这样一个这个状态方程

那我们怎么做呢

我们先是把A的特征值给求出来

我们对这个A进行了行列式的计算

得到了它是这样一个经过

当然这个经过因式分解

我们得到了它是(λ-2)(λ+1)(λ-1)

所以我们知道这个A

它恰好有三个不同的特征值

由此我们知道我们可以应用前边的结果

我们就分别求取λ1 λ2 λ3所对应的

三个P1 P2 P3的三个特征向量

那我们计算过程是这样 对吧

我们首先把这个λi给代进去

我们对于这个λ1来说

我们得到这样一个关系

我们得到了这个λ1不是2嘛

所以我们要求这个P1和这个A相乘

等于2乘以P1

这样我们用待定系数法

我们分别列写两边相等的关系

这个时候就知道我们实际上

这个p21 p31这两个分量是0

然后p11是任意常数

当然这里边我们这个K不能取零

否则就是平凡的结果

那我们就取一个最简单的就取1

这样我们就求出来

属于λ1=2这个特征值的特征向量就是P1

它就是1 0 0

同理我们可以类似的方法可以计算出来

这个P2就是属于λ2的这个特征值的

这个特征向量可以取为1 0 1的形式

P3取为0 1 -1的形式

这样我们就可以知道T就是组成一个分块

我们把这三个列向量拼在一起

1 0 0 1 0 1和0 1 -1

那么我们知道这是一个非奇异矩阵

求它的逆

这样我们就可以去求变换以后的A_hat

它就是T逆乘以A乘以T

代入计算结果得到恰好是一个对角矩阵

这个上边是λ1 λ2和λ3

那我们的b做T逆乘以b的相应的变换

得到这样一个计算结果

这样我们就通过坐标变换转化出来了

在新的坐标底下

这个x_hat的导数

等于这样一个对角矩阵乘以x_hat

加上输入矩阵乘以u

那我们接下来再讨论一下

稍微复杂一点的情况

就是我们的A矩阵它是有重根的

也就是说它有多重的这个

在同一个点上有多重的这个特征值

这样的话就不能够

一般来说我们就不能够

把它直接化成一个对角型

那我们化出来的标准形式是什么呢

最简单的就是一个约当标准型

在这个里边我们假设A有k个不同的特征值

其中每一个λj的重数是mj重的

这个时候我们知道mj加在一起

它应该等于n

因为总共是n个特征值

那么这个时候我们说

我们的目标是找一个变换阵

通过变换以后

A_hat具有一个分块对角的形式

而每一块是具有一个

这个λj作为主对角线

然后次对角线上方有一个全1的

这样的一个辅对角线

然后其他位置全是0的

这样一个约当块的形式

那我们就说经过坐标变换

可以转化成为一个约当标准型这个

由约当块作为对角线形式的

这样一个约当标准型的形式

那这个时候我们涉及到问题

就变成了怎么样选取这个变换阵

当然呢因为我们前面对于对角化的时候

选取是比较直接的

就是把所有特征向量求出来

然后拼装成我们的变换阵

现在的情况复杂的

就体现在我们的特征值由于重复了以后

就无法得到n个线性无关的特征向量了

这个时候就不能套用原来方法

我们需要做一定的推广

怎么样推广

我们就是要求所谓的特征向量

以及广义特征向量

那我们就是对一个给定的特征值

它是m重的话

我们是首先先求出属于它的一个特征向量

比如说这个P1

那么其余的P2一直到Pm1我们怎么求呢

这都我们将来都把它称为

这是个广义特征向量

那我们就是由这个AT=TA_hat

将这个式子展开

我们去决定到底这些广义特征向量

P1到Pm1怎么来定

我们从这儿看出来

我们列出来这个式子

是要让这个A乘以这个T

等于这个T乘以我们的这个约当标准型的形式

那我们在这个里头关注的是

第一个约当块

假设我们对应的这个P2一直到Pm1

是我们的这个m1-1个这个待定的广义特征向量

那我们就把两边进行比较

我们分别给它乘开

就得到了这个AP2等于P1加上λ1乘以P2

这个地方是从我们第一个这个

就是第二行开始

我们可以得到这个式子

就是P2 A乘以P2以后

乘出来的结果就等于这边

那么我们得到的这个关系

那我们AP2等于P1加上λ1P2的话

我们可以看出来

如果我们已经把这个P1这个特征向量

给求出来了

那我就可以利用这个信息

和我的A和λ1的信息我去确定这个P2

通过这个式子可以解出P2来

同理我们解出P2以后

根据这个P3和A相乘

等于这个P2加上λ1乘以P3这个关系

我们进而确定P3

依此类推我们可以最后把Pm1给求出来

这样的话我们就通过待定系数的方法

分析出来就是我们这些广义特征向量

是如何确定的

有了我们的这个广义特征向量以后

那我们总共这个加上我们已知的

这个P1这个特征向量

我们这样的话前面我们展示的这个

求解的过程

就是这样一个从P1已知以后

逐渐确定P2一直到Pm1的过程

那么就可以确定出来

这个m1个独立的这个向量

这里头是有一个特征向量

加上这个m1-1个这个广义特征向量

这是对于一个约当块

也就是对于一个重的特征值

那我们对每一个有重根的特征值

都如此进行这个推导

那么可以得出所有的广义特征向量

那么这样我们就可以组成完整的

n个这个相互独立的特征向量

加上广义特征向量的组合

就可以组成我们的非奇异的变换阵T

好 那我们前面给大家介绍的

就是我们怎么样通过这个系统的坐标变换

来引入这个特征向量

进而基于特征向量

来把一个一般形式的状态空间模型

给转化成这个具有对角型

或者是这种分块对角

也就是约当型的这样的一个标准形式的

状态空间描述

那么有了这样一个形式

我们对于便于我们开展理论分析

和我们的设计都有好处

我们后边会提到