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大家可能已经注意到了

就是我们通过前边

关于能控性和能观性的概念介绍

以及它的判据

已经注意到一个什么现象呢

就是在能控性和能观性之间

似乎存在着某种联系

那么这种联系到底是什么呢

我们在这来探讨一下

其实我们说这个地方

它们之间的关系

就是服从一个所谓的

叫对偶性原理

我们具体来看一下

对偶性原理的基本内容

就是对偶性原理它是从

能控性和能观性的讨论当中

注意到了判据之间的这种相似性

揭示这种内在的联系

也就是对偶性原理

最早它是由Kalman提出

其中之间的内在联系

并且对它进行了详细的分析 指出来呢

就是控制理论两个基本问题

控制问题和估计问题之间

也存在着由此引出的一个内在联系

我们观察一下具体的现象

就是最直观的

我们是从比较

能控性和能观性判据条件出发

它们在数学上有一种对偶性

连续时间为例

我们看一下下边的表格

就是完全能控和完全能观的条件

在这里边我们大家所熟悉的

就是已经介绍了

代数判据在这个表格里边

我们关注的是Qk和Qg分别是否满秩

来推断系统是否状态完全能控

还是状态完全能观

那么这两个关系里边

在我们的能控性矩阵里

它是由B输入矩阵和

状态矩阵A组成的

扁的分块矩阵

而Qg就是能观性矩阵

它是由输出矩阵和状态矩阵构成的

高的这样一个分块矩阵来判断

那么我们没介绍

但是实际上也可以证明的

就是在教材当中或者其他的内容上

大家可以自己查到的

就是其他一些能控性的判据

比如说我们是一个行线性独立的

这样一个判据

是用状态转移矩阵

乘上BT和CT乘以状态转移矩阵

列线性独立的这样一个判据

那么这里边都是推广到了

对于线性时变系统

所以它的输入和输出

可能都依赖于时间的

还有就是我们说

Kalman矩阵的判据

也比较复杂一点

那我们在这也给大家稍微提一下

就是这样定义的

一个时变的矩阵

是否对tα是满秩的

这样一个能观性Kalman矩阵

它是一个矩阵的积分

这里边用到了状态转移矩阵

以及输出矩阵积分

这是状态转移矩阵

和输入矩阵积分的情况

那么这两个判据都是比较

更深入学习理论的时候

大家会接触到的判据

它是在理论分析当中用得更多

我们说做工程上的计算

还是我们的代数判据用得更多

我们再对比一下

解耦标准型的两个判据

也是非常明显

就是我们看到

能控性条件和能观性条件

分别对应的是A和B的这个

是否B有全零行的问题

和C是否有全零列的问题

分别对应能控能观

然后约当标准型的里边

我们是看约当块和输入矩阵最后一行

或者是约当块和输出矩阵首列

是否有对应关系

那么这些判据我们都看到

有一种对称性

或者说对偶性的

这样的一个摆列的条件

那么具体的我们说

描述对偶性原理的

学术内涵的话

我们还是要通过形势化的方法

我们首先定义两个系统的对偶性

我们有一个系统∑1

它是这样一组参数

都是1为下标的

这样一个状态方程和输出方程

那么系统2是由2来做下标的

这样一个系统

状态方程和输出方程

如果说这两个系统

它满足第二个系统A2的这个

系统矩阵A是第一个系统矩阵A的转秩

而第二个系统的输入矩阵

恰好是第一个系统输出矩阵的转秩

而第二个系统的输出矩阵

等于第一个系统输入矩阵的转秩

那么我们就把这两个系统

称为互为对偶的系统

我们就由此来定义了

对偶系统的概念

我们说对偶性原理

它揭示的是什么

就是下面这个结论

按照满足对偶性的两个系统

也就是参数满足转秩关系的

这样的一个情况

我们说第一个系统的能控性

等价于第二个系统的能观性

第一个系统的能观性

等价于第二个系统的能控性

那么换而言之呢

就是如果第一个系统状态完全能控

或者完全能观

那么第二个系统

就是状态完全能观

或者状态完全能控的

这里边我们要对

对偶性原理的正确性

做一个分析

也就是我们要看一下

它是如何来证明

那个证明我们还是从

代数判据来出发

我们看一下

第二个系统的能控性

在判断能控性的时候

我们显然是要把它分块写出来

而这个时候如果它是秩为n

也就是它是满秩的时候

我们要把状态方程代进去

这个时候要用到系数之间的对偶关系

我们就会有第二个系统的

它的这个能控性

要用第一个系统的参数来表示

那就是B2

因为它等于C1的转秩

所以我们就把这一块

整个替换为C1的转秩

而A2 B2就是由A1的转秩

乘以C1的转秩来构成

那么这样以此类推

我们把A2的n减一次方

乘以B2

替换成了A1的转秩的n减一次方

乘以C1转秩

那么整个这个东西

我们如果分析一下

尤其是把矩阵的转秩

和求幂运算进行交换顺序

那我们就会整理出来一个结果

就是这样得到的一个分块矩阵

可以看作是我们的

系统1的能观性矩阵

再进行转秩得到的Qk2

那么这样的话

我们就说明了

就是∑1的能观性和

能观性矩阵就是满秩的话

那么和第二个矩阵的能控性的满秩

是完全相一致的

这里边原因就是

Qk2和Qg1是互为转秩

所以我们就说

当我们知道∑2能控的时候

就可以导出∑1是能观的

同样道理我们也可以证明

就是说就是当∑2是能观的时候

∑1是可控的这样一个结论

下面我们就从系统的对偶性来

另外一个就是框图的角度来看一下

对偶系统之间的联系

那我们说这是∑1

如果用方框图来表示

输入矩阵就是输入1

输入u1通过输入矩阵进入这个系统

然后系统状态反馈构成反馈信号

然后进行叠加

共同构成了A和B

决定了它的状态方程

就是输入如何决定状态1

然后状态1通过输出方程

经过一个输出矩阵得到输出

就是y1这个输出

那么对偶系统就是∑2了

它的方框图

那么这个方框图

我们说根据系数之间的关系

我们看到底下这样一个

对偶的方框图

这个对偶方框图是什么呢

就是我们第二个系统的输入是

进来以后是B2

但是它是C1转秩

那么经过这样一个状态反馈

然后出来的输出矩阵是

C2是B1转秩

那么得到第二个系统的输出

这是从

完全是从

∑2的参数的角度来看的

但是我们如果对照一下

这两个框图之间关系呢

发现它有一个对偶关系

这个对偶关系怎么样

从框图上看

就是我们把所有的

每个方块直接改变方向

我们把方块的输入输出进行颠倒

然后求一下转秩

那么就是说这直接变成了输入

然后就是从左向右

变成了从右向左

然后这个地方

状态积分器也是一样

反馈的这个方块也是转了方向

这个地方输入也变成了输出

然后我们把求和结点

直接变成一个分支结点

然后我们把分支结点

变成一个球和结点

这样我们就完整的从一个

∑1框图直接得到了∑2的框图

然后我们把输入输出信号

进行交换顺序

这样我们就看到了

从方框图上

对偶系统的一个直观的概念

就是框图的一个变换

就是把所有的箭头改方向

然后把所有的方块输入输出颠倒

然后把所有的分支结点

变成求和结点

把求和结点变成分支结点

就是从一个系统就得到了

它的对偶系统的方框图

那么在这个里边

我们把它的增益求一个转秩

通过比较这两个图

我们也看到了这样一个直观的关系

下边我们来看一下对偶系统的

传递函数矩阵之间的关系

我们从状态方程

就是系数和传递函数之间的对应关系

我们知道就是G等于C(SI-A)的逆 乘以B

那我们分别对G1和G2

就这两个系统的传递函数进行计算

我们首先按照定义代进去

然后根据系数之间的对应关系

我们可以验证

就是我们的G2S

实际上等于G1S的转秩

可见对偶系统

传递函数矩阵之间

也互为转秩关系

那么对偶系统的

特征根方程和特征值之间

我们说很容易证明

它是具有相同的

特征方程和相同的特征值

这里边我们也可以直接

从特征方程的定义出发

这是SI-A的行列式

那么两个系统分别计算

然后通过转秩关系

我们可以看到就是行列式

因为它和矩阵的转秩是

行列式可以交换顺序

然后它本身也是不变的

从上述的分析我们看到

一个系统的能观性问题

和它的对偶系统的

能控性问题等价

那么系统的能控性问题

和对偶系统的能观性问题等价

这就是我们所谓的对偶性原理

所以我们实际上把能控性和能观性

通过对偶关系

它其实可以归结为只是能控性

或者只是能观性的问题的研究

不必要把能控性和能观性

当做完全不相干的两件事来做

这样的话也建立起来了

控制理论当中两类问题

就是控制问题和观测问题

之间的内在联系

这也就是说

我们实际上可以把

状态的观测估计问题

和系统的控制问题

进行相互的转化

那么也就把最优控制问题

和最优估计问题

内在联系起来

使得它们可以作为

归结为同一类问题来进行处理

简化了我们要解决问题的类型

我们在这里给大家

从直观的观察

能控性能观性的判据之间的这种

对应关系的角度

引入了对偶系统的概念

继而阐述了就是一个系统

它的能控性跟它对偶系统的能观性等价

它的能观性

跟对偶系统的能控性等价

这样一个对偶性原理

那么这个对偶性原理

应该说是在现在控制理论里头

非常重要的一个基本原理

那么它也把能控性 能观性

这样两类问题的研究

归结为了一类问题的研究

使得我们的理论大大的简化