当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第9周：抗外扰控制（1） > 2. 对外扰的完全不变性 > 视频
同学们好 我们继续学习第六单元抗外扰控制
上次课我们学习了外模型和对外扰不变性的概念
这次课我们学习第二节对外扰的完全不变性
这一节我们分成两个小节
第一小节状态对外扰的完全不变性
第二小节输出对外扰的完全不变性
首先我们学习第一小节状态对外扰的完全不变性
考虑系统2-1
当u等于0时
x的表达式可以写成这样
其中L负这是一个拉斯反变换的符号
把预解矩阵乘进去 则x(t)可以写成两部分
一部分是由初始状态产生的自由运动
另外一部分是由外扰产生的强迫运动
我们要求外扰产生的强迫运动恒等于0
则要求w(0)前面的这个传递函数矩阵要恒等于0
而预解矩阵是非奇异的
所以我们要求N是等于0的
我们要求状态对于任意的初始值都趋近于0
这样我们也要求A是渐近稳定的
如果N不等于0或者A不稳定
我们考虑如下控制律
它包含状态反馈和外扰的顺馈
把这个控制律代到刚才的系统描述中去
则得到如下闭环系统2-4
其中AL等于A-BFx NL等于N-BFw
我们来看一下闭环系统的框图
黑色部分是受控对象的描述
红色部分是控制律的描述
其中包括状态反馈和外扰的顺馈
好 我们回到变换系统的描述
我们利用状态反馈将A矩阵改造为AL等于A-BFx
我们通过希望选取Fx来保证闭环系统的稳定性
我们加入了顺馈 将N改造成NL它等于N-BFw
我们希望选取Fw使得NL等于0来抵消外扰的影响
那么这样的控制器是否存在
我们是否能找到控制器的增益矩阵Fx Fw
那么下面这个定理给出了结论
定理2-1 对于系统2-1 采用控制律2-3
可实现状态对外扰完全不变性的充要条件是
A B可镇定 并且rankB等于rank B N
这个条件也称为匹配条件
好 A B可镇定这个条件是显然的
下面我们来说明一下匹配条件
为了实现完全不变性我们要NL是等于0的
那么显然N等于BFw成立的F成立的充要条件
是N等于range(B)
也就是说N的列要能够用B的线性组合来描述
显然这等价于匹配条件
好 我们来讨论一下输出对外扰的完全不变性
我们考虑系统2-6 依据前面相同的方法
我们可以证明当u等于0时
e完全不受扰动w的影响的充要条件是
A渐近稳定 传递函数矩阵C预解矩阵乘上N
再加上D 应该等于0
也就是说w到e的传递函数矩阵要恒等于0
好 我们说这个传递函数矩阵等于0
等价于2-7式成立 我们来说明一下
首先预解矩阵其中包含有s
当这个s趋近于无穷大的时候
C乘上预解矩阵乘上N
这个传递函数矩阵它会趋近于0的
所以这个传递函数 整个传递函数等于0
则首先要求D是等于0的
好 下面我们来说明
这个C乘上预解矩阵乘上N等于0
它等价于C乘N等于0 C乘AN等于0等等
根据前面我们学过的知识
我们知道预解矩阵可以写成A矩阵的多项式的形式
这里的分母是A的特征多项式
P0(s) P1(s)等等 它都是s的多项式
Pi(s)是阶次为i的 s的首一多项式
也就是Pi(s)它是阶次为i的
首项系数为一的多项式
好 在这个式子两边
也就是在这个预解矩阵两边各乘上C矩阵和N矩阵
则我们得到这样一个表达式
刚才我们说它要等于0
好 我们看一下分母多项式是n次的
分子多项式矩阵它的最高次在Pn-1这一项
它的阶次比分母低一次
好 我们再等于0这个等式两边各乘上一个s
当s充分大的时候
这个等号的左边渐近的收敛于CN
因此我们要求CN这个矩阵是要等于0的
好 类似我们处理C AN和其他的矩阵
好 我们可以得到C乘以A的i次幂乘上N是等于0的
i可以等于0 1 2 一直到n-1
归纳起来就是C乘上N 乘上AN
下面这些矩阵都要等于0
好 归纳起来我们得到的结论是
对于这样一个系统2-6 当u是等于0的时候
输出完全不受外扰影响
也就是说这个系统的输出对外扰
具有完全不变性的充要条件是
A矩阵是渐近稳定的 D矩阵是等于0的
C乘上N 乘上AN等等都要等于0
好 如果这些条件不成立
我们考虑采用控制律2-8
我们把这个控制律代到受控系统描述里面去
我们就得到闭环系统的描述2-9
这里的AL NL和前面状态的情况是一样的
好 关于这个闭环系统我们有如下结论
定理2-2
对于系统2-6采用控制律2-8
实现输出对外扰完全不变性的充要条件是
AL渐近稳定 D等于0
并且C乘上NL 乘上ALNL等等它都要等于0
好 我们来看一个例子
这个例子是一个二阶系统 A矩阵是稳定的
A B是完全可控的 N矩阵不等于0 D矩阵等于0
好 对这个系统我们来讨论下面两个问题
它能否实现状态或者输出对外扰的完全不变性
我们首先来讨论状态对外扰不变性
由于N矩阵不等于0 这个系统不加控制的话
它的状态对外扰是不具备完全不变性的
好 加入控制之后
是否能实现状态对外扰的完全不变性
我们要检查两个条件
一 A B是否可镇定
第二匹配条件是否成立
好 刚才我们说过它是完全可控系统
所以可镇定能够满足
好 匹配条件我们说它是不成立的
我们把B矩阵和N矩阵抄在这儿来
我们可以看到N矩阵不是B矩阵的线性组合
B矩阵有个0 N矩阵有个-5
那么匹配条件是不成立的
也就是说BFw等于N这个方程关于Fw是无解的
因此这个系统即使加入控制
系统也不能实现状态对外扰的完全不变性
好 我们现在来考虑输出对外扰的完全不变性
开环系统是稳定的 CN相乘等于0
但是CAN不等于0
所以不加控制这个系统的输出对外扰
是不具有完全不变性
下面我们来考虑仅仅加入状态反馈改造A
看看能不能实现对外扰的完全不变性
好 我们加入状态反馈
首先要保证闭环系统是渐近稳定的
就是AL要是渐近稳定矩阵
同时要满足CAL乘上N是等于0的
CN等于0 这个不受A的影响
好 我们来考虑一下控制器的设计
状态反馈矩阵我们假设为f1 f2
这是一个单输入系统
我们来计算C乘上这个闭环的A矩阵乘上N
可以得到这样一个表达式 我们要求它等于0
这是对f1 f2的一个等式约数
好 我们计算闭环系统的多项式
可以得到这样的s平方加上这样一个二次的多项式
好 对于二阶系统那么它的特征根
都有负实部的条件是所有的系数都是同号的
因此为了保证闭环系统稳定
我们要求3+f2是大于0的
还要求20+5f1+3f2也要大于0的
那么等式a和不等式组b构成了对F选取的约数
也就是说我们选取F要满足这些条件
显然满足这些条件的解不唯一
比如我们选取f1等于0 由a式可以得到f2等于15
把0和15代到B里面去
可以检验它们这两个不等式都是成立的
所以这是其中的一个解
好 我们得到结论说我们可以寻找到一个控制律
它的增益 状态反馈的增益是0 15
由它可以实现输出对外扰的完全不变性
好 我们来检验一下
我们来计算一下从外扰到输出的传递函数矩阵
把C A B F N都代进来
好 括号里面整理一下
计算一下逆矩阵得到这样一个表达式
再把后面的-50乘进去 再和2 1乘一下确实等于0
好 我们可以看到传递函数确实等于0
并且闭环系统的特征值是-5和-3
因此满足完全不变性的要求
好 我们对本节的内容做个总结
对这样一个系统我们介绍了如下结论
第一当u等于0的时候
状态x对外扰具有完全不变性的充要条件是
A是渐近稳定的 并且N是等于0的
第二如果采用控制律状态反馈外扰顺馈
可实现状态对外扰完全不变性的充要条件是
A B是可镇定的 并且匹配条件成立
好 对这样一个系统 有输出的系统
我们也证明了两个结论
分别是当u等于0时
输出对外扰实现完全不变性的充要条件
和采用控制律实现输出对外扰
完全不变性的充要条件
从本节给出的结论可以看出
实现状态完全不变性和输出完全不变性的条件
都是比较苛刻的 实际中一般不容易满足
在后面的学习中主要讨论
静态不变性的分析和设计问题
好 这次课就到这儿
再见
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
--视频
-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
--视频
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
--视频
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
--视频
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
--视频
-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
--视频
-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质--作业
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法--作业
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念--作业
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）--作业
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-5. 对偶性原理
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-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解--作业
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现--作业
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-1.状态反馈和输出反馈
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-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响--作业
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-6. 状态空间中系统的镇定问题--作业
-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
