当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第11周：李雅普诺夫稳定性（1） > 1. 基本概念 > 视频
好 同学们好
我们开始学习第七单元
李雅普诺夫稳定性分析
大家还记得学过哪些稳定性的分析方法
或者判据吗
奈奎斯特判据 劳斯判据
这些是单输入 单输出线性定常系统
稳定性的判据
那非线性系统呢
对于具有单个非线性环节的系统
利用描述函数法可以判断其稳定性
这些方法不能分析一般的
非线性系统的稳定性
本单元我们学习李雅普诺夫
稳定性理论的基本知识
整个单元分为五节课
第一节课我们学习一些基本概念
这一节分为两个小节
第一小节标量函数的定号性
定理1 我们考虑标量函数V(x)
如果当x等于0时
这个函数的值等于0
对于任意非0的x
V(x)是大于0
这时候我们称这个函数是正定的
如果V(x)是大于等于0
那么称其为半正定
如果-V(x)是正定的
则我们称V(x)是负定的
如果-V(x)是半正定的
这时候我们称它是半负定的
我们将正定和半正定
或者负定和半负定
统称为非负定或非正定
无任何定号性的称为不定
好 我们这里说明两点
当x等于0时V一定要等于0
这是定号性的必要条件
在不引起混淆的时候
可直接用V(x)大于0表示正定
也就是说V(x)大于0
这里是隐含了一个要求
就是它必须过0
好 定号性可以是原点邻域上的
局部性质
如标量函数V(x)等于
这么一个性质
这样的一个函数
那么它在域
也就是在单位圆内
那么这个V(x)是负定的
那么它这是一个局部特性
那么x等于0
是在这个区域内部的
好 我们来看几个例子
这是在一个二维空间上
那么第一个我们可以看到
这是正定的
好 我们强调了这个空间的维数
如果是三维空间的话
那这个就不是正定的了
是个半正定的
好 还是在二维空间中
那么这个函数是半正定的
好 下面这个是负定的
好 这个是半负定的
好 这是因为是二维空间
如果x1等于0 x2可以等于任意值
它都会等于0 所以是半负定的
好 最后这个函数是不定的
好 下面我们来考虑二次型函数
x转置乘上Ax定号性
好 下面这些判据
我们是在线性代数里面是学过的
我们来复习一下
定理1实对称矩阵A是正定
或者半正定的
当且仅当所有特征值均大于0
或者大于等于0
定理2实对称矩阵A是正定或者半正定的
当且仅当所有的主子式均大于0
或者大于等于0
好 这是一个基于特征值的判定
还有一个是基于主子式的判据
好 还有一个是基于顺序主子式的
那么我们复习一下顺序主子式的定义
π1是一阶顺序主子式
π2是二阶 这是行列式的一个符号
好 这是三阶的
假设m是A的尾数
A是πn的矩阵
那么这是n阶的顺序主子式
好 那么我们有定理3
实对称矩阵A是正定的
当且仅当所有的顺序主子式
都是大于0的
是负定的 当且仅当-1的k次幂
乘以πk是大于0的
也就是说顺序主子式是正负相间隔的
也就是说先是负正 负正 这么下去
好 我们做两点说明
在判断矩阵A的正定性时
可以将主子式简化为顺序主子式
在判断矩阵A的半正定时
不可以将主子式
简化为顺序主子式
好 下面是一个例子
显然这个矩阵是不定的
但是它的顺序主子式是
一阶是大于0
二阶等于0
三阶也等于0
所以判断半正定的时候
不能简化为顺序主子式
好 第二小节李雅普诺夫稳定性
我们先来定义一个数学符号
这个z是m维实数空间上的向量
那么在这个z的左右两边
都加上两竖这么一个符号
那么它的定义是
它的每一个元的平方加起来开根号
我们把这个函数称之为z的2范数
定义4对于系统x一点等于ft
满足xe t等于0的状态
xe称作系统的平衡状态或者平衡点
注意这里的xe是个常数向量
是状态空间上的一个点
定义5若某一个平衡点附近
足够小的邻域内没有别的平衡点
则称它是孤立平衡点
我们来看几个例子
第一个例子
原点显然是它的平衡点
并且是唯一的平衡点
当然也是孤立平衡点
好 第二个系统
原点是一个平衡点
但不是唯一的
但所有的平衡点都是孤立的
第三个例子
x等于0是平衡点
但不是唯一的
x2等于0时 x1等于任何值都是平衡点
就是x2等于0 这条直线全是平衡点
所有的平衡点都不是孤立的
定义6假设xe是系统x一点
等于f(x)的孤立平衡状态
如果对任意给定的正实数ε
都存在δε大于0
使得从满足不等式
xe为圆心 δ为半径的
这个广义的球域内的
任意的初始状态出发的系统运动x(t)
都保持在以xe为中心
半径为ε的广义球域内
那么则称平衡状态xe是稳定的
是李雅普诺夫意义下稳定的
好 如果平衡状态xe
不满足上述稳定的条件
这个时候我们称平衡状态xe是不稳定的
好 这是李雅普诺夫稳定的一个定义
定义7如果平衡状态xe是稳定的
并且存在一个邻域
我们称之为吸引域
其内出发的运动都会渐近地收敛于xe
这时候我们称平衡状态xe
是渐近稳定的
如果xe是渐近稳定的
并且吸引域充满整个状态空间
这时候我们称平衡状态xe
是全局渐近稳定的
也称为大范围渐近稳定的
平衡状态唯一是全局渐近稳定的
必要条件
为什么
好 大家思考一下
这些图是李雅普诺夫稳定性的
示意性说明图
好 我们先看一下第一张图
好 这个坐标 这个原点是
这个平衡点xe
任意给定一个ε圆
它的圆心是xe 半径是ε
那么都存在一个δ圆
圆心是xe 半径是δ
这个圆内任意的初始状态
出发的运动都维持在
保持在这个ε圆内的话
这时候我们称它是稳定的
称它为李雅普诺夫稳定的
好 如果这个平衡状态xe
不仅仅是李雅普诺夫稳定的
而且它还存在一个邻域
从这个邻域内出发的运动
都会渐近的收敛于这个平衡点xe
这时候我们称它是渐近稳定的
好 如果这个平衡状态xe
不满足上述我们说的条件
那就说存在某个ε
我们无论选取怎样的δ
这里面都存在某一个状态
从这个状态出发的运动
都会运动到ε圆之外去的话
我们称之为不稳定的
好 我们总结一下这个小节的内容
我们学习了标量函数的定号性
包括正定性 负定性等
我们复习了二次型函数xTAx的定号性
有基于特征值的 主子式的
顺序主子式的判据
我们学习了平衡状态 孤立平衡状态
和平衡状态的稳定性
渐近稳定性 全局渐近稳定性
吸引域等概念
最后给大家留一个思考题
如果状态空间的坐标原点
是某一个系统的唯一的平衡点
并且从状态空间内
任何一点出发的运动
都会渐近地收敛于坐标原点的话
那么坐标原点是全局渐近稳定的 对吗
好 大家思考一下
这节课就到这
再见
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
--视频
-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
--视频
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质--作业
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法--作业
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念--作业
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念--作业
-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）--作业
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
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-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）--作业
-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）--作业
-5. 对偶性原理
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-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解--作业
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解--作业
-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型--作业
-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现--作业
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现--作业
-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题--作业
-1.状态反馈和输出反馈
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-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响--作业
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例--作业
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法--作业
-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-6. 状态空间中系统的镇定问题--作业
-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
