当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第6周：线性定常系统的综合（1） > 2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解 > Video
咱们继续来看这个结构分解
那么我们讲过按照能控性
对状态空间进行分解
这里会给大家介绍按照能观性
进行结构分解
并且进而介绍这个卡尔曼的结构分解定理
那么使得我们可以对整个状态空间
同时按照能控性和能观性进行分解
那我们会指出这个重要的结论
就是只有这个完全能控完全能观的部分
是由这个传递函数矩阵来完全表达的
那么其他的部分都是这个
对传递函数来说都是不能够反应的
那我们现在就来看具体的内容
假定我们有一个系统ABC
它是不完全能观的
这个时候它的能观性矩阵
它的秩就是小于n的 我们假设为r
那这个时候类似于我们讨论的
这个能控性分解
我们可以找到一个变换阵
使得在这个变换以后的这个新的坐标底下
也就是得到这个新的这个系统矩阵
它是一个下三角的这个分块矩阵
那么它的输入这个矩阵
是一个一般的分块矩阵
而它的输出矩阵是一个只有前r列
是这个非零的
而后边的这个n减r列是这个0的
这样一个分块的结构
我们说对于这样一个
按照能观性分解的系统
我们有一个能观子系统
那么就是由这个x1~前r个这个分量
构成的子系统
那么它的系数写在这个地方
那么这个系统它是完全能观的
而我们的这个按照能观性这个分解
得出来的子系统能观部分的子系统
它的传递函数跟我们给定的
这个原系统的传递函数是完全相等的
这里边我们就不再给出具体的分析
那么我们如果看一下这个能观性分解
这个框图的话就知道
就是我们的这个能观部分这个x1~
它所对应的这个系统呢
和输入输出都直接有连接关系
而我们的这个不能观部分
由x2~构成这个子系统
它的所有状态都是只接受这个输入信号
以及来自于x1~部分的这个
一个输入的影响
而对整个这个输出的信号没有任何贡献
那么这个时候我们就说对这个系统
做了一个这个能观性的分解
那么这个构造变换阵的方法它是这样的
就是我们首先也是计算一下
这个系统的这个能观性矩阵
并且把它的这个r个线性无关的行
作为这个变换阵的逆的前r行
那么并且在选其他n减r个与这个r行
线性无关的行来组成这个T逆的
另外n减r行
那么使得这个T逆这个矩阵
是一个满秩的矩阵
那么我们再通过对T逆求逆
可以求出T来 然后进行坐标变换
那么从整个这个过程大家可以看到
与这个能观性分解之间的
这样一个对偶关系
那么它是就是说我们在能控性里边
是分解出来是个上三角的这个A矩阵
在能观性里是个下三角的系统矩阵
然后我们在进行这个变换阵的选取的时候
我们一个是从能控性矩阵出发
另外一个是从能观性矩阵出发
都是选取其中这个r个线性无关的
这个行或者列
那我们下边也是通过一个例子来看一下
具体是怎么进行这个能观性分解
然后如何求取这个
一个给定系统的能观性子系统
那么这是我们给定的这个
具体的这个状态空间表达式
我们计算一下它的这个能观性矩阵的话
可以看出来是这样一个矩阵
我们对它进一步的求它的秩的话
会发现这是一个秩为2的
这样的一个系统
那么它是不完全能观的
按照我们前边的结论的话
它是一个这个能观性子系统的
状态变量数是2
所以我们在选取这个变换阵的时候
我们就令这个T逆它等于这样一个矩阵
而这个矩阵构成是由这个Qg
能观性矩阵的线性无关的前两行
我们把它放在这个地方
然后我们再凑一行呢
这一行不能再在能观性矩阵里去找了
而是要从rn当中
也就是三维空间当中去找一个
与前两行都线性无关的
那么我们找一个简单的方案的话
就是这样选0 0 1就可以
这个时候我们再对这个矩阵求逆
可以得到这个T矩阵
进而我们在这个新的坐标底下
去计算这个新的这个参数矩阵
我们可以得出如下的结论
那么从这个A矩阵的角度
我们可以看到这是一个下三角的分块矩阵
那么对应于能观部分是这样一个
二乘二的一个子矩阵
那么其他的这个包括输入和输出呢
也都进行了相应的分块
那么我们把这个A11 然后是B1和C1部分
给它提取出来组成的一个子系统
就是围绕着这个u 这个x1和这个y
这三个这个部分构成的这个子系统呢
我们就得到了
然后它就是这个原系统对应的一个
能观的子系统
进而我们就来考虑就是说
如果我们对这个星式
代表的就是我们ABC这个表达式
那么这样一个系统我们对它同时
进行状态的能控性和能观性的分解
那我们就有一个典型的结构定理
这是说什么呢
我们可以找到一个相似变换
就是坐标变换T
使得整个这个系统在新的坐标底下
它的这个ABC具有这样一个标准形式
那么我们首先是在这个新的坐标当中
就进行了一个划分
这个划分成的x1 x2 x3 x4
这四个部分
那么这四个部分
分别对应的分块矩阵的维数
也是我们可以从这个结构看得比较清楚
比如说这个A11~这一部分
它对应的就是我们的x1~这一部分的分量
那么还有这个类似的
我们可以看到它是一个大的
上三角的分块里头叠加了一个
在上三角当中有一个下三角的分块
在这个部分 在每一个部分
都有一个下三角的分块
然后我们的这个输入是一个大的
分成两大块的这样的一个形式
在这个输出部分我们分了四块
然后其中有两块为零
那么分别都对应的是x1 x2 x3 x4的
这个状态分量的一个相应的分块
那么我们这些x1到x4的这个状态
这样一个分解它分别对应的是
这个在能控能观性上是什么属性呢
我们说x1对应的是这个能控
并且能观的状态
那么x2对应是能控但是不能观的状态
x3是不能控但是能观的状态
而x4是既不能控 也不能观的状态
那么从框图上来看
我们就把这个系统分成了四个部分
就是我们从输入到输出
直接连接的只有这个x1这一部分
它就是A11 B1和C1构成的
这样一个子系统
这一部分是一个既能控又能观的子系统
而我们的这个x2对应的这部分的变量
它是一个这个只能控不能观的
然后x3对应的这部分呢
是只能观不能控的
它只有一个连接输出的部分
但是和输入没有任何的影响
也没有其他的变量能够影响
状态变量影响它
然后这个x4所对应的部分
是一个既不能控也不能观的部分
这就被称为这个线性系统的典型分解
也称为这个卡尔曼分解
那么在这里边我们有一个重要的定理
是什么呢
就是我们整个这个系统的传递函数
它仅仅取决于这个x1对应的这一部
这个既能控又能观的这个子系统
也就是说我们计算的话
也可以把整个的这个传输函数
归结为计算C1乘以sI减A11的逆乘以B1
那么我们从这儿也可以看出来呢
就是在整个这个进行了结构分解以后
我们会发现并不是所有的状态
都和输入和输出有直接的关联关系
有一部分状态只受输入影响
而不反映在输出部分
有一部分状态可能只能够
从输出进行推断
但是它并不受输入的控制
这样的话这种结构上的差异呢
就使得我们可以明显的了解到
就是我们的这个状态空间的这种模型
它远远丰富于这个
我们说只有输入和输出
这个关系的这样一个传递函数的
表达的这种外在的描述形式
它是一种能反映系统内部的一种
更全面的表达方式
好 我们到这儿呢
给大家介绍了这个结构分解定理
那么通过我们讨论这个能观性分解
再结合我们前边讨论的能控性分解
我们引入了这个
同时进行能控能观性分解的
这样一个基本的结果
我们也就是可以看到呢
整个在传递函数所反映出来的
这个系统的特性
仅仅是整个系统完整性质当中
那个既能控又能观部分的性质
而其他的那个或者不能控
或者不能观部分的性质
都不能够通过传递函数给捕捉到
那么这也在间接的给我们展示出来呢
就是这种状态空间模型
它的描述能力是要比这个传递函数
要更为这个全面的
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-2. 全维观测器的设计
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-5. 扰动量的观测
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-1. 基本概念
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-2. 对外扰的完全不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
