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我们接下来给大家介绍第三种

从模拟框图转换成状态空间描述的方法

这种方法相对于我们前边介绍过的

比如说串并联分解

比如说基于部分分式分解的方法

也有它的优点

就是我们可以处理比较复杂的

有理分式的这样的情况

而不需要进行它的特征值

或者是这个因式分解

那我们就来看一下

当这个系统阶次比较高

我们的传递函数是直接得到的

比如说我们通过实验的方法

可能辨识出来一个高阶的

这样的一个传递函数

那我们如果做因式分解确定零极点

比较困难的话

我们如何来进行这个

建立相应的传递函数状态空间描述

我们有一种方便的方法

就是利用这个积分器串加上常值反馈的方法

实际上我们在介绍状态空间这个模型的时候

直接从这个高阶微分方程

转换到状态空间模型的时候

已经介绍过这种方法

也就是我们把这个系统转化成

能控标准I型的形式

我们再看一下这个ppt上的

三阶微分方程的例子

它相应的传递函数是一个三阶的

这样一个有理分式

分子分母都是三阶的

我们在这个传递函数的层面

对它进行一下这个变换

首先把这个常数项提取出来

使得后边成为一个真的有理分式

那么这样的话就得到这样一个表达式

那么分子分母除以s的三次幂

我们得到这样一个s这个负的幂次的

一个组合的形式

分子分母都是这样

那么我们通过引入一个误差的信号

实际上这里边是我们的一个实现的中间步骤

那么我们这个e(s)我们令它等于

这个分母多项式分之一乘以一个u(s)

当然这里边是s的负的幂次

那么这个时候我们就可以看到

把这个e(s)写成u(s)

这个函数的形式的话

我们可以得到就是这个e(s)

等于负的a1

u(s)-a1e(s)s^-1

-a2e(s)s^-2

-a3e(s)s^-3

那么写成这样一个形式的时候

我们可以看到实际上天然地有一个输入

加上一个这个反馈的形式

而这个反馈的信号

它是通过一系列的s的负的幂次

那么这些负的幂次

在我们的物理上是可以实现

它都对应的是一些积分器

所以我们很自然地可以通过

我们这个图1所示的这种形式

得到我们的这个e(s)在这个位置

e(s)在这个位置

我们可以看到我们的u(s)

然后通过这个减去一个α1

乘以这个e(s)再乘以这个x3

是其中一个积分器的输出端

那我们三个积分器串联

就有三个这个状态变量

分别是每个积分器的输出端

那我们可以验证的是什么

就是在这个地方有一个e(s)的话

就符合我们刚才所讨论的这个

就是说从u(s)到e(s)的这样一个传递函数

它是这个部分

实际上我们实现了这样一个部分的结果

那我们实际上真正关心的系统

它是从u到y的这样一个传递函数

那么在这个传递函数的表达式当中

它还有一部分是这个

分子的这个多项式我们也要去实现

那么我们通过补充

就是从我们的u到各个状态之间

分别乘以相应的这个系数

再通过一个相加和的形式

能够把这个y(s)给组合出来

这样的一个实现方法

我们把它称为能控标准I型

而我们最早在介绍状态空间模型

从这个高阶微分方程建立的过程当中

也提到过这种实现方式

那么这两者其实是殊途同归

得到的是同一个这个状态空间表达式

那么这个状态空间表达式

大家一看也是一个非常熟悉的形式

就是x1一点等于x2 x2一点等于x3

x3一点是由高阶微分方程

直接通过系数给出的

那我们的y

当我们的输入有微分项的时候

其实是有一个依赖于x和u的

一个线性组合的形式

那么写成矩阵形式

这就是我们非常标准的能控标准I型

那我们在这个地方给大家看到的这个

建立这个状态空间模型的方法

不是从这个微分方程直接出发

而是从我们的传递函数

对它做了一个整理和变换

然后通过引入积分器串的形式

应该说这两者是等价的

那我们把这种方法也称为叫直接程序法

扩大到n维系统

就是我们这个大家所见到过的

这个能控标准I型

那么具有这样一个x.=Ax+bu

那么一个标准形式

上边我们这个A这个矩阵

它是具有一个特殊的形状

就是n-1阶的一个单位阵

底下再拼接我们这个分母多项式的这个系数

添个负号

然后我们的输入向量是个001的形式

我们的输出向量

是依赖于这个分子这个系数

作为它的一个输出的向量

再加上一个b0u

这个b0代表就是当我们的系统

是给的传递函数

如果是一个这个分子分母同阶的时候

它前头的一个增益

那么我们也讲过这种实现形式

把它称为能控标准I型

也称为能控规范型 第二可控规范型

那么我们还有其他的方法

也可以对同样一个传递函数

给它构造相应的

这样的一个状态空间表达式

那么这种方法构造出来的结果

称为能观标准II型

那么这里边也是从

对传递函数进行一个等价的变换的形式

导出相应的实现

那么我们看到用分子分母之间的关系

我们可以看到y(s)加上a1 s逆

乘以y(s)加上a2 s逆平方乘以y(s)

加上a3 s的负三次方乘以y(s)

它等于输入的一个组合

那么这个输入也是u(s)的拉氏变换

然后通过乘上s的负的幂次和系数组合而成

那么这种也是对分子分母同时除以s三次方

得到的一个形式

那么这样的一个目的

类似于我们前面直接程序法

它主要的是想通过在适当的位置引入积分器

而这个s分之一

就直接对应一个积分器

所以s负2对应两个积分器

或者串联的这样的一个形式

那我们进一步地整理

把这个根据前面这个式子

我们整理出来

y它等于b0u(s)加上

把两边的s的负一次方进行一个合并

那么合并同类项以后

前面有一个系数

这样的话我们这些系数

将来就是我们做反馈的时候

积分器串加上反馈的时候

所需要的信号的组合关系

就是这些系数

那我们可以看到

我们的能控标准II型

它的这个组织方式上

也是引入三个积分器

当然这个积分器个数

实际上依赖于系统的阶次的

我们对三个积分器串联

然后依次对它的积分器输出端

给它设置状态变量

然后我们可以通过

在输出的信号进行一个负反馈

然后输入的信号也进行这样的一个

相应的这个信号

在适当的位置引入一个增益和加和的形式

这相当于一个前馈

这样的一个组织形式

我们可以最终形成一个闭环系统

得到u和y之间的传递函数

恰好就满足我们给定的传递函数

那么这里边我们根据它的状态变量设置

写出相应的每一个状态变量的

这个时间的导数

依赖于x和u的组合

比如说我们以x1一点为例

那么x1实际上在这个位置

它的这个反馈

就是它的这个量决定于

我们这有一个u乘以b3直接进来

作为它的输入端

那这是x1一点在这

那么还有就是反馈信号

负a3反馈回来的是谁

一方面我们有x3自己的这个

x3输出端过来的一个信号

它里边包含了一部分

bu0的这个叠加的部分也有x3

也就是我们这个y

作为这两部分求和以后

回来的这个增益的输入

那么类似的我们可以得到

x2一点和x3一点

它的这个状态方程的分量的形式

那我们可以看到这个输出

就直接是我们刚才提到的b0u加上x3

这样我们就完整地建立起来了

对于传递函数所相应的一个

三阶的状态空间的表达式

那我们把它写成一个

重新整理合并同类项以后

写成一个标准的矩阵向量的形式的话

我们可以看到在这个地方

它的A矩阵有点类似于

我们前面提到的能控标准I型

但是还是有区别的

它有一个二乘二的这样的一个单位阵

出现在整个这个矩阵的左下方

那么它最左侧的

最右侧的这样一个系数

这一列的系数是跟我们说

分母多项式的系数是对应的

那么它的输入向量不是001

而是一个由分子系数决定的这样一个向量

而它的输出的这个向量

是一个001的形式

那么我们把这样的一种

从传递函数矩阵的模拟框图

到整个状态空间模型

能观标准II型的

能观标准II型模型实现的方法

称为多层积分法

那么扩展到n阶系统

可以得到这样一个一般的实现形式

那么在这给大家展示一下

那么我们把它称为能观标准II型

通常能控标准I型

和这提到的能观标准II型

在实际对一个复杂的传递函数

构造状态空间模型的时候它用得比较多

主要的原因一个是

就是它不需要经过因式分解

去求零极点这些比较复杂的运算

特别是高阶系统

这个分解起来还是比较复杂的

它可以直接根据分子分母的这些系数

就直接构造出来状态空间的模型

其中包含了这些系数

简单地做代数运算就可以得到

所以它是用得比较多的

那我们在这通过一个例子

给大家展示一下

就是给定的一个传递函数如下

那么是一个三阶的系统

对于它我们可以用

我们的能控标准I

或者能观标准II型来实现

我们唯一要做的

其实因为它是一个比较直接的对应关系

就是把相应的系数确定下来

比如说a1 a2 a3

这三个系数分别对应了

我们说分母的这三个系数

然后我们的这个分子的系数

在这个地方我们从b0开始

因为它分子只有一阶

所以它这个b0等于0

这个b1也等于0

而只有b2 b3是有系数的

分别是两个3

那么在这我们就直接按照前面的公式

可以套用进来

能控标准I型的话

就是这有一个二乘二的单位阵

底下是这三个系数

就是关于分子的

分母的这个系数

然后这是一个001输入向量

然后输出反映的是这个b

也就是我们分子的这些系数

那么是330的形式

类似的我们对于能观标准II型

实现出来的话

就是分母的这些系数

在出现在了最右侧这一列

然后这个输入是一个反映

分子的这个系数的这样一个向量

然后输出是这个向量是001的形式

那么我们到这就跟大家讲解了

就是对于一般的一个分子分母

都是两个比较复杂的多项式的时候

如何不通过因式分解

不借助于这些

化为更简单的单元的形式

来直接构造一个状态空间表达式

那么应该说这种方法

它是比较通用的

而且把这些系数如果直接对应到

我们的状态空间模型的

作为参数的话

还有一个很大的好处

就是说它可以能够反映出来

如果这里边带有我们的一些设计参数

比如说我们以后反馈

如果待定这些参数的话

能够直接看出来

这些参数对我们未来的

就是说闭环系统

它有哪些影响

这考察起来都比较方便