当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第3周：线性系统状态方程的解 > 5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法 > 视频
好 现在我们就来探讨一下
跟我们本节学习特别相关的
就是状态转移矩阵如何进行计算
我们有多种的途径和方法
我们也稍微谈一些不同方法的特点
下面我们就依次来看一下不同的方法
状态转移矩阵是我们
应该说求自由解
包括整个对线性定常系统进行分析的时候
一个核心的问题
我们通过状态方程的解的表达式
已经很清晰的看到这一点
不光是决定我们的自由解
对于我们的强迫项的求解
也是和状态转移矩阵要进行卷积
所以我们很重要的一个问题
就是如何来计算Φ(t)或者e^At
我们这些方法下边介绍的话
也是依据我们对状态转移矩阵的基本性质分析
而得到的
那我们第一个方法也是最直观的方法
就是我们要利用e^At的原始的定义
也就是说我们用级数展开法
那我们把e^At展开
这是它的定义
那我们就依次的可以逐项的进行计算
这个时候如果我们计算出来
单位阵当然不用算
我们有一个At
把它算出来以后
我们计算这A平方项
那我们要在原来的基础上
我们计算At然后给它乘上个At
那我们怎么计算A3次方
我们是把三个A再乘一遍吗
还是说我们其实可以利用我们前面计算出来的
A平方的结果
当然一般我们是这样的一个递推的计算过程
我们实际上是要记录前面已经计算的结果
所以这在计算的时候也是有一定的技巧
不过我们说这个方法
它是一个比较慢的方法
就是即使是手算的时候
我们如果A很简单的话
一般来说
我们也不太容易求得我们希望的一个闭合的表达式
也就是由一个解析的式子给出的结果
除非我们像
对它性质分析的时候
我们看到有一些
比如说对角线的情况可能比较容易
或者是约当块的时候
那么我们如果直接去按照定义去计算这些A的幂次
那么得到的一般来说我们只能做有限项的计算
而到一定程度我们把高阶项给它忽略掉
那么这样的话不是一个解析的结果
那么这种计算方法有什么优势呢
其实它一般不便于手算
我们可以在计算机上进行迭代
它的编程比较简单一些
但是相对来说
可能在收敛速度上还是有一些问题
不过它不失为一种简便的计算机编程的方法
因为我们知道
如果我们的A如果是一个随便很任意的情况
那么有的时候要去高阶的时候
如果要求它的相似变换
可能也未必很容易
所以我们说这也是作为我们
解析求解一种替代的方法
就是编程来计算
那么在这儿我们给个例子
只是为了让大家看一下
就是这个手算有多么的麻烦
这么简单的一个矩阵
我们求它的e^At
我们直接按定义代进去以后
我们可以看第一项单位阵没问题
At也比较简单
然后我们就把这个A进行平方了
这样的话
我们最后发现
我们把这平方项依次给它展开若干项以后
我们发现这些系数其实规律不大
很难猜出来它的闭合形式到底是什么
所以这个地方给我们展示直接方法
其实不便于手算
最好你可以用计算机去编程来算
然后做一个近似
那我们还有一种方法其实是最便于手算的
就是对于一些低阶的简单的情况
我们最推荐的就是直接利用拉氏反变换的方法求e^At
那么这个方法
其实在我们介绍状态方程的
非齐次形式求解的时候已经用到了
就是用到了(sI-A)的逆
这个矩阵其实它的反变换就是e^At
我们可以证明这一点
那么这里边我们把它
因为它的重要性我们把它e^At的拉氏变换
也就是(sI-A)的逆
称为预解矩阵
也就是你先把它计算出来
后边求解就容易了
那这个时候我们可以套用(sI-A)的逆
可以套用余子式的求逆的一个通用的表达式
这是最常用的计算e^At的方法
然后我们得到了(sI-A)的逆以后
我们做拉氏反变换
然后我们前边的例子也给大家展示过
就是可以利用部分分式分解
对于一些低阶的系统
我们很容易来计算出来
就说相应的状态转移矩阵
或者说我们要的时间响应x(t)
那我们还有一种方法
就是说利用状态转移矩阵的性质
也就是我们所探讨的性质六七八九这几个性质
我们实际上是把A变换成对角型
或者是约当标准型来计算e^At
这个是有希望给我们得到一个解析的结果
它这个计算里头最主要的一个步骤
其实是让我们要对A进行一个特征值的分析
而且要求取相应的变换阵
我们实际上要用到
相应的像特征向量和广义特征向量的情形
我们由我们前面分析的状态转移矩阵性质七
对于一个对角型的话
我们实际上可以利用这样一个反变换的形式
得到它的结果
在这儿我们给一个例子
这个例子里边我们可以计算出来
它的特征多项式
λ平方加上3λ+2
我们可以求出两个不同的特征值来
然后我们通过进一步的求取两个
分别属于λ1λ2的特征向量
可以构成我们的变换阵
这个P1我们求出来就是1 -1
那么P2我们求出来是1 -2
这样我们构成梯矩阵就是P1和P2构成的分块的方阵
再求出它的逆
我们就可以把变换阵求出来
然后我们通过把t和t逆分别乘到这两个
分别乘到我们这个对角的形式上来
这个对角形式就是
对角形的以两个特征值为对角线元素的矩阵
构成的矩阵指数函数
那么就是e^-t和e^-2t
对应这两个特征值
我们乘开以后得到我们要的e^At的结果
当A有重根的时候
我们就是要利用性质九
也就是针对一般的约当标准型的情况
就是需要分析它的约当块
那么这个时候
我们也是同样把它的各个约当块求出来
然后通过反变换
这个变换的时候用到的矩阵
就不再是原来的特征向量了
特征向量不够
我们就对每个约当块
要进一步的求出相应的广义特征值
这个在我们以前讨论
就是利用系统的代数等价变换
去把一个一般的状态方程化成约当标准型的时候
那个时候我们也谈到过这个变换的过程
当然大家如果线性代数熟悉的话
应该也是学过相应的知识
那么我们在这儿可以再复习一下
当然总的思路就是我们套用e^Jt
也就是我们对约当块
我们有固定格式的收敛的解析结果
那我们再用反变换得到一般矩阵的
状态转移矩阵的计算结果
这里边就是需要我们用到相似变换阵它的求取
我们在这儿给大家一个例子
这是一个带有重根的
那么这个重根我们发现求出来的结果
它是一个λ+1的平方
也就是-1是它的一个二重的一个根
那么它得到的约当标准型
是包含一个2×2的一个约当块
和一个单根-4
那我们利用这个性质八
可以给出来约当块所对应的状态转移矩阵
它是在e^Jt形式上
我们这两块分别来求
那么单根就比较简单
就直接把这个乘上t放在肩膀上e的肩膀上
这边是我们的一个二阶的
也就是我们在次对角线上有个t
主对角线上都是1
然后整体乘上
每一项都乘上e^-t
我们求这个变换阵的过程在这儿省略掉了
我们利用性质九进行了进一步的推算
大家有兴趣可以自己做一做这道题目
可以把这个结果在这儿对比一下
总之我们最后的结果求出来的话
大家可以看到
对于有重根的情况
我们会出现
除了我们的e^-t
这个e^λt之外
我们还有e^t e^λt这种项
这种项都代表我们在这个系统当中
会有重根的情况
在它的状态转移矩阵里边
我们在这儿给大家介绍了
基于我们对状态转移矩阵的性质 分析
如何有效的进行矩形状态转移的计算
我们也展示了几种方法并且对它进行了对比
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-1.状态反馈和输出反馈
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
