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现在我们来讨论

这个最小实现的问题

最小实现其实是非常关键的

一个关于这个状态空间建模的问题

我们都知道传递函数矩阵

或者我们说单变量的时候

我们一个传递函数

我们可以给它构造不同阶次的

不同形式的这样的这个状态空间模型

然后我们对一个状态空间模型

还可以经过坐标变换化成不同的形式

所以这个时候其实我们就会碰到

一个我们以前在传递函数里头

不大关注的问题

就是这个描述的这个唯一性的问题

但是在我们的状态空间模型当中

确实会对于同一个

具有相同输入输出特性的

这样的一个系统来说

它的实现可能有五花八门各种各样

所以我们就来讨论这个最小实现问题

那么这里边重要的是要解决

首先第一就是这个最小实现这个概念

什么叫最小 什么意义下的最小

其次是确定说

在什么途径 用什么方法来获得

关于一个给定的系统

它的这个传递函数矩阵的最小实现

那我们就来讨论这个问题

咱们仔细来看一下

前边我们很多的分析当中都指出

一个传递函数矩阵给定以后

可以构造它的这个状态空间模型

这个方法很多

比如说我们基于这个能控性实现

给大家介绍了

这个能控标准型向多变量的一个推广

总之我们是有办法把它实现出来

然后使得我们构造的状态空间模型

它的传递函数矩阵

恰好等于给定的这个传递函数矩阵

但是我们也看到

不管是能控性实现也好能观性实现也好

实际上这个实现它不唯一

那么有的是完全能控的实现

但是只能说保证它是能控

但是并不能保证它一定是能观的

有的是能观的这个实现

它只能保证能观性 不能保证它的能控性

而且这个实现的阶次它还有很大的差异

那么比如说我们多变量的实现当中

这个m就是我们系统的这个输出的个数

而r是系统输入的个数

简单来说我们的能控性实现

这个能控的实现

它的这个阶次是这个l个分块

然后每一块是r乘r的

那么它总的阶次就是rl乘以rl

而它的能观性实现

它是也是分了m块

当然它每一块是一个m乘m的

当然我们的r和m不相等的时候

那显然这个整个这个系统A的

里边用到的变量个数它就是不一样的

尽管它的这个状态空间的

这个所对应的传递函数矩阵

都是这个G(s)

所以这个就碰到了一个问题

就是说我们到底应该选取哪一个

这个状态空间的这个模型

来对应于我们给定的这个G(s)

到底哪个好

我们说这个好坏的标准有很多

但是其中有一个就是从这个系统

真正工程实现的角度

那么它的成本

或者它的这个简单性的角度

那我们有一个很自然的度量

就是它的阶数

就是你到底用多少个状态

为什么说实现当中接触越少越好

因为我们都知道

当我们去构造一个状态空间模型的时候

这个最终我们对应于框图的时候

实际上这个框图当中

这个积分器的个数

就是我们要去实现这个系统的阶次

那么我们从框图的角度会发现

就是你要把一个一般的高阶的

传递函数或者传递函数矩阵

给它变成一个状态空间模型的过程

也恰好对应于我们用若干个积分器

加上反馈 加上一些这个放大器

组成的这样一个一般性的一个框图

那么这样的一个框图的

这个构造过程当中呢

我们说这个实现也是用一些基本模块

去构造整个这个G(s)的这样一个过程

而这个基本模块呢

它在工程上是一个可重复使用的

并且具有标准的结构

那我们说在实现过程当中

它无非就是我们做一个组合的方式

基本的搭积木的模块是积分器

和这个放大器以及这个加法和这个分支

这样一些标准的器件

就可以组成任意复杂的

我们说这个高阶的系统

那么这样的一个角度来看

我们显然这个积分器的个数越少越好

那么所以我们说就对于一个

这个G(s)它所对应的

所有的这个实现当中

那个阶数最少的实现

我们就给它一个特别的称呼

就是称为是最小实现

当然最小实现也未必只是唯一的

但是我们关心的这个阶次

有一个最低的下限 这个阶次是唯一的

所以我们下边就来考虑

首先我们要确定这个最小的这个实现

它怎么来去定它的阶次

什么条件下它是

另外一个就是怎么来寻找的问题

好 我们在这儿给大家

一个非常重要的结论

也是一个判断的准则

就是对一个给定的这个系统

你构造这个状态空间模型出来以后

你怎么知道这个状态空间模型

已经是阶次最低的呢

也就是这个状态空间模型

所对应的G(s)给定的情况下

那我怎么知道我这个状态空间模型

它是一个用的积分器个数最少的实现呢

我们这儿的这个判据就是说

它是最小实现的一个充要条件

是这个系统的状态空间模型

同时满足完全能控和完全能观

这样两个条件

那么这样的话就是说实际上

就是我们对于一个给定的G(s)

甭管用什么方法去构造

反正你如果得到了一个

对应于这个传递函数的一个状态空间模型

你马上就可以首先做一个判断

这个判断就是说

能够根据我这个模型的参数矩阵

就马上就可以定下来

不需要去参考说它的G(s)是什么样子的

那么这个结论非常重要

我们下边来看一下

它为什么这个是正确的

首先我们来看看它的必要性

必要性就是说为什么

这个必须是同时能控能观

不能控或者不能观行不行

那我们来用一个反证法

假设这个G(s)它的一个最小实现是ABC

那么它的阶次是n了

但是这个ABC 它要么是不能控的

要么是不能观的

我们说它能不能有资格作为最小

我们来看看又导出什么样的矛盾

我们在假设这个完全能控能观的部分

它的阶次是n’

那么对于一个ABC来说

我们前面讲过一个结构分解定理

也就是说我们完全可以

按照它的能控性能观性

对它做一个结构上分解

分解出四部分来

我们首先就是说对这样一个ABC

我们找出它的能控能观部分

假设这个n’是低于n的

为什么是这样呢

因为我们说了反过来的假设是说

我们说你不满足必要条件嘛

那你就是说要么不能控 要么不能观

这样我们至少在这个x1到x4

这个分解的过程当中

这个2到3的

2 3 4这里头至少有一块不是空的

那么这样的话我们就说

你的这个对应于这个传递函数的

这个能控能观部分呢

它还是一个低于这个

我们给定的这个阶次的情况

那么根据我们这个结构分解定理

那么完全能控能观的部分

构成的这个子系统

它的传递函数是跟我们说ABC

你这个不分解的这个原系统是完全一致的

但是我们说在这儿就是说

它的阶次会少一些

所以这个时候我们就导出一个矛盾

为什么呢

因为我又找到了一个子系统

它传递函数仍然是G(s)

但是它阶次低于我们给定的ABC的阶次

这样的话你假定这个ABC

它是最小实现这件事就有矛盾了

所以我们说这个能控能观

这个是任何一个状态空间表达式

它是这个G(s)最小实现的一个必要条件

就是这个条件肯定得满足

下边我们再看这个条件充分不充分

也就是说你如果已知它能控能观了

是不是就一定能保证

再找不到更小的实现了

我们仍然用这个反证法

假设我们已经是这个完全能控能观了

但不是最小实现

那个最小实现到底是什么样呢

我们把它假设出来

那么它这个实现是一个带’的实现

就是说也等于G(s)它的传递函数

但是它的阶次低于我们现在给定的这个

既能控又能观的系统的阶次

那么既然这两者都是实现

显然我们说它的这个y(t)

在给定的这个u(t)的输入底下

那么得到的这个y(t)

在任意时刻应该是完全相等的

它的这个强制分量

就是我们忽略这个初始条件

因为传递函数相同的话

那么它做拉氏反变换的时候

那么对应的这个输入 输出的

强制分量的这部分关系

零初值的这个响应就是一致的

所以我们就会有y(t)

既等于C

这个e的At减τ乘以B u(τ) dτ

在零到t积分

也等于带’的这三个参数

构成的这个状态响应

然后再输出的表现

那么这两条曲线是完全一致的

分别按照两个参数计算出来一致

并且是对于任意的u(τ)都是成立的

由于这个u(τ)选择的任意性

我们可以推出来

就是被积的这部分量

就是被积的这部分量

它在任何时刻也都是相等的

否则的话没法保证对任意的u

这个始终是相同的

那我们根据两边相等的这个式子

那么我们呢

由于它对任意的t减τ都成立

所以我们就对两边进行多次的微分

并且在这个微分

在t减τ等于0处进行比较

那我们就得到了这样的一个关系

就是我们的C乘以B呢

等于C’乘以B’

这是根据第一次微分得到的

这个地方如果你t减τ等于0了

那就这一项就是单位阵了对吧

那我们就依次的

可以得到这样的一个表达式

那么高阶的这个也是相同的

那么既然是这样

我们就可以写成

我们就可以把它写成两边

进行一下分解以后

写成C CA一直到CA的n减1次方

乘以B AB一直到A的n减1次方B

这实际上就是我们说

在A B C这个系统里的

能观性矩阵乘以能控性矩阵

然后相应的我们有C'

得到的这个维数一样的

类似于这个带’的系统的

能观性矩阵

和能控性矩阵相乘

不过这要说明的是

它不是严格意义上的

因为我们这一直幂次到了n次

而不是n’的次

但是没有关系

我们看到这两个矩阵是相等的

另外我们知道我们原系统

这个∑它是一个既能控又能观的

也就是说这个能观性矩阵

和能控性矩阵

分别是列满秩和行满秩的

这样我们就知道

这两个矩阵相乘

得出来这个大的矩阵呢

它本身是一个满秩的矩阵

而且它的秩就是这个n

那么由于这两边相等

所以右边这个矩阵

它的秩也应该是n

但是我们知道这个

n’是小于n的

这个时候就有问题了

为什么呢

因为我们知道带'的

这个系统它是

这个系统的能观性矩阵

在向下延续

乘出来更多的这个矩阵呢

它的秩是不会超过n’的

也就是说任何一个系统

它的能观性矩阵

以及往上呢

多出来这些分块

一定是线性相关于前边C’

C’A’一直到C’乘以A’的n’减一次幂

这个线性相关的这样一个关系

同样这个能控性部分

也是有相关的依赖关系

就是这边的秩是不会超过n’的

这样我们就产生一个矛盾

就是由于n’小于n

使得这个等式不可能成立

也就是说这两个不可能同时都是

同一个G(s)的状态空间表达式

所以这个矛盾是怎么引起的呢

是因为我们假设满足

能控能观性条件

这个系统之外

还有一个阶次更低的

这样一个实现

这就导出了矛盾

由此我们证明了A B C

就是这个系统的最小实现

这样的话我们也说明了

最小实现它这个维数是唯一的

那么其次我们要给出这样的结论

就是说对于一个给定的

传递函数矩阵

它的任意两个

最小实现之间

必然是代数等价的

这就说明了

尽管系统的最小实现不唯一

但是它是一个广义的唯一性

也就是除去一个坐标变换之后

它是唯一的

这个结论证明起来比较复杂

我们在这就不给出了

第三条性质就是说

G(s)的实现非唯一性

说明了仅仅从未知结构的

输入输出特性

也就是我们仅仅从一个

系统的外部特性

只是看它的输入u

怎么引起输出y的响应呢

比如说仅仅是从G(s)出发

我们实际上可以构造出来

无穷多个在外特性上一致的

这样的假象的结构

而它之间是不存在代数等价关系

甚至连维数都不一样

我们要注意

代数等价的系统

这个维数一定是相同的

就是状态变量

因为它要做非奇异变换

那它的个数一定是相同的

从而就是说

我们仅仅根据G(s)

是没有办法完成确定

这个系统的内部结构的

这就是一个我们说

从这个构造的角度看

就是这个实现问题的话

这个系统的结构是不确定的

那么这个原理突出地说明了

用y特性去描述一个

系统的结构的局限性

就是它把这个内部结构

这部分是忽略掉了

而且是无法反应的

那么这样的话也说明了

状态空间描述

这种方法它对系统的分析

是更加深入 更加全面的

最后我们在这再提一下

就是最小实现的构造方法

前边我们说了那么多

是说给定一个状态空间模型

我们怎么样来判断

它是不是已经最小了

这个条件就是

是不是同时满足能控和能观

但是如果我们

比如说我们用一个

传递函数矩阵的

能控性的实现方法

构造了一个比较大的一个

rl乘rl维的

这样一个A的矩阵出来

我们怎么知道这样一个实现

它到底是不是

是不是已经保证是最小的呢

我们如果想得到它最小实现

我们什么途径呢

在这我们就给出来两种方法

一种就是直接求最小实现

比如说一个现成的方法

我们在这就不展开了

那么还有就是一个

也是一个常规的方法

就是我先不追求实现的最小性

我先就给它构造一个实现出来

比如说我们前面说的能控的实现

或者能观的实现

然后我们再从完全能控

或者完全能观的这个系统出发

比如说我构造它的一个

能控实现出来了

我起码保证能控性

那么我们再怎么办呢

我们再对它进行结构分解

把它的能观部分

再给它分离出来

作为一个能观性分解的时候

把它的能观子系统分解出来

一个能控系统

再分解出它的能观部分

就得到了最小实现

这个是我们的

结构分解定理所保证的

那么这里边比如说

这个Mayne方法

就是这样一个思路

我们先构造一个

完全能控的实现出来

像我们前边给出的这个步骤

第二步我们就从这里边

提取出来它的缺失的那一部分

缺失保证的部分

把它的能控能观性或者能控性

子系统给求出来

这样的话我们保留了子系统

然后代上输入 输出这个矩阵

就也能够得到

传递函数矩阵的最小实现

好 我们在本节给大家讨论了

最小实现的条件

以及构造最小实现的一般思路

应该说我们对于状态空间模型

对应于一个多输入 多输出系统的

最小实现的构造过程

还是要相对于单变量要复杂一些

那么单变量的时候

我们怎么去构造最小实现呢

其实就是说

只要我们保证给定的传递函数

上下分子分母是已经互秩了

就是对它进行约分以后

我们直接构造一个

它的能控性实现出来

就是比如说能控标准型出来以后

我们就能够保证它同时是能观的

那么这个时候就很方便

得到最小实现了

但是如果说我们的这个

给定的传递函数没有进行化简

而是分子分母当中包含着

冗余的公因子的时候

我们说无论你是构造

它能控标准型

还是能观标准型

它仍然还是没办法保证

实现的最小性

这里边我们就不再展开讨论了