视频在线视频

下面我们讲第五章状态观测器

状态观测器是现代控制理论当中的

一个重要的内容 也是一个主要的方法

我们现在主要讲它的问题的提法

和状态观测器的这个设计方法

前面我们第四章当中讲到了状态反馈

以及它的构成的计算的设计方法

我们说状态反馈是现代控制理论当中

分析设计线性系统的一个重要的方法

但是它有一个条件

也就是要求系统的状态变量可以直接量测

然后反馈到输入端

那么在实际系统当中有些系统的内部的状态变量x

它并不能被直接测量出来

那么这样构成的状态反馈就有困难了

那同学们可能会问在经典控制理论当中

它怎么不会提这种观测器的问题

那我们知道经典控制理论它描述的是

输出输入的这个关系

它直接把输出信号反馈到输入端来构成反馈

所以经典控制理论并不存在这样一个观测的问题

因为它用可以量测到的输出来进行反馈

因此我们可以想到能否利用系统可测的这些量

来构造出状态变量呢

也就是可测的输入信号和输出信号

来构造出我们未

不能测量出来的状态变量

那么我们这一章就主要讨论这样一个问题

如果原来系统输入输出是可以直接量测的

那么我们就可以构造另外一个系统

这个系统以原系统的输入和输出作为

这个新的系统的一个输入

把状态重新构造出来

也就是说系统的输出是这个估计出来

或者重构出来的状态

那么这样构造的系统我们就称之为状态观测器

那我们看这个图我们简单就按这个图的意思

就是说如果原系统ABC

其中的状态变量x不能直接利用

不能直接量测来构成反馈

那么我们就可以把系统可测量的u和y

作为新构造出来的一个系统它的输入

那么输出就是我们带估计的状态我们称之为x^

然后我们来看这个问题的提法

给定系统ABC 如果原系统x不能够被量测

那么我们利用原系统可以量测的输入输出

作为输入信号

将状态重新构造出来

得到的输出信号x^在一定的指标意义下

和原系统ABC的状态变量x等价

那么这样构造的系统∑g我们就称之为状态观测器

其中这个x^我们称之为重构状态或者估计状态

另外我们说这样一个系统

是在一定的性能指标前提下x^和x来等价

那么通常这样一个等价性能指标

采用这样渐近等价的指标

那么也就是如果我们定义x~等于x减x^的话

我们称之为这个x~是状态观测误差

那么要求x~随着时间趋于0

这样一个渐近性的性能等价指标

那么也就是说状态观测器

是在这样一个性能指标的前提下

使得x^尽量趋近于x

这就是状态观测器的问题的一个提法

所以从这个意义讲状态观测器也是一个设计问题

或者叫系统的综合问题

那我们来看状态观测器的一些基本的概念

如果说给定的系统ABC它的空间表达式

该系统是一个完全能观的系统

那么也就是输入u和输出y是可以直接量测的

那么我们就可以在这个系统能观测的前提条件下

我们就可以来进一步分析x怎么去构造

首先我们来看一个简单的思路

如果我们把输出方程y等于Cx 两边对时间求导

我们就可以写出y导数等于Cx导数

然后把状态方程代进去以后就等于CAx加CBu

那我们写成y导数减去CBu等于CAx

那么如果我们连续对输出方程进一步求导数

比如求n减1次的导数

就可以整理出这样多个的等式

就是y的二阶导数和CA方x

那y的n减1次导数和u的n减2次导数等等

等于CAn减1乘以x

如果我们把输出方程y等Cx再写出来放在一起

我们一起我们可以看出来

这一系列方程

n个方程当中

方程的左边都是关于u和y以及u的各阶导数

和y的各阶导数的信息

放在右边都是Cx CAx一直到C的A的n减1乘以x

那么我们可以看出实际上这个方程

放在一起写成矩阵的形式的话我们就会发现

方程右边实际上就变成了Qgx

方程的左边是由y u和y各阶导数

u的各阶导数构成的组合的信息

当然我们说如果一个系统完全能观

也就是Qg矩阵可逆 它是满秩的

那么这个方程就是有解的

那么也就是由Qg可以直接写出x的解析解

那么也就说明状态向量是可以用xu和y的

以及他们各阶导数的信息估计出来

那么由这个表达式我们就可以知道

系统在完全能观的条件下

可以利用输入输出信息来估计状态

但是这种方案仅仅是一个理论存在的可能性

在实际应用当中由于它大量引入了输入信号

和输出信号的高阶微分信号

必然会给系统带来一系列的高频的干扰

从而影响这估计器的输出

所以这种方案并没有实用价值

但是它在理论上是可以证明系统

只要系统是完全能观的

那么状态就可以用它的输入和输出来估计

那我们刚才分析知道由于刚才这个方案当中

由于观测器当中含有了大量的微分环节

在设计的观测器应该不含有微分器

尽量多采用积分器的形式来构造

那么我们一种简单的思路就是说

如果系统ABC参数是确定已知的

那么我们就可以按照原来的系统方式

我们设计出一个相同的结构模型

也就是x^导数等于Ax^加Bu

由于我们相同的AB系数矩阵

就可以构造出一个观测器

那么这样一个观测器我们称之为开环状态估计器

开环状态估计器相当于是说对一个原系统来讲

原来的系统x这个分量状态向量不可量测

那么它的系数矩阵ABC是明确已知的

那么我们就可以构造出一个相同的模型

在相同的输入u的情况下我们得到x^

那我们来看看这个x^和原系统的x之间的关系

这就是开环状态估计器

如果我们考察它们之间的x^和x之间的状态误差

我们就可以写出这样的表达式

x减x^导数等于A乘以x减x^

如果说这样两个系统的初始状态x0和x0^

如果把它写成 记为这样两个初始状态的话

带入到这个方程

由第二章当中我们讲到的状态方程的解

我们就可以解出x(t)减x^(t)

等于e的At乘以x0减少x0^

那么如果说估计器的初始状态x0^

等于原系统的初始状态x0

那么我们就可以得到x(t)等于x^(t)

那么也就是说表明x^是可以完全复现

原系统的状态x

但是我们这里说它也只是在理论上

存在这样一个可能

因为要满足这个条件x0等于x0^

由于x0本身就不可量测

所以它x0在理论上讲是很难实际真正知道的

所以说当x0不等于x0^的时候

如果系统ABC是稳定的

ABC是稳定的

那么也就是说A的特征值都是有负实部

那么也就可以按照这个方程的解

我们就可以知道x减x^的它的误差会随着时间趋于0

那么就满足了这个估计器的 状态观测器的要求

也说明了x^不断的逼近x

但是如果ABC是一个不稳定的系统那就麻烦

就是说这个误差的趋于0的性能指标就达不到

那么这个方案就不能实现了

所以这也是开环状态估计器存在的一个问题

而且另外一个方面由于参数ABC是模型参数

不准确的话

那么就会带来一定的误差

另外系统也会存在各种噪声和干扰

那么就会导致这个开环状态估计器存在着严重的问题

在实际使用当中也很难去真正的去使用

那么为了解决这样一个问题

我们可以利用反馈的思路重新构造一个新的系统

我们可以把可量测的输出信号y

以及我们估计出来的输出信号y^

y^就可以由x^乘以C就可得到

那么我们可以知道由y和y^之间的这个差y~

我们说它是一个输出跟踪误差

如果我们把输出跟踪误差这个信息

导入到观测器当中去来不断的修正

使得这个y~的信号趋于0

这样的话我们就可以使得这个输出

在输出误差趋于0的情况下 状态误差也会趋于0

那么这里就利用了状态反馈这样一个思路

把y~的信号通过矩阵M反馈到状态观测器当中去

这里我们说为了突出负反馈的这个思路

我们把状态反馈的输出反馈这个矩阵M前面

我们加了一个负号 称之为负反馈的形式

那么这样我们就得到了状态反馈观测器它的方程

x^导数等于Ax加Bu减My~

这就是这个状态观测器的状态方程

那如果我们对模型再进一步去推导

我们就可以得到另外一种形式的观测器的方程

我们说y~等于y减y^等于y减Cx^

我们代入这个方程

我们就可以看出进一步写出

x^导数等于A加MC乘以x^加上Bu减去My

这个方程就可以看出这是观测器的方程当中

x^是观测器的状态分量

那么u和y这里面就作为这个观测器的两个输入

前面有两个系数矩阵

而且是y的信号是通过负M的矩阵

代入到了这个状态观测器当中去

另外我们也非常关注这个状态误差量x~

我们就可以导出x~的导数等于x的导数减去x^导数

我们进一步推导以后就会发现

它就等于A加MC乘以x~

那么由这样的表达式我们就可以看出

只要我们适当的选择M矩阵

使得A加MC的特征值都具有负实部的话

那么这个状态误差 观测误差x~就等于x(t)减x^

那么它也就会随着时间趋于0

随着时间的推进它会逐渐趋于0

那么这样就满足了状态观测器的性能指标的要求

那进一步说明只要原系统是完全能观的

那我们总可以按照要求来配置观测器的极点

就是A加MC的极点 使得状态观测误差x~

能够按照我们指定的要求衰减速度

然后让它衰减到0

那么我们称这样一种观测器称之为全维观测器

称为全维护观测器

是因为x^它是把所有的x都进行了估计

所以说我们叫全维观测器

它的结构特点就是仿照了原系统构造一个新的系统

再加上反馈矩阵M

那么我们这里说的是一个系统是完全能观的时候

总是可以达到要求的

第三章我们也知道如果一个系统不完全能观

那我们总是可以把它按照能观性进行结构分解

得到ABC这样一个形式

那么A阵是A11和A22两部分 A22是不能观的部分

因为它对应的这个C是全是零矩阵

那么其中x1是能观测的状态部分

假设它维数是n1

x2是不能观的部分 维数是n减n1

那么我们知道同样我们按照状态观测器的方程

x导等于A加MC x^加上Bu减My

那么如果我们同样把M也分成两部分

按照这个分解结构分解的形式分成上下两部分

M1和M2

那我们代入到这个x~导数

等于A加MC乘以x~这个方程当中

我们就可以进一步导出x导等于A加Ax

那么这个变成了A11加上M1C1

但是A22这一部分仍然没有被M矩阵进行改变

那么也就是说只要适当选择M1

我们总是可以使得A11加M1C1这个部分的特征值

具有负实部

使得这一部分的状态估计x1它可以趋于0

但是无论怎么样去选择M2

也改变不了这个A22的这个极点

那么如果说A22的特征值它本身是有负实部的话

那么也就可以导致x2减x^随着时间它也会趋于0

那么我们就会得到这样一个结论

对于线性定常系统我们来设计观测器∑g

如果我们想希望能够任意配置极点的话

那么就要求状态误差向量

按照任意希望的速度衰减到0

要达到这样一个目标它的充要条件

是原系统ABC完全能观

那么对于不完全能观的系统ABC

它观测器存在这样一个充要条件

就是要求原系统不能观测的部分是渐近稳定的

同时观测器的极点不能任意配置

因为不能观的系统它无法改变不能观的部分的极点

刚才我们就讲到了线性系统设计观测器的时候

我们有一个前提条件 充要条件

就是系统开环的时候是完全能观的

如果不完全能观我们就需要设计这样观测器

就要求它不能观测的部分是先行自行渐近稳定的

这样才能够设计观测器