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大家可能注意到
就是如果我们的系统
它那个系统矩阵A
直接是以约当标准型给出
我们去判断它的能控性
结偶判据是非常方便的
但是如果一般来说给的是
直接是一个非约当标准型的形式
我们还要通过坐标转换
可能计算起来有一定的困难
或者说有一定的工作量
那么我们在这就给大家介绍一种
称为代数判据的方法
它是不经过坐标转换的
从而在计算上也有它自己的优势
我们下边就具体来看一下这种判据
我们在判断能控判据的时候
我们给出来一种不需要坐标转换
直接利用我们状态方程里边的系数矩阵
进行能控性判断的判据
我们把它称为代数判据
对于一个给定的系统
由参数A B给出的话
我们在这给出的结论是
状态完全能控的一个充分必要条件
是这样一个被称为
能控性矩阵的分块矩阵Qk
它是由B A乘以B
以及一直到A的n减一次方乘以B
这样依次构成的
这样一个分块矩阵
它是满秩的
也就是说它的秩
等于它的行数 这个N
那么在这种情况下我们就说
这个系统是完全能控的
反过来如果说Qk的秩是小于n的
当然它的秩不可能超过n
因为它只有n行
所以当它的秩是小于n的时候
我们说这个系统就
状态是不能 不完全能控的
那么这个证明是需要
有一些计算和推导
相对要复杂一些
我们在这就不给出详细的证明了
它基本的原理是要利用到我们这个
x(t)的一个
解的表达式
是由自由分量和强制分量构成
这样一个表达式的性质
以及我们说能控性的定义
还有我们在这个
大家在线性代数里头
关于矩阵的一个
Coyle-Hamilton定理结合起来运用
可以证明这个结论
那么我们很重要的是
大家要记住这个结论
它的一个很大的好处就是说
它不需要对A进行坐标变换
那么就可以直接通过
计算这个分块矩阵的秩
来判断这个系统
到底是否完全能控
那我们下边就来看一下
运用这个判据的例子
这是一个一般形式的一个状态方程
是个两输入的情况
我们通过计算B AB
这是A乘以B
就是说计算出来是这个结果
然后我们再用A乘上这个矩阵
就得到了A方B
那么对于我们这个具体的三阶系统
那么就是Qk的组成就是B A
然后A的n减一次方B
也就是3减1等于2
就是A平方B
这样我们构成这个分块矩阵就是这个
是把这个B然后是AB
然后是A平方B
分别组成三个分块
然后构成的这个矩阵
我们来判断一下
这个矩阵是否是一个
行满秩的矩阵
它的秩是否等于n呢
是否是3呢
我们看一下
实际上我们只需要看这三列
我们就会发现
它是一个上三角的矩阵
然后对角线全是1
所以这个子矩阵已经是三个满秩的了
所以整个矩阵也满秩
那么我们可以得出结论
根据我们的判据
这个系统是完全能控的
对于一个多输入多输出矩阵
我们看到这个
刚才那个情况也是这样的
多输入的情况
这个系统呢
Qk它是一个扁的矩阵
就是它的行数少于列数
这个情况就比较复杂
我们在算具体的这个
非奇异性的这个
或者说我们看行满秩的情况的时候
计算可能稍微复杂一些
那么我们对
正像我们例题一样
我们碰到那种情况的话
我们实际上可以计算一个方阵
这个方阵跟原来这个Qk是
这个秩是相同的
那我们就用Qk乘以Qk的转秩
就得到这样一个情况
对我们刚才那个题目呢
如果我们把三行六列的矩阵
给它转秩完了乘完
就得到这样一个矩阵
然后计算它的
判断它的非奇异性
从而可以判断这个矩阵是否满秩
那我们也得出相同的结论
这个矩阵经过判断它的秩
它是满秩的
那我们系统是能控的
那我们再给出来一个例子
这个例子是带有参数的情况
也就是说我们这个系统
它的状态方程里边包含了一系列的
关于电路的一些原始的物理参数
构成了这个系统的一个状态方程
那我们来判断这个系统的
是否满足能控性
那我们要看它什么条件下能控
意味着就是找出
这个能控性和电路参数之间的关系
那我们在这里边选择了两个状态变量
一个是电感的电流
一个是这个电容两端的电压
其他这些部分它是
都是电阻
我们根据能控性的判据
我们这个Qk呢
对于这个例子它是单输入系统
所以就是B AB
然后是二阶的
所以就知道A乘以B就够了
我们计算出来的结果
是这样一个结果
那这个结果它是一个
上三角的一个矩阵
这个上三角的矩阵
什么时候是秩为2呢
那么很显然
就是它的两个对角线上
这两个元素都得不能等于0
那我们看到整个这个行列式
不等于0的充要条件
就是这个行列式不等于0
那也就是意味着
我们这个式子
这得向
这得不能等于0
也就是这个式子要成立
也就是说当这个式子成立
就是说等价的
就是这个关系成立的时候
这个系统完全能控
当这个系统
这个条件不满足
也就是这个东西恰好等于0
这一项恰好等于0的时候
这个矩阵的秩就不是2了
那这个时候它恰好是R1乘R4
等于R2乘以R3的时候
这个系统不完全能控
那么从物理上我们也知道
这是一个电桥
那么阻抗的一个电桥
电桥的平衡条件
恰好对应R1乘以R4
等于R2乘以R3
那么也就是说
电桥满足平衡条件的时候
无论外界输入电压u是怎么样的
这个电容电压它都不会改变
这个时候相当于我们的输入
是无法去影响这个电容的电压的
这就是不能控了
下面我们再看一个例子
这是一个一般形式的一个状态方程
我们要用解耦判据的话
还得经过坐标变换 对吧
但是我们用代数判据就很简单
我们拿代数判据直接看Qk
那这里边我们把这个B放进来 对吧
然后我们再把A乘以B
A方B放进来
但是我们不用再继续做下去
我们只要A B乘出来的第一列
我们放在这了以后呢
我们就可以看到
在这种情况下已经可以判断
Qk它等于3
整个系统是可控的
我们在这
在作为一个推论
也是可以看到
就是说前面已经讲过了
能控性在非奇异变换底下是不改变的
那我们在这具体的再来证明一下
用我们的判据再来证明一下
就是如果我们进行一个坐标变换
那么我们变换出来的
这个新的系统就是它
这个新的坐标底下的这些参数
A B C D都相应的满足这个关系
那么对这个等价的系统来说
我们看变化以后的状态空间模型
它的Qk都是带了~这些量
那但是呢
我们把参数之间的变换关系
代入到表达式当中
可以得到什么呢
我们可以得到这样一个过程
就是我们的输入经过变换
是T逆乘以B
然后我们的A是T逆乘以AT
然后我们的这个A~乘以B~是什么
两个都代进去
变成T逆乘以A 再乘以T
但是B~就是T逆乘以B
所以我们把T和T逆抵消掉
就变成这是AB
这个地方出来了一个T逆
同理我们对高阶的这个一样的
最后可以整理出来
是T逆乘以A n-1 B
这是对于A n-1~和B~
那我们这样一个式子
我们会发现
其实可以公共的
提出来一个T逆之后就得到了
这边就是 方块矩阵
其实重新组合出来了Qk
我们就会发现
就是当且仅当变化以后的
这个能控性矩阵满秩
那么原来的这个能控性矩阵满秩
因为它们只差一个非奇异的矩阵
于是我们也可以从证明的角度
可以看到对于非奇异变换而言
系统的能控性是保持不变的
到这里我们就给大家介绍了一个
能控性的代数判据
它最大的优势
就是不需要经过坐标变换
直接可以根据AB这两个系数矩阵
来判断系统的能控性
在计算上是有它的便利之处
同时我们也通过
坐标变换的关系分析可以看到
就是利用代数判据也容易证明
就是我们的这个
能控性是不随坐标变化而改变的
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-1. 基本概念
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-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
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