当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第7周：线性定常系统的综合（2） > 4.极点配置算法(二)：极点配置举例 > 视频
上一节我们讲到了极点配置定理
和极点配置的方法
找到了如何设计状态反馈律K阵的
具体的解决办法
这一节我们来举一个简单的例子
来看看如何来设计状态反馈律
这里我们给出了一个
三阶系统的传递函数
那么它是由一个s分之一 s加六分之一
和s加十二分之一构成的一个三阶系统
那么要求的性能指标是
输出超调量Mp小于5%
峰值时间tp小于0.5秒
那么它还有静态误差的要求
包括位置误差和速度误差
那么针对这样一个问题
我们就需要去设计状态反馈律
设计这样的一个状态反馈律
u等于FW减去kx
来构成闭环系统
来达到这样一个性能指标的要求
那么考虑到综合性能指标当中
有动态指标 又有静态误差的要求
所以这里面
状态反馈律和输入变换要相结合
来构成整个的状态反馈律
第一步我们需要确定期望的极点组
然后来确定期望的模型
那么由于它是一个三阶的系统
所以它最多希望配置的极点数是三个
那么从考虑动态性能指标的要求当中
我们来选取一对主导极点对
λ1和λ2这样一个形式
另一个极点我们说λ3
我们让它远离主导极点对
这样的话按照这种方式来设计主导极点
和远方的极点
就可以使得整个系统
闭环系统的性能指标
动态指标只受到主导极点对的影响
而远方极点只有微小的影响
那么其中主导极点对构成的是一个
二阶的系统
那么它有
它的自然振动频率ωn
还有阻尼系数ζ
ζ就是在θ角的cosθ
那么由系统的性能指标
我们还可以来确定
主导这一对主导极点对
然后按照综合性能指标来确定
这一对主导极点对λ1和λ2
那么利用了什么关系呢
利用我们经典控制当中讲到的
峰值时间和超调量
和ωn和cos之间的关系
我们来具体求cos和ωn
那么首先我们可以由超调量Mp的关系
让它小于5%
我们就可以求得准确系数cos
按照这公式可以简单就算出来
cos大于等于二分之根号二
所以我们这里就取cos等于0.707
那进一步由峰值时间tp等于
ωn根号1减cos平方之π
让它小于0.5秒
我们就可以求出ωn
进一步可以求出ωn要大于等于9
所以我们这里选ω等于10
这样我们就可以确定
这一对主导极点对λ1和λ2
由这个公式就可以计算出
-cosn ωn 正负阶λ
根号1减cos方
就可以具体求出这一对主导极点对
那第三个极点也就是远方那个极点
λ3就可以选择使它和原点距离
远远大于λ1的模
这里选取λ3等于十倍的λ1的模
选-100这样一个极点
远方的极点
这样我们就得到了三个期望的极点
进一步我们就可以写出
期望的闭环系统特征多项式
f*(S)把它展开以后
构成了一个关于S的三次多项式
得到了三个系数
另外我们从性能指标的要求当中
我们看到了
它有静态指标的要求
所以我们这里还需要考虑
输入变换矩阵F的关系
通过静态指标来确定变换放大系数F
由于它是静态要求性能指标
所以我们还是需要考虑
闭环系统的传递函数
那我们这里直接给出这样一个结论
对于单输入单输出系统来讲
如果开环系统也就是原系统
没有零点的时候
闭环系统的传递函数
就是Wk(S)等于f*分之F
这个我们可以直接给出这样一个结论
有兴趣的同学可以去
自己去推一推
那么根据这样一个结论
我们就可以能够确定放大系数
以及静态指标根据的
得到的静态放大系数F
那么由位置误差定义
ep等于1-yp(t)的
在趋近于无穷的极限
就可以进一步推出1-α1*分之F等于0
那么α1*就等于1万
所以我们就可以进一步得到
F就等于α1*
那我们进一步来看
因为它有要求
有速度误差ev
那我们看ev是否满足要求
我们按照ev的定义
我们可以推出这个表达式
然后进一步算出1减Wk(S)
等于1-f三分之F然后求ev的
等于这个表达式的极限
S趋于0的时候极限
那么正好等于0.15
它就小于0.2
所以就满足了这个要求
也就是说按照静态指标的要求
我们设定的放大系数F
我们就可以满足这个静态性能指标的要求
那么确定好期望性能指标
和它的期望的极点
那我们就可以进一步来设计状态反馈律K
那首先我们还是需要把已知的
传递函数的形式
把它表述成状态空间表达式
然后进一步把它化成能控标准型
然后来设计状态反馈律
那么按照我们第一章讲的方法
我们可以列出x1 x2 x3三个变量
然后列出它的状态方程和输出方程
导出它的状态空间表达式
实际上这就是一个已知传递函数
给出状态空间表达式的一个实现
我们说这个实现A b c
就是它的状态系数
三个系数矩阵
那么根据这个实现
A b c的实现
那我们就可以找出它的变换矩阵
把它化成能控标准型
我们这里求
这里直接给出来它的变换矩阵T的逆和T
这个是
大家可以回顾我们第三章讲到的
如何去化能控标准型的方法
那么根据变换矩阵T和T的逆
我们就可以把这个实现
A b c的实现
把它化成能控标准型
A弯 b弯 c
这个表达式
大家从这个表达式看出
它是A弯这个矩阵
就是一个能控标准型的矩阵
而且b弯是0 0 1
就是我们要求的能控标准型的形式
那么根据能控标准型
我们第四步就可以确定
在标准型意义下的状态反馈律k弯
那么我们根据上一节讲到的方法
实际上我们就求出f*它的表达式
那个三阶多项式
那么f(S) f(S)就是S方
S立方加上18S平方加上72S
这是可以由
刚才我们能控标准型算出来的
那么这样我们就可以求出
能控标准型情况下的三个
放大系数k1 k2 k3
反馈律三个参数
分别可以算出α*-Pi
就可以对应的参数
得到这样三个
k1 k2 k3 三个参数
那么我们进一步来确定
在原系统
A b c它的状态反馈律 k阵
那我们说上节课讲到
k阵就等于k弯转秩乘以T的逆
就是三个系数再一起乘以T的逆的表达式
就可以得出
原系统的状态反馈律K 三个参数
那我们进一步通过方块图
可以更加明确的知道
如何通过不同的状态
把它的信号反馈到输入端
来构造状态反馈控制
那么也就是说
这里S1 S2 S3 三个变量
它的状态变量的系数 信号
我们通过对应的k1 k2 k3
三个参数返回到输入端
然后输入由于它有静态指标的误差要求
所以我们这里输入还要加以进行变换
这是F系数
就得到了整个系统的状态反馈律
然后我们再举另一个倒立摆的例子
来进一步的分析
看看是否有其他的方法
来设计这个状态反馈律
这是我们假定
某一个倒立摆的状态方程
我们是已经拿到了
x导数等于一个Ax加bu
那是一个四阶的系统
那么根据这个系统
如果我们写出它的开环的特征多项式
也就是它的特征方程
f(λ)我们就发现
进一步求出它的四个极点
就会发现λ1 λ2等于0
λ3是一个正的
λ4是一个负根
负实部的极点
那么这个系统就可以看出来
系统很不稳定
四个极点只有一个负实部的极点
还有两个极点在等于0
所以系统开环时候是非常不稳定的
那么这也和我们
从物理意义上预料到的是一样的
倒立摆是在平衡状态下是很难稳定住的
那么这样的话我们就需要设计
状态反馈律
使这个系统能够达到稳定
这里要求目标的
期望的四个极点是-1 -2 -1±j
四个 带有负实部的极点
这样就使得闭环系统
能够是一个稳定的系统
首先我们检查系统的能控性
四阶的系统我们写出它的能控性矩阵
Qk由b Ab A方b A3次方乘以b
构成了能控性矩阵
那我们算出能控性矩阵Qk
它的行列式等于100
所以我们知道它是一个满秩的矩阵
所以系统是一个完全能控的系统
那么由于系统完全能控
我们就可以改变
按照极点配置定理
我们就可以改变它的闭环极点
使得系统达到刚才给定的四个期望的极点
使得系统最后能够达到稳定
那么按照上一节讲的
化能控标准型的方法来计算也是可以的
那么我们这里
我们可以采用另外一种方法
叫直接计算的方式来进行计算
那么我们说假定要待求的
带设计的闭环系统的
它的特征多项式和它的四个参数
k1 k2 k3 k4
是待求的状态反馈律
待求的四个系数
那么由状态 把我们状态反馈系数k
代到闭环系统的特征多项式
fk(S)也就是SI减 A减bk的
它的行列式我们就可以算出来
这是它那个四阶那个表达式
由于这个系统A阵 b阵比较简单
很多有元素0
所以还是可以能够比较简
直接的算出来它的特征多项式
那么给出一个四阶的
关于S的四阶多项式
我们就可以看到它有
四个系数当中就含有了
k1 k2到k3 k4四个系数
那么我们根据期望的四个极点我们
同样我们可以写出它的期望的特征多项式
f*(S)它也得到了四个系数
那么根据这样
上述两个式子的系数相等
我们就可以求k1 k2 k3 k4
就我们说这个直接就可以求出
状态反馈律k阵的四个系数
这个方法我们说是直接计算的方法
它就不需要
先把它转换成能控标准型
然后来进行计算
那么由 给出了这个状态反馈系数矩阵
四个参数以后
我们再进一步
由系统的模拟结构图来看
系统的状态是如何反馈
引入到输入端来构造这状态反馈系统的
同样也是它有元
这个红色虚框里面
表达了就是这个被控系统
是一个四阶的系统
状态x1 x2 x3和x4是个状态
我们分别把信号取出来以后
分别乘以k1 k2 k3 k4
引入到输入端u这里面
我们来构成u等于w-kx
这样一个状态反馈律
构成了整个的闭环系统
这一节我们采用两个小例子来
讲了如何来进行设计状态反馈律k阵
一个是简单的数值例子
一个是倒立摆的例子
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质--作业
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法--作业
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念--作业
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念--作业
-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）--作业
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
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-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）--作业
-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）--作业
-5. 对偶性原理
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-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解--作业
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型--作业
-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现--作业
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现--作业
-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题--作业
-1.状态反馈和输出反馈
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-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响--作业
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例--作业
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-6. 状态空间中系统的镇定问题--作业
-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
