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大家好

我们学了这个能控性和能观性

下边我们接下来

要学习这个状态空间的结构分解

也就是对一个线性系统

要按照能控性或者能观性

对它做一个结构性的分解

那么这样一个结构性分解便于我们揭示

一个系统的内部结构

也就是它状态空间当中

这个按照能控性或者能观性

做一个这个区域的划分

使得我们对系统内部结构有更多的了解

我们在本节要重点的

给大家介绍这个结构分解的概念

特别是能控子空间和能观子空间的概念

并且给大家介绍

按能控性如何对一个系统的

状态空间进行分解

那我们下边来看具体的内容

为了说明状态空间能控和能观子空间这个概念

我们先来看一个具体的例子

这个例子大家可以看出来

它的状态方程是由一个对角标准型给出的

那么这样我们便于观察它的一个结构

我们按照这个方程

如果是直接去写出这个状态响应

也就是xt的这个时间表达式

那根据我们以前讲过的这个运动方程的解

我们知道xt它等于e的at乘以x0

加上e^at和but的这个卷积

那么我们具体写成分量形式

大家可以看到由于我们这个方程

给的是一个这个解耦标准型的形式

所以我们实际上每个分量可以单独来列写

那么对于x1t的话就是由这个x10

乘以e的负t

这个负t对应的是这样一个特征值

加上e的负t和这个相应的输入这一项

这是u之间做卷积

然后从0到t来进行积分

那么x20这个乘以e的负2t以后

就直接给出了这个x2t

因为这里边我们看到由于解耦的情况

那么这个u在第二个方程当中是不出现的

那么类似的

我们有x3的一个时间的表达式

而我如果再进一步的根据输出方程

导出相应的这个yt的表达式呢

那就是c直接乘以xt

那我们可以把前边的x1 x2 x3的

这个时间表达式代入到这个输出方程里头

我们就知道这个是x2加上x3

这样的一个形式

就给出了这个yt

从这个里头我们可以

如果观察这个状态受u(t)的影响的情况

刚才已经说过了

这个x2呢是一个不可控的状态

所以x2t它是不受u(t)的影响的

那我们再从输出的角度去观察的话

就这个y它实际上跟这个x1没有关系

它只是由这个x2和x3组合而成

那么x1也不会去间接的影响这个x2或者x3

所以总体上来看的话

这个yt它是不受这个x10的影响的

那么也就是说我们任意选取这个u(t)

都不能够这个使得x2到达一个

我们要求的这个状态的这个x2的分量

那么同样的我们无论测量多长时间的

这个y的值

也不能够反过来去确定

这个x1的初值 也就是x10

那么这样的话我们就看到了这个系统

它的状态有一部分是能控的

有一部分是不能控的

一部分状态能观 一部分状态不能观

那我们去列写这个系统的传递函数

根据我们的公式计算

或者我们直接的进行这个消元的话

可以导出y(s)比上u(s)

它等于s+3分之一

那么原来的这个系统它是包含三个状态

所以是个三阶系统

但是写成这个传递函数的时候

就变成了一个一阶的传递函数

那我们说它中间发生了

这个零级相消的现象

下面我将进一步的来讨论

就是对单输入单输出的这样的系统

如果它的传递函数有零级相消的话

那么我们在这个地方会推断

就是原系统它一定是要么不完全能控

要么不完全能观

在我们这个例子当中

由于x1 x3它构成的这个状态的子空间

是一个这个能控的状态构成的子空间

我们前边也讲过这个能控子空间的概念

在最初的地方

就是把所有能控的这个点或者叫做向量

给它构成一个集合

再添加上这个原点以后呢

就构成这个能控子空间

我们就在这儿也是再回顾一下这个概念

那么x2构成的是一个不能控的子空间

实际上这里边这个x2构成的不能控子空间

就是我们说是在x2这个分量上边有数

然后这个x1 x3 三给它秩为零的

这样的一个特殊的这个向量

然后进行这个就是说竖乘以后

构成的这样一个一维的子空间

我们把它称为不能控子空间

那么能控和不能控子空间之间

它其实是一个互为正交补充的一个关系

那么也就是说我们说在这个x2上边

所有的这个状态都是不能控的

那么由这个x2和x3构成的空间

它是一个能观子空间

由x1构成的这个空间

是不能观的这个子空间

我们下边从这个例子出发

分析一般的这个定常系数的

这个状态空间表达式

我们假设它具有星式

星号这个给出的这样的一个形式

这是一般的形式

那么我们就是根据状态的能控性和能观性

希望能够推导它的某个标准的结构形式

我们首先来考虑就是这个按

状态空间按能控性进行分解

那么我们都知道根据这个能控性的要求

实际上它有一个完全能控的一个判据

也就是说如果这个系统当中的所有状态

都是能控的

我们就说它是一个状态完全能控的系统

那么它的这个充分必要条件

根据我们的代数判据

实际上是由这个系统a和b矩阵

写出来的这个能控性矩阵

这样一个分块矩阵 这个b a b

然后a的n减1次方b 构成的这个分块矩阵

是一个行满秩的这样的情况

那么反之如果是不完全能控的话

它的这个秩是等于r是小于是n的

也就是少于它的这个行数

那么我们说下边有一个这个基本的结论

是说对一个不完全能控的这个系统

不完全能控就说明它至少有一个状态

是不能控的

那么我们说它的能控子空间

那它的维数就低于整个这个维数

整个这个空间的维数也就是不等于n

那么到底这个维数是多少呢

我们说这儿有一个非常重要的结论

是说我们总可以找到一个合适的

这个状态的变换阵

使得u和y满足这个状态方程

和输出方程的矩阵的系数

在这个新的坐标x~底下

那么实际上构成了这样一个标准的形式

那么在这个标准形式当中

我们说这个系统矩阵也就是这个a矩阵

变换完以后

它呈现了一个上三角的分块矩阵的形式

并且它的这个第一个分块A11这个分块

正好是一个r乘r维的这样的一个

这个子矩阵

那么它的这个输入矩阵变换以后

是一个只有这个前r行不为零的

这样的一个分块矩阵

那么它的变换完以后

输出矩阵是一个一般形式

不做特殊的要求

那么这里边我们就可以看出来

我们说通过这个代数等价变换以后

对于一个一般形式的

这样的一个状态空间表达式

当它的这个能控性矩阵的秩为r的时候

我们说变换出来的这个标准形式是什么呢

就是在新的坐标底下

它是一个r维的这样的一个子系统

对应的是一个能控的部分

那么对于这个n减r维的这样的一个

这部分状态分量它是不能控的

我们说底下这个结论也在这儿写出来了

就是刚才说的我们对于一个

不能控的这个状态空间表达式

对它进行一个坐标变换以后

我们能够找到一个r乘r的子系统

它的系数完全是由这个能控的部分

也就是这个A11~ B1~ 和C1~

这个构成了一个子系统

那么它是一个能控的子系统

另外一点就是这个子系统

满足的这个性质是什么

就是使得我们对整个这个状态空间表达式

直接求这个传递函数矩阵的话

它等于我们只对这个能控的子系统

就是系数全带一的这个子系统

来计算它的这个传递函数矩阵

也就是说我们从一个大的系统当中

抽一部分状态出来

和输入输出构成的这个子系统

我们具有这三个参数的这个子系统

它的传递函数矩阵

和我们这个大的系统的传递函数矩阵是相等的

这里边我们要注意一下这是变化以后的

这个状态空间表达式系数

求出来的传递函数矩阵

如果大家回顾一下我们曾经讲到的

就是这个代数等价变换

它不影响这个传递函数矩阵的话

也就是传递函数矩阵

是我们的这个坐标变换的一个不变量

那大家就知道

其实我们对选这个坐标之前的

原始的这个传递函数矩阵

它也是这个跟我们变化以后

求出来是完全相同的

那么这样也就是说

我们第二条这个性质是说

就是我们原系统的这个传递函数矩阵

它完全等于我们抽取出来这个

能控子系统的这样的一个

这个传递函数矩阵

那我们用这个状态变量

这个框图的形式来看一下

就是我们这儿叫能控的一个状态分解

这个状态分解是把我们的状态变量

这个给分成了两部分

当然这个是在我们进行坐标变换以后的结果

那么变化以后的这个坐标当中

有一部分分量

有r个分量 前r个分量

由这个x1~来表示的

它所对应的一个子空间

我们把它称为能控子空间

这个子空间是怎样形成的呢

就是由这个x1~这几个坐标那么不为0

然后其他n减1个坐标恒等于0的

这部分向量构成的这样的一个子空间

那么我们把它称为是能控子空间

而状态变量x2~也就是除掉这个x1~

这一部分变量之外的剩下的这一组

n减r个变量

它本身也构成一个子空间

而这个子空间我们把它称为是不能控子空间

那么这一部分子空间的构成

其实就是这一部分坐标

n减r个坐标不为0

然后其他的这个r个坐标设为0的时候

构成的这样的向量组成的集合

那么这样的话我们从一个图上来看的话

就是我们的这个x1~对应的子系统

在这个位置

那我们看到就是输入进到这个子系统

然后到输出进行叠加

还有一部分就是输入影响不了的

这个x2~对应这个子系统

它的系数其实是A22~ 0和c2~

这一部分这个系统它也在初值的影响下

也会进行演化

那么它的状态演化以后有两部分影响

一部分影响就是通过A12~这部分系数

去影响这个x1~ 进一步的演化

那么同时它也对输出有影响有贡献

所以这个x2~对应这个子系统呢

它这个会有一部分影响叠加到

这个输出y(t)上去

那么这样的话我们就理解了

就是说什么叫把一个系统

按照能控性进行一个状态的分解

我们说这个分解的过程

其实是通过一个坐标变换

也就是我们代数等价变换

然后使得我们整个这个系统的

状态空间有一个清晰的结构

被划分成了能控的部分和不能控的部分

这个状态分量

下边我们先看一下为什么第二条性质是对的

那这个分析是这样的

我们首先在变化以后的

这个传递函数方面直接做一个计算

按照我们的公式C(sI-A)的逆乘以B

但是由于我们坐标变化以后

它在这个结构分解的形式下

这几个矩阵都是有这个分块的结构

所以我们把这个分块结构也代进来

这样的话我们看到中间这个sI-A

实际上它求逆的时候

是一个上三角的分块矩阵求逆

根据线性代数分块矩阵求逆的公式

我们可以得到它具有这样一个形式

就是我们求逆的时候

这两个对角线上呢 也是分别求逆

然后这个打两个星号的位置呢

实际上是这样一个表达式

当然这个跟我们的这个展开的计算

是没有关系

因为我们在真正

这个三个矩阵相乘的时候

由于这一块输入的这一块

它是上边一个分块是非零

然后底下是零

所以我们后边其实不受影响

我们只是跟C1 (sI-A11)逆和B1有关

所以我们写出来是这样一个形式

这样的话我们就知道

就是第二条性质就成立

也就是我们的一个能控子系统的传递函数

和原系统的传递函数是完全一样的

传递函数是没有受影响

那么接下来我们再看一下

就是第一条性质

第一条性质说的是经过坐标变换以后

我们分离出来的这个x1~

对应的这个子系统它是一个r阶的子系统

而这个r阶的子系统

它是一个能控的子系统

我们现在来看一下

就是说为什么它是能控的

同样我们的分析也是说

对整个这个系统做一个能控性矩阵出来

当然由于我们坐标变换以后

它也是分块形式

所以我们就用B AB

然后一直到A的n-1次方B

而我们知道B和这个A的形式

一个是上分块为非零

然后另外一个是上三角的矩阵

那我们经过这个乘积以后可以验证

就是我们的这个能控性矩阵

具有这样一个分块形式

也就是说底下这n减r行是全0的

然后我们上边是B1~ 然后A11B1

然后一直到A11的n-1次方B1

这样构成的一个 这个分块矩阵

那么我们知道这个经过坐标变换以后

这个Qk~它实际上跟我们原系统的这个Qk

这两者之间也是只差一个坐标变换阵

所以这个变化以后的这个能控性矩阵

整个系统的能控性矩阵

它的这个秩应该是等于原来这个系统的

这个能控性矩阵的秩

我们知道我们假设的这个Qk

它的秩等于r

我们就知道变化以后的

这个能控性矩阵的秩也是r

而我们看到刚才这个Qk~

它的结构非常清楚

就是最底下这个n减r行已经全是0了

所以要这样一个矩阵

它是这个秩是r的话

就必须要求我们的前这个r行是满秩的

那么这里边我们再对它进行进一步的检验

因为我们知道有一个这个基本的关系

就是当我们用B1~ A11~B1~

一直计算出A11 n减1次方乘以B1的话

这样的一些列当中

它也最多是有这个r个线性无关的列

那么这样的话我们就要分析

就是我们对于一个子系统来说

我们真正关心的这个子系统是B1~ A11~B1

一直到A11的r减1次方乘以B1

那么关键是我们要说明

这样一个子系统的能控性矩阵

它是不是它的秩也是r

那么我们在这里边就要用到一个

很重要的这个基本的事实

就是我们的A11k B1~

它是依赖于这个i i等于k

这个从0一直到k减1的

这样的一个Ai次方乘以B1的形式

也就是说我们可以把这个高次幂的这个

这样的一个分块矩阵的这个列呢

表示成为就是第一次的这个列的线性组合

那么这个时候我们从左向右

搜索独立的列的时候我们会发现

一旦发现相关的向量

后边的后续的向量

也就是处在右边这些分块的向量呢

必然也都线性相关了

所以我们既然知道整个这个大的这个矩阵

一直到n减1次方为止的这样的一个矩阵

只有这个r个线性无关列的话

那我们就知道它是从这个B1一直到A11

这个r减1次方B1的话

那么一定是首先出现这个r个线性无关列

是在这个子系统

所对应的能控性矩阵当中的

这样的话我们就完成了对这个

我们这个第一条性质的证明

也就是说我们经过结构分解以后

分解出来的这个子系统

它是一个能控的子系统

下边我们再来讨论一下

就是说这个变换阵它是怎么样来

具体的给出的

这里头我们不做详细的推导

但是我们会引入就是说这个t

它的一个构成的方法

这个构成方法是这样的

我们从系统的这个能控性矩阵当中

选取r个线性无关列

构成这个变换阵的前r列

因为我们这个能控性矩阵整个系统不能控

所以它不满秩

这个时候我们只能找到r个线性无关列

那么为了凑成一个变换阵

我们还需要n减r个列 那怎么办呢

我们就从rn当中再去选取其他的n减r个

跟前边这个r列线性无关的列

构成一个这个满秩的变换阵

那么我们就使得这个变换阵是满秩的

为了说明这个变换阵的构造方法

我们这儿看一个具体的例子

就是说我们看一下

一个给定的这个线性空间的

一个状态空间表达式

那么这里边我们希望通过

找到一个合适的变换阵

把这个能控子系统给求出来

这是它的具体的系数

那我们看一下

首先我们计算这个系统的能控性矩阵

这是个三阶系统

所以它是单输入的话

就是B这一个输入的列向量

然后是AB一直到A的3减1

也就是A的平方乘以B

那么计算出来以后是这样一个矩阵

那么这个矩阵我们发现它只有两列是线性无关的

那我们就是说需要找出这个能控性部分

按照前边的结论的话这个r它就等于2

那我们求这个变换阵

首先是从我们的这个能控性矩阵当中

抽取两个线性无关的列

那我们就找从这个左往右的话

就依次找出两个线性无关列就是前两列

然后我们为了凑成这个非奇异的变换阵

我们还需要添加一列

那我们直接观察一下

对这个例子比较简单的话

我们就可以说直接是0 1 0这个向量

凑在一起正好构成一个非奇异的变换阵

然后我们就进行这个坐标变换

我们为了完成这个变换

我们先把这个T逆给求出来

计算结果是这样的

那么完了以后

我们就按照这个新的坐标

去求取相应的参数矩阵

我们得出的结果就是A~

是这个T逆乘以A 再乘以T

我们代入得到这样一个情况

然后我们的B~经过计算以后

它是T逆乘以B 就是这个结果

那么我们可以看到呢这是分成两块

最底下这一块是零

然后C~是一个一般形式被分成两部分

那么我们前两个变量

构成的就是这个能控子系统

所以我们把这个A11拿出来

然后把这个B1在这儿

然后这个C1是在这儿

我们把这三个矩阵放在一起

我们就和y和u就构成了我们一个

原系统的一个能控子系统

好 我们在这里给大家介绍了

这个结构分解的基本概念

那我们这儿指的是按照状态

对这个系统的状态空间进行划分

然后我们具体的手段

是通过这个非奇异的坐标变换

使得变化以后的这个系统

它从状态分量的角度呢

自然的就对应于能控的状态

和不能控的状态

它的能控子空间也直接由这些能控状态

进行这个线性组合构成

那么不能控的状态呢

进行线性组合构成的是一个正交补空间

是不能控的部分

那么我们也给大家展示了

就是说如何寻找这个坐标变换

使得这个一个一般形式的这样的一个

不能控的系统

它能够把它的能控和不能控两部分

给它清晰的区分出来

并且能够把它的这个能控子系统

也给抽取出来

那我们还有一个很重要的结论

就是能控子系统本身的传递函数

就能够反映原系统的传递函数

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