当前课程知识点：通信原理 > 第七章 信源编码 > 7.1 低通抽样定理 > 视频
同学们好 今天我们来学习抽样定理
抽样是模拟信号数字化的第一步
它是在一系列离散的时间点上抽取信号的样值
将模拟信号在时间上离散化
使其适合数字化处理和传输
但是 这也引发了一个显而易见的问题
从离散的抽样值中能恢复出原来连续的模拟信号吗
定性地看 抽样速率越高 样值点越密集
信号失真的程度应该越小
我们以一段语音信号为例
秦时明月汉时关
首先以12kHz的速率抽样
秦时明月汉时关
听越来与前者并无明显区别
若以6kHz的速率抽样
秦时明月汉时关
此时 声音中已经出现了可察觉的失真
将抽样速率进一步减小至3KHz
秦时明月汉时关
显然 声音失真更加严重
因而从信号质量的角度来说 抽样速率当然应该越大越好
但这同时会产生过多的数据 为后续的存储和处理带来困难
正所谓过犹不及
所以我们真正关心的是 在保证信号不失真的前提下
最小的抽样速率是多少
要回答这个问题 就要进行定量分析
可以把抽样过程用以下模型描述
时间连续的模拟信号与一个周期为Ts的单位冲激序列相乘
输出时间离散的冲激序列
各冲激的强度等于原信号在相应时刻的抽样值
实际上就相当于用模拟信号对单位冲激序列进行幅度调制
所以从数学上说
样值信号就等于模拟信号与单位冲激序列的乘积
从时域上难以界定其是否包含原信号的全部信息
所以我们从频域着手 对其做傅里叶变换
时域乘积对应频域卷积
其中 X(f)表示模拟信号的频谱
第二项为单位冲激序列的频谱
形式上仍然为冲激序列
将其代入 利用卷积性质
任何函数与冲激卷积
都相当于将该函数搬移到冲激所在的位置上
观察样值信号的频谱表达式 我们可以发现
它相当于以抽样频率fs为间隔
对原信号的频谱进行周期性的延拓
假设原模拟信号是一个频带有限的基带信号
最高频率为fH
那么根据刚刚的分析结果
样值信号的频谱就是以抽样频率为间隔对其进行周期延拓
我们看 当前情况下
样值信号的频谱中完整地保留了原信号的频谱信息
此时只要用一个低通滤波器即可将原信号无失真地恢复出来
但是 若抽样速率较小
信号频谱的周期搬移就可能出现混叠
此时原信号频谱中的高频区域已经发生畸变
所以恢复出的信号必然会失真
那抽样速率满足什么条件才不会发生频谱混叠呢
1948年 香农在论文中对上述规律进行了总结
一个频带受限的时间连续信号
若以不小于其最高频率两倍的速率对它进行等间隔抽样
则原信号将被所得到的抽样值完全确定
该定理是香农在奈奎斯特的研究基础上总结得到的
所以常称为香农抽样定理或奈奎斯特抽样定理
而图中所示的正是不发生频谱混叠的极限情况
其对应的最小抽样速率为信号最高频率的两倍
称为奈奎斯特速率
而相应的最大抽样间隔称为奈奎斯特间隔
此时 我们回头再重新审视刚才的语音信号
对原信号做频谱分析
可以看到 信号的主要成分集中在4kHz以下
所以抽样速率只有达到8kHz以上才能保证信号的主要频谱成分不发生混叠
因而抽样速率为12kHz时
信号的音质并无明显变化
而抽样速率为6kHz甚至3kHz时
由于信号中的高频成分已经发生混叠
所以声音变的越来越沉闷
现实中 我们遇到的信号都是时域有限信号
时域有限 频域无限
所以理论上无论采用多高的速率抽样
都会出现一定程度的频谱混叠
但抽样定理告诉我们
要避免混叠的出现 就必须把信号变成带限信号
所以在抽样前
通常会用滤波器对信号进行带宽限制
只保留能量集中的区域
再用相应的速率对信号进行抽样
这种滤波器称为抗混叠滤波器
另一方面 为了避免频谱混叠
可以使抽样速率略大于奈奎斯特速率
为延拓的频谱之间提供一定过渡带
在避免混叠残留的同时
还能降低对滤波器的设计要求
工程中习惯将抽样速率设为信号最高频率的2.5到5倍
例如话音信号主要集中在300到3400Hz的范围内
典型的抽样速率为8000Hz
上述抽样过程中用单位冲激序列对模拟信号进行抽样
但现实中冲激序列是无法产生的
通常用窄脉冲序列代替
抽样后脉冲序列的幅度会随着原始模拟信号的变化而变化
因而可看作是脉冲振幅调制（PAM）
其实现方法有两种
第一种是自然抽样
用这种方式抽样后
脉冲的“顶部”是随模拟信号变化的
保持了原信号的变化规律 也称为曲顶抽样
另外一种是平顶抽样
脉冲顶部在脉冲宽度内保持不变
可以证明 在满足抽样定理的前提下
两种方式都可以无失真地恢复出原始信号
本讲的内容就是这些 谢谢大家
-1.1 通信系统的基本概念
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-1.2 通信系统的组成
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-1.3 信息及其度量
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-1.4 通信系统的主要性能指标
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-讨论题：分析比较模拟通信和数字通信的各自有缺点和应用场景。
-课程思政
-课程使用教材
--教材介绍
-2.1 信道的基本概念
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-2.2 恒参信道分析
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-2.3 随参信道及其对所传信号的影响
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-2.4 随机过程基础
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-2.5 平稳随机过程
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-2.6 白噪声
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-2.7 高斯噪声
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-2.8 信号系统与噪声的关系
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-2.9 信道容量的概念
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-2.10 m序列的产生
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-2.11 m序列的性质
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-讨论题：结合实际生活或者工程实践，谈一下香农定理的意义所在。
-课程思政
-3.1 常规双边带调幅
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-3.2 抑制载波的双边带调制
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-3.3 单边带调制
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-3.4 残留边带调制
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-3.5 线性系统的抗噪声性能
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-3.6 角度调制的基本概念
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-3.7 频率调制FM
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-4.1 数字基带信号的常用码型
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-4.2 数字基带信号的频谱特性
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-4.3 数字基带传输系统
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-4.4 无码间串扰的基本思想
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-4.5 无码间串扰的基带传输系统
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-4.6 数字基带传输系统的性能分析
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-4.7 眼图
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-5.1 2ASK的基本原理
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-5.2 2ASK的抗噪声性能分析
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-5.3 2FSK的基本原理
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-5.4 2FSK的抗噪声性能分析
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-5.5 2PSK的基本原理和抗噪声性能
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-5.6 2DPSK的基本原理和抗噪声性能
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-5.7 二进制数字调制系统的性能比较
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-讨论题：2FSK信号的频谱的波峰有什么特点，与什么因素有关？
-6.1 假设检验模型
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-6.2 错误概率最小准则
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-6.3 二元确知信号的最佳接收机结构
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-6.4 匹配滤波器原理
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-6.5 匹配滤波器性质及应用
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-7.1 低通抽样定理
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-7.2 量化的基本概念和均匀量化
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-7.3 非均匀量化
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-7.4 13折线法的码位安排
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-7.5 简单增量调制
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-7.6 改进型增量调制
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-7.7 时分复用和多路数字电话系统
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-7.8 哈夫曼编码
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-8.1 信道编码基础
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-8.2 分类和工作方式
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-8.3 常用简单分组码
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-8.4 线性分组码的基本概念
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-8.5 线性分组码的矩阵描述
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-8.6 循环码的基本概念
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-8.7 循环码的矩阵描述
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-8.8 循环码代数形式的编译码
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-9.1 同步的定义与分类
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-9.2 载波同步
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-9.3 载波同步的性能分析
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-9.4 位同步
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-9.5 位同步的性能分析
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-9.6 群同步
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-9.7 群同步的性能分析
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