当前课程知识点：通信原理 > 第八章 信道编码 > 8.4 线性分组码的基本概念 > 视频
同学们好
今天我们来分析
线性分组码的基本原理和性质
并介绍与线性分组码
编译码相关的基本概念
分组码是一组固定长度的码字
可表示为(n,k)
在分组码中
监督位被加到信息位之后形成新的码字
在编码时
k个信息位被编为n位码字
而n-k个监督位的作用就是实现纠检错
当分组码的信息码元
与监督码元之间的关系为线性关系时
这种分组码就称为线性分组码
前面介绍的奇偶监督码
就是一种线性分组码
由于他们的信息位和监督位
是通过代数方程联系的
因此
把这类建立在代数方程基础上的编码
码称为代数码
线性分组码是建立在代数群论基础之上的
各许用码的集合构成了代数学中的群
因此
可以证明它具有如下的2个主要性质
1 线性分组码具有封闭性
也就是任意两许用码之和
仍是这种码的一个许用码
对于二进制码这里的和指的是模二运算
2 码组间的最小码距
等于非零码的最小码重
由于线性码具有封闭性
所以两个码组之间的距离
必定是另一个码组的重量
因此 码组的最小距离就是码的最小重量
作为一种最简单的线性分组码
奇偶监督码由于只有1位监督位
如果它的码长为n
则可以表示为(n，n-1)
如果采用的是偶监督关系
对应在接收端解码时
实际上就是在计算
S=bn-1+bn-2+…+b1+b0的模2和
其中bn-1 bn-2，…b1表示接收到的信息位
b0为接收到的监督位
若S=0就认为无错
若S=1就认为有错
这个式子被称为监督关系式
S为校正子或者伴随式
由于S的取值只有0和1两种状态
因此
它只能表示有错和无错这两种状态
而不能指出错码的位置在哪
可以设想
如果监督位增加1位
变成2位
则需要增加一个监督关系式
也就是能够计算出两个校正子S1和S2
而S1S2共有4种组合
00 01 10 11
它们可以表示4种不同的状态信息
除了用00表示无错以外
其余3种状态
就可用于指示3种不同的错码位置
同理
由r个监督关系式计算的校正子有r位
可以用来指示2的r次方-1种误码图样
对于1位误码来说
就可以指示2的r次方-1个误码位置
对于码组长度为n
信息码元为k位
监督码元为r=n-k位的分组码
如果希望用r个监督位
构造出r个监督关系式
来指示1位错码的n种可能
则要求2的r次方-1≥n
或者2的r次方≥k+r+1
下面通过一个例子来说明
线性分组码的构造过程
设分组码(n,k)中k=4
为了能够纠正1位错误
则要求r≥3
也就是监督码元位数至少要为3位
如果取r=3 则n=7
因此可以用a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
表示这7个码元
用S1 S2 S3表示利用三个监督关系式
通过计算得到的校正子
并且假设S1 S2 S3三位校正子码组
与误码位置的关系如表所示
因此
根据表中的S1 S2 S3
就能指示（7,4）线性分组码中
哪一位出现了错误
进而进行纠正
当然
这里仅给出了一种校正子与误码的对应关系
当然
还可以规定成另一种对应关系
但在这里利用表中的关系
进行讨论并不影响它的一般性
类似“脉冲与数字电路”课程中的
“真值表”进行分析
根据表中所示的关系
当1位错码的位置
在a2 a4 a5 a6时
校正子S1为1
否则S1为0
这就意味着a2 a4 a5 a6
四个码元构成偶监督关系
同理 a1 a3 a5 a6构成偶监督关系
以及a0 a3 a4 a6构成偶监督关系
我们知道在发送端编码时
a6 a5 a4 a3是信息码元
它们的值取决于输入信号
因此是随机的
a2 a1 a0是监督码元
它们的取值是由监督关系来确定
即监督位
应使3个监督关系式中的校正子为0
这样三个偶监督关系式
可以表示成下面的方程组形式
由上式经移位运算
就可以用信息位求得监督位
根据上面两个线性关系式
可以得到16个许用码组
可以看到
码组中的码字满足封闭性
任意两个许用码组都是
该码组中的另一个许用码字
在接收端收到每个码组后
计算出S1、S2、S3，如不全为0
则可以按表来确定误码的位置
然后予以纠正
例如
接收码组为0000011
可算出S3 S2 S1=011
查表可知a3位置上有一误码
因此对接收到的码字进行纠正
得到0001011
不难看出
上述（7,4）码的最小码距为3
因此
它能纠正1个误码或检测两个误码
如超出此纠错能力
则反而会“乱纠”而增加新的误码
通过上述分析可以看到
利用线性方程组
实现了线性分组码的编码和解码过程
同学们
今天我们学习了线性分组码的基本概念
线性分组码的性质 校正子
监督关系式以及如何用线性方程组
实现编解码
本讲的内容就到这里
谢谢大家
-1.1 通信系统的基本概念
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-1.2 通信系统的组成
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-1.3 信息及其度量
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-1.4 通信系统的主要性能指标
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-讨论题：分析比较模拟通信和数字通信的各自有缺点和应用场景。
-课程思政
-课程使用教材
--教材介绍
-2.1 信道的基本概念
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-2.2 恒参信道分析
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-2.3 随参信道及其对所传信号的影响
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-2.4 随机过程基础
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-2.5 平稳随机过程
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-2.6 白噪声
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-2.7 高斯噪声
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-2.8 信号系统与噪声的关系
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-2.9 信道容量的概念
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-2.10 m序列的产生
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-2.11 m序列的性质
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-讨论题：结合实际生活或者工程实践，谈一下香农定理的意义所在。
-课程思政
-3.1 常规双边带调幅
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-3.2 抑制载波的双边带调制
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-3.3 单边带调制
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-3.4 残留边带调制
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-3.5 线性系统的抗噪声性能
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-3.6 角度调制的基本概念
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-3.7 频率调制FM
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-4.1 数字基带信号的常用码型
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-4.2 数字基带信号的频谱特性
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-4.3 数字基带传输系统
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-4.4 无码间串扰的基本思想
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-4.5 无码间串扰的基带传输系统
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-4.6 数字基带传输系统的性能分析
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-4.7 眼图
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-5.1 2ASK的基本原理
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-5.2 2ASK的抗噪声性能分析
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-5.3 2FSK的基本原理
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-5.4 2FSK的抗噪声性能分析
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-5.5 2PSK的基本原理和抗噪声性能
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-5.6 2DPSK的基本原理和抗噪声性能
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-5.7 二进制数字调制系统的性能比较
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-讨论题：2FSK信号的频谱的波峰有什么特点，与什么因素有关？
-6.1 假设检验模型
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-6.2 错误概率最小准则
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-6.3 二元确知信号的最佳接收机结构
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-6.4 匹配滤波器原理
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-6.5 匹配滤波器性质及应用
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-7.1 低通抽样定理
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-7.2 量化的基本概念和均匀量化
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-7.3 非均匀量化
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-7.4 13折线法的码位安排
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-7.5 简单增量调制
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-7.6 改进型增量调制
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-7.7 时分复用和多路数字电话系统
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-7.8 哈夫曼编码
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-8.1 信道编码基础
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-8.2 分类和工作方式
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-8.3 常用简单分组码
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-8.4 线性分组码的基本概念
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-8.5 线性分组码的矩阵描述
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-8.6 循环码的基本概念
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-8.7 循环码的矩阵描述
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-8.8 循环码代数形式的编译码
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-9.1 同步的定义与分类
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-9.2 载波同步
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-9.3 载波同步的性能分析
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-9.4 位同步
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-9.5 位同步的性能分析
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-9.6 群同步
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-9.7 群同步的性能分析
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