当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第1章 随机事件与概率 > 几何概率 > 拓展知识
在一个半径为 \( r \) 的圆 \( C \) 内``任意''作一条弦(不考虑直径)，试确定此弦长度 \( l \) 大于圆内接等边三角形的边长 \( \sqrt
3 r \) 的概率。如何计算这个概率？有如下三种方法。
方法一：记事件 \( G \) ：``弦 \( l>\sqrt 3 r \) ''，如图(a)所示。
在一个半径为 \( r \) 的圆 \( C \) 内``任意''作一条弦{AB}，它的中点 \( M \) 应该充满整个圆 \( C \) 内，即这个圆就是样本空间。弦{AB}的长度 \( l \) 大于等边三角形边长 \( \sqrt
3 r \)。
弦AB的中点 \( M \) 应该落在圆 \( C_1 \) 内，而圆 \( C_1
\) 的半径为 \( r/2 \)。因此，由几何概率的定义，可计算所求概率：
\[
P(G)=\frac{S(C_1 )}{S(C_ )}=\frac{1}{4}
\]
方法二：设弦AB的一端A固定于圆周上，如图(b)所示。
另一端B是任意的，考虑等边三角形 \( \Delta ADE \)，当点B落在弧 \( \stackrel \frown {DE} \) 上，必定有 \( l>\sqrt 3 r \)。
样本空间定义为 \( C \) 的圆周构成的集合，事件 \( G \) 表示弧 \( \stackrel \frown {DE} \) 上的点组成的集合，则
\[
P(G)=\frac{\stackrel \frown {DE}\mbox{ 的弧长}}{\mbox{圆周长}}=\frac{1}{3}
\]
方法三：设弦AB垂直于直径EF，如果{AB}的中点 \( M \) 在{DH}上，如图(c)所示，则 \( l>\sqrt 3 r \)。
根据几何概率的定义，得到
\[
P(G)=\frac{DH \mbox{ 的长度}}{EF \mbox{ 的长度}}=\frac{1}{2}
\]
以上得到了三个不同的答案。哪种结果正确？
问题出在``任意作弦''的提法太不确定了。三种方法所用的样本空间和对应的随机事件都是不同的，所以得到三种不同结果。其实，相对于每种方法，所用的几何概率公式都是正确的，因此计算结果也是正确的。
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