变量和的分布------卷积公式

        本节中，我们学习了利用分布函数法求取二维随机变量 \( (X,Y) \) 的函数 \( Z=G(X,Y) \) 的分布，并且得到了随机变量 \( Z=X+Y \) 的分布律（密度）公式。

离散场合：
\[
P\{Z=z_{k}\}=\sum_{i=1}^{+\infty}P\{X=x_{i},Y=z_{k}-x_{i}\}=\sum_{j=1}^{+\infty}P\{X=z_{k}-y_{i},Y=y_{j}\}
\tag{1}\]
当 \( X \) 与 \( Y \) 独立时，
\[
P\{Z=z_{k}\}=\sum_{i=1}^{+\infty}P\{X=x_{i}\}P\{Y=z_{k}-x_{i}\}=\sum_{j=1}^{+\infty}P\{X=z_{k}-y_{i}\}P\{Y=y_{j}\}
\tag{2}\]
连续场合：
\[
f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy
\tag{3}\]
当 \( X \) 与 \( Y \) 独立时，
\[
f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy
\tag{4}\]
特别的，公式(2)、(4)称为卷积公式。(4)可记作
\[
f_{Z}=f_{X}(z-y)*f_{Y}(y)
\]
    卷积是一种非常重要的运算，在诸多领域均有应用，例如，在统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。在概率论中，两个统计独立变量 \( X \) 与 \( Y \) 的和的概率密度函数是 \( X \) 与 \( Y \) 的概率密度函数的卷积。在声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。在电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以表示为输入信号与系统函数（系统的冲激响应）的卷积。在物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

一、一些重要结论
    独立变量的线性可加性: 常见分布中的二项分布、负二项分布、泊松分布、正态分布、\( \Gamma \) 分布（伽玛分布）和卡方分布都具有独立可加性，都可利用卷积公式加以证明。而两点分布、几何分布、均匀分布及指数分布等不具有独立可加性。
① \( X,Y \) 相互独立且 \( X\sim B(m,p) \)，\( Y\sim B(n,p) \)，则 \( X+Y\sim B(m+n,p) \)；
② \( X,Y \) 相互独立且 \( X\sim NB(m,p) \)，\( Y\sim NB(n,p) \)，则 \( X+Y\sim NB(m+n,p) \)；
③ \( X,Y \) 相互独立且 \( X\sim P(\lambda_{1}) \)，\( Y\sim P(\lambda_{2}) \)，则 \( X+Y\sim P(\lambda_{1}+\lambda_{2}) \)；
④ \( X,Y \) 相互独立且 \( X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^2) \)，\( Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^2) \)，则 \( X+Y\sim N(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^2+\sigma_{2}^2) \)；
⑤ \( X,Y \) 相互独立且 \( X\sim \Gamma (n_{1},\lambda) \)，\( Y\sim\Gamma(n_{2},\lambda) \)，则 \( X+Y\sim\Gamma(n_{1}+n_{2},\lambda) \)；
⑥ \( X,Y \) 相互独立且 \( X\sim\chi^2(n_1) \) （自由度为 \( n_1 \) 的卡方分布），\( Y\sim\chi^2(n_2) \)，则 \( X+Y\sim\chi^2(n_1+n_2) \)。

独立同分布的变量之和的性质：

① \( X_1,X_2,\cdots,X_n \) 独立同分布于两点分布且 \( B(1,p) \)，则 \( X_1+X_2+\cdots +X_n \) 则服从二项分布 \( B(n,p) \)；
② \( X_1,X_2,\cdots,X_n \) 独立同分布于几何分布且 \( Geo(p) \)，则 \( X_1+X_2+\cdots +X_n \) 则服从负二项分布 \( NB(n,p) \)；
③ \( X_1,X_2,\cdots,X_n \) 独立同分布于指数分布且 \( \Gamma(1,\lambda) \)，则 \( X_1+X_2+\cdots +X_n \) 则服从伽玛分布 \( \Gamma(n,\lambda) \)。

二、卷积的几何意义------图解法计算卷积
    卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数 \( f \)  和 \( h \)
生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 \( f \)  与 \( h \) 经过翻转和平移的重叠部分的面积。

示例： \( f,h \) 如下图，求 \( y(t)=h(t)*f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)f(t-\tau)d\tau \)。
               
第1步：\( f(\tau) \) 反折得 \( f(-\tau) \)
                        
第2步： \( f(-\tau) \) 平移 \( t \) （5种情况）
                             

第3步：曲线相乘\( h(\tau)f(t-\tau) \)
                            
第4步：积分 \( y(t)=\int_{t-1}^{t}h(\tau)f(t-\tau)d\tau \)

第4步的具体计算过程及结果如下：
(1) 当 \( t<0 \) , \( f(t-\tau) \) 向左移，\( f(t-\tau)h(\tau)=0 \) ,故 \( y(t)=0. \)
(2) 当 \( 0\leq t\leq 1 \)，\( f(t-\tau) \) 向右移，\( y(t)=\int_{0}^{t}\tau \frac{1}{2}d\tau=\frac{1}{4}t^2. \)
(3) 当 \( 1\leq t\leq 2 \)，\( y(t)=\int_{t-1}^{t}\tau \frac{1}{2}d\tau=\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}. \)
(4) 当 \( 2\leq t\leq 3 \)，\( y(t)=\int_{t-1}^{2}\tau \frac{1}{2}d\tau=-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+\frac{3}{4}. \)
(5) 当 \( t>3 \) ,，\( f(t-\tau)h(\tau)=0 \)，故 \( y(t)=0. \)

三、一维信号滤波
    滤波一词起源于通信理论，它是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术。例如用雷达跟踪飞机，测得的飞机位置的数据中，含有测量误差及其他随机干扰，要利用这些数据尽可能准确地估计出飞机在每一时刻的位置、速度、加速度等，并预测飞机未来的位置，就是一个滤波与预测问题。

示例：一维信号分解。
    现有一维数字信号 \( \{x_{k}\} \) 及两个离散滤波器（卷积算子） \( H \) 和 \( L \)，其冲击响应分别为 \( h \) 和 \( l \)：
\[ h = ( \cdots 0 \cdots \mathop {\underbrace{ - 1/2\quad 1/2}}\limits_{k =-1,0} \cdots 0 \cdots ),l = ( \cdots 0 \cdots \mathop {\underbrace{ 1/2\quad 1/2}}\limits_{k =-1,0}  \cdots 0 \cdots ) \]
信号分解：
    信号 \( \{x_{k}\} \) 通过滤波器 \( H \)，输出信号为 \( H(x):=h*x \)，即得信号 \( \{x_{k}\} \) 的高频细节 \( (h*x)_{2k}=\sum_{n}x_{n}l_{2k-n}=\frac{1}{2}x_{2k}-\frac{1}{2}x_{2k+1} \)；
    信号 \( \{x_{k}\} \) 通过滤波器 \( L \)，输出信号为 \( L(x):=l*x \)，即得信号 \( \{x_{k}\} \) 的低频概貌信息 \( (l*x)_{2k}=\sum_{n}x_{n}l_{2k-n}=\frac{1}{2}x_{2k}+\frac{1}{2}x_{2k+1} \)；
    设 \( \{x_{k}\}=\{64,2,34,61,60,6,7,57,34,46,2431\} \)，即

则  \( (h*x)_{2k}=\sum_{n}x_{n}h_{2k-n}=\frac{1}{2}x_{2k}-\frac{1}{2}x_{2k+1}=\{16,-13.5,27,-25,-6,-3.5\} \) ------细节  \( (l*x)_{2k}=\sum_{n}x_{n}l_{2k-n}=\frac{1}{2}x_{2k}+\frac{1}{2}x_{2k+1}=\{33,47.5,33,32,40,27.5\} \) ------概貌（主色调）即