正态分布的两种检验法

        正态性检验方法很多，这里主要介绍的卡方拟合检验法和正态概率纸检验法。

例：某银行储蓄所某天营业期间顾客依次到达某柜台的时间间隔（单位：分钟）数据如下表1。
\[\mbox{表1 顾客到达某银行储蓄所柜台的间隔时间（单位：分钟）}\]\[\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
6.62&
13.68&
11.55&
4.46&
3.03&
3.80&
6.77&
14.25&
7.34 \\
\hline
7.75&
3.22&
11.01&
1.05&
4.93&
6.99&
10.36&
14.44&
7.19 \\
\hline
5.85&
8.48&
7.26&
9.28&
9.95&
11.50&
11.83&
1.19&
9.42 \\
\hline
10.98&
8.21&
5.96&
10.79&
6.13&
15.19&
12.87&
10.44&
7.20 \\
\hline
4.89&
10.78&
4.16&
9.52&
5.73&
7.99&
6.01&
5.85&
4.96 \\
\hline
\end{array}
\]试在显著水平0.05下检验这些数据是否来自正态分布？

检验方法一 （卡方拟合检验）
        设顾客到达银行储蓄所柜台的时间间隔为 \( X \)，从45个观测数据中容易获得： \( x_{(1)}
=1.05,\;\;x_{(45)} =15.19 \)，人为地将数据分为5个组： \( A_1 =\{X\le 4\},\;A_2
=\{4<X\le 7\} \)，\( A_3 =\{7<X\le 10\},\;\;\;A_4 =\{10<X\le 13\} \)，\( A_5
=\{X>13\} \)，统计各个事件出现的频数，分别为：4，15，12，10，4。
        提出卡方检验问题：  \( H_0  \) ：数据来自正态总体； \( H_1  \) ：数据来自非正态总体
        首先，确定在 \( H_0  \) 成立条件下正态分布 \( N(\mu ,\sigma ^2
) \) 中两个参数的最大似然估计值为 \( \hat {\mu }=\bar {x}\approx 8.019,\;\;\hat
{\sigma }=\sqrt {m_2^\ast } \approx 3.435 \)。
        其次，计算在 \( H_0  \) 的条件下\[
\hat {p}_1 =P\{X\le 4\}=\Phi \left( {\frac{4-8.019}{3.435}} \right)\approx
0.121.
\]\[
\hat {p}_2 =P\{4<X\le 7\}=\Phi \left( {\frac{7-8.019}{3.435}} \right)-\Phi
\left( {\frac{4-8.019}{3.435}} \right)\approx 0.262.
\]\[
\hat {p}_3 =P\{7<X\le 10\}\;=\Phi \left( {\frac{10-8.019}{3.435}}
\right)-\Phi \left( {\frac{7-8.019}{3.435}} \right)\approx 0.335
\]\[
\hat {p}_4 =P\{10<X\le 13\}\;=\Phi \left( {\frac{13-8.019}{3.435}}
\right)-\Phi \left( {\frac{10-8.019}{3.435}} \right)\approx 0.208
\]\[
\hat {p}_5 =P\{X>13\}=1-\sum\limits_{i=1}^4 {\hat {p}_i } =0.074
\]
检验统计量 \( \hat {\chi }^2=\sum\limits_{i=1}^m {\frac{(v_i -n\hat {p}_i
)^2}{n\hat {p}_i }}  \) 的样本值计算过程见表2。
\[\mbox{表2 检验统计量 \( \hat {\chi }^2  \) 的样本值计算表}\]\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Interval&
Frequency&
\hat {p}_i &
n\hat {p}_i &
(v_i -n\hat {p}_i )^2&
(v_i -n\hat {p}_i )^2/np_i  \\
\hline
\le 4&
4&
0.121&
5.445 &
2.088&
0.383 \\
\hline
(4,7]&
15&
0.262&
11.790 &
10.304&
0.874 \\
\hline
(7,10]&
12&
0.335&
15.075 &
9.456&
0.627 \\
\hline
(10,13]&
10&
0.208&
9.360 &
0.410&
0.044 \\
\hline
>13&
4&
0.074&
3.330 &
0.449&
0.135 \\
\hline
\end{array}
\]
        计算得到 \( \hat {\chi }^2 =2.063 \) 。在显著水平0.05下，拒绝域 \( \{\hat {\chi
}^2>\chi _{1-\alpha }^2 (5-1-2)\} \) 的临界值为 \( \chi _{1-\alpha }^2
(5-1-2)=\chi _{0.95}^2 (2)\approx 5.992 \) . 由于 \( \hat {\chi }^2
=2.063<5.992 \) 。
所以，在显著水平0.05下，不拒绝原假设，可以认为数据来自正态分布。

检验方法二 （正态概率纸检验）
        正态概率纸检验总体的正态性的步骤：
        （1）将样本值 \( x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n  \) 按由小到大顺序排序为： \( x_{(1)} ,x_{(2)}
,\cdots ,x_{(n)}  \) 。
        （2）计算 \( F(x_{(i)} ),\left( {i=1,2,\cdots ,n} \right) \) 的估计值
\[\hat
{F}(x_{(i)} )=\frac{i-(3/8)}{n+(1/4)}\mbox{ or }\hat {F}(x_{(i)}
)=\frac{i}{n+1},i=1,2,\cdots ,n\]
        （3）在正态概率纸上描出各点： \( (x_{(i)} ,\hat {F}(x_{(i)} ),i=1,2,\cdots ,n. \)
        （4）判断: 若在正态概率纸上描出 \( n \) 个点： \( (x_{(i)} ,\hat {F}(x_{(i)} ),\left(
{i=1,2,\cdots ,n}
\right) \) 在一条直线附近，则认为该样本来自某正态分布；若这 \( n \) 个点明显不在一条直线附近，则认为该样本不是来自某正态分布。

        由表1的数据，根据以上步骤，由公式
\[\hat {F}(x_{(i)}
)=\frac{i}{n+1},i=1,2,\cdots ,n
\]计算，在excel下对点画散点图如下：
                                 

图形显示， \( n \) 个点明显在红色直线附近，表明数据近似地来自正态分布 \( N(8.019,\;\;3.435^2) \)。

        正态概率纸检验法在工程上常见，具体方法原理参见文献[1]。

参考文献：
[1] 钟波等.数理统计[M].北京：高等教育出版社，2015.2.