当前课程知识点：概率论与数理统计 > 第3章 多维随机变量及其分布 > 条件分布与随机变量的独立性 > 拓展知识
两个事件的独立性是指：一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响。两个随机变量的独立性远比事件的独立性要求高。虽然在现实中，随机变量间完全相互独立的情形很少，但在某些情况下将随机变量的相依关系简化为相互独立具有重要的意义，比如由低维分布构造高维分布、高维分布的降维、统计抽样中的简单样本假设等。
下面我们从随机模拟的角度来进一步认识多个随机变量的独立性，以二维随机变量为例。
二维正态分布是最重要的多维分布之一。设已知 \( (X,Y) \) 服从二维正态分布 \( N(0,1;0,1;\rho) \)，\( |\rho|\leq 1 \) 为相关系数，其联合密度函数为
\[
f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt {1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right\},\ \ x\in R, y\in R
\]
我们知道，不论相关系数的取值为多少，\( (X,Y) \) 的边缘分布都是相同的一维正态分布，容易证明： \( X,Y \) 相互独立的充要条件为 \( \rho=0 \)。可见，\( \rho \) 的不同取值暗示了两个随机变量 \( X,Y \) 的``相依关系''，通过随机模拟，获取 \( (X,Y)\sim N(0,1;0,1;\rho) \) 的随机数，画出它们的散点图，直观地观察 \( X,Y \) 的``相依关系''。
图1中相关系数 \( \rho=0.8 \)，利用matlab产生的伪随机数散点呈椭圆族（棒状）数据；从相应的横坐标 \( X \)，纵坐标 \( Y \) 的取值曲线（前50个点）可见：决大多数情况下，\( X \) 与 \( Y \) 的变化非常一致，都增大或都减小，``正相关''程度高；
图2中相关系数 \( \rho=-0.8 \)，利用matlab产生的伪随机数散点呈椭圆族（棒状）数据； \( X \) 与 \( Y \) 的变化呈``反向一致''，一增一减，``负相关''程度高；
图3中相关系数 \( \rho=0.3 \)，利用matlab产生的伪随机数散点呈椭圆族数据；决大多数情况下，\( X \) 与 \( Y \) 的变化有一定的一致性，都增大或都减小，呈弱的``正相关''；
图4中相关系数 \( \rho=0 \)，利用matlab产生的伪随机数散点呈圆族数据，散点落在``圆域''内显得更加``均匀''、``随机''，当然它们也是``集中''在均值 \( (0,0) \) 附近的； \( X \) 与 \( Y \) 的变化联系没有规律可循，也就是说``即使已知 \( X \) 的取值情况，也不能对判断 \( Y \) 的取值情况提供更多的信息''，坐标 \( X \) 与 \( Y \) ``不相关''，我们称随机变量 \( X \) 与 \( Y \) 是相互独立的。
注：由散点图去判断数据的类型是常用的方法，这对了解数据的分布非常有帮助。比如，在对高斯型（二维正态）圆族数据进行聚类分析时，可针对性地采用 \( K \) 均值（K-means）聚类，距离函数采用欧氏距离，效果较好；又如，一旦数据表现出一个随机变量 \( Y \) 与另一个随机变量 \( X \) 之间有强的相关关系，那么在知道 \( X \) 的情况下就可以较好地预测出 \( Y \)，且此时往往我们可以仅考察变量 \( X \) 而忽略变量 \( Y \)，以达到对高维数据降维的目的，如主成分分析（PCA）。
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