季度的总需求量和最大需求量问题

一、背景
    在微观经济分析中，需求函数表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系。为简化分析过程，通常假定其他因素保持不变，仅分析一种商品的价格对该商品需求量的影响，即需求函数可表示为
\[
Q^{d}=f(P)
\]其中 \( P \) 为某种商品价格，\( Q^{d} \) 为该商品的需求量。在完全竞争市场中，商品价格 \( P \) 通常为一固定常数。

二、问题
    在不影响结论的前提下，这里使用线性的需求函数，并考虑商品的季节性波动因素 \( \varepsilon_{i}\sim N(0,\sigma_{i}^{2}) \)，假设完全竞争市场中该商品的需求函数为
\[
    Q_{i}^d=
    \left\{
\begin{array}{lc}
a-bP+\varepsilon_{i}, &\varepsilon_{i}\geq bP-a \\
0, &\varepsilon_{i}\geq bP-a
\end{array}
\right.
\]
其中 \( a,b,P \) 为常数，且 \( a>0,b>0,0<P<\frac{a}{P} \)。  \( Q_{i}^{d}(i=1,2,3,4) \) 分别表示商品第一，二，三，四季度的需求量，且 \( \varepsilon_{i} \) 相互独立。为计算简单起见，
假定常数 \( a=500,b=1,P=400 \)，\( \sigma_{i}=100i,i=1,2,3,4 \)。试确定：
    （1）四个季度需求量总和达到多少以上的概率至少为95%；
    （2）四个季度中最大需求量不超过120的概率。


三、求解
    问题（1）的求解：
    由于需求函数 \( Q_{i}^d=100+\varepsilon_{i},\ \ \varepsilon_{i}\sim N(0,100i) \) 且 \( \varepsilon_{i}(i=1,2,3,4) \) 相互独立，则有
\[
    Q^d=\sum_{i=1}^4 Q_{i}^d=
    \left\{
\begin{array}{lc}
400+\sum_{i=1}^4\varepsilon_{i}, &\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\geq,\varepsilon_{3},\varepsilon_{4}\geq 0 \\
0, &\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}\geq,\varepsilon_{3},\varepsilon_{4}\leq 0
\end{array}
\right.
\]
其分布函数为
\begin{eqnarray}
P\{Q^d=0\}&=&P\{\varepsilon_{1}<-100,\varepsilon_{2}<-100,\varepsilon_{3}<-100,\varepsilon_{4}<-100\}\\
&=&\prod_{i=1}^4 P\{\varepsilon_{i}<-100\}\\
&=&\prod_{i=1}^4(1-\Phi(\frac{10}{\sqrt i}))\\
&\approx& 0
\end{eqnarray}
所以
\[P\{Q^d>0\}\approx 0\]
由于
\[Q^d=400+\sum_{i=1}^4\varepsilon_{i}\sim N(400,1000)\]
由题意知，设四个季度总需求量需到达 \( q \) 以上的概率至少为95%，则有
\begin{eqnarray}
    P\{Q^d>q\}&=&P\{400+\sum_{i=1}^4 \varepsilon_{i}> q | \varepsilon_{i}> -100,i=1,2,3,4\}  \\
    &=&\frac{P\{400+\sum_{i=1}^4\varepsilon_{i}>q,\varepsilon_{1}>-100,\varepsilon_{2}>-100,\varepsilon_{3}>-100,\varepsilon_{4}>-100\}}{P\{\varepsilon_{1}>-100,\varepsilon_{2}>-100,\varepsilon_{3}>-100,\varepsilon_{4}>-100\}}\\
    &\approx &  P\{400+\sum_{i}^{4}\varepsilon_{i}>q\}\\
    &\geq& 0.95
\end{eqnarray}
\[
1-\Phi(\frac{q-400}{10\sqrt 10})\geq 0.95\ \ \Rightarrow \ \ \Phi(\frac{q-400}{10\sqrt 10})\leq 0.05\ \ \Phi(\frac{400-q}{10\sqrt 10})> 0.95
\]
即  \( q=400-10\sqrt{10}u_{0.95}\approx 347.9805 \)。

    问题（2）的求解：
    由于需求函数 \( Q_{i}^d=100+\varepsilon_{i} \)，\( \varepsilon_{i}\sim N(0,100i^2) \)  且 \( \varepsilon_{i}(i=1,2,3,4) \) 相互独立，则四个季度中最大需求量不超过120的概率为
\begin{eqnarray}
P\left\{\max(Q_{1}^d,Q_{2}^d,Q_{3}^d,Q_{4}^d)<120\right\}&=&\prod_{i}^4\Phi(\frac{120-100}{10\sqrt{i}})\\
&=&\prod_{i}^4\Phi(\frac{2}{\sqrt{i}}) \\
&\approx & 0.9972\times 0.9214\times 0.8759\times 0.8413 \\
&=&0.6771
\end{eqnarray}